Ejercicios: Funciones lógicas y diseño de circuitos

Las etapas del diseño de un circuito digital están desordenadas: (a) dibujar el circuito con puertas, (b) escribir la tabla de verdad, (c) leer el enunciado e identificar entradas y salidas, (d) escribir la función lógica, (e) simplificar la función. Ordénalas y explica con una frase qué se hace en cada una.

Explica qué representa cada fila de una tabla de verdad y qué significa que la salida valga 1 solo en algunas filas, apoyándote en este caso: un piloto se enciende cuando hay humo (H = 1) y la alarma está activada (A = 1).

¿Qué es una función lógica? Lee estas dos y explica su significado con palabras: $S = A \cdot B$ y $S = A + B$. ¿Qué compuerta implementa cada una?

Un carro pita si la puerta está abierta (P = 1) y el contacto está quitado (C = 1). Identifica las entradas y la salida del sistema y escribe su función lógica con letras.

Relaciona cada expresión con la compuerta que la implementa: $S = A \cdot B$, $S = A + B$ y $S = \overline{A}$. Explica además qué significa la raya sobre la letra en la última expresión.

Explica qué significa simplificar una función lógica y da dos razones por las que conviene simplificar antes de montar el circuito.

Un circuito lleva una puerta NOT en la entrada A y después una puerta AND que recibe esa señal y la entrada B. Escribe la función lógica del circuito y explica qué situación detecta (qué combinación de entradas activa la salida).

La figura resume el proceso de diseño de un circuito digital, pero falta una etapa. Indica cuál es y explica qué se obtiene al terminarla y de dónde sale esa información.

Una alarma de carro debe sonar cuando una puerta está abierta (P = 1) y la llave está quitada del contacto (C = 1). Escribe la tabla de verdad completa y, a partir de las filas con salida 1, escribe la función lógica.

En una tabla de verdad de dos entradas, la salida S vale 1 cuando A = 1 y B = 0, y también cuando A = 1 y B = 1. Escribe la función como suma de productos y razona a qué función mucho más sencilla equivale.

La figura muestra un circuito de dos puertas y su tabla de verdad, con la salida de una fila sin completar. Calcula ese valor analizando el circuito y escribe la función lógica del conjunto.

Tres sensores de humo (A, B y C) vigilan una bodega y la alarma debe activarse cuando al menos dos de ellos detectan humo a la vez. Escribe la tabla de verdad completa del sistema.

La función $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ se activa si «A y B» o si «A y no B». Explica por qué equivale simplemente a $S = A$ y qué se ahorra en el circuito al darte cuenta.

En un circuito, A y B entran en una puerta AND; C pasa por una NOT; los dos resultados entran en una OR que da S. Escribe la función lógica y calcula el valor de S para A = 1, B = 0 y C = 0.

Se quiere un aviso que suene cuando el depósito está bajo (N = 1) o cuando la bomba está parada (B = 1) con el programador en marcha (M = 1). Escribe la tabla de verdad con las tres entradas y la función lógica.

Comprueba, escribiendo las dos tablas de verdad, que $S = A \cdot (A + B)$ equivale a $S = A$. Explica qué consecuencia práctica tiene ese resultado a la hora de montar el circuito.

En el sistema de eyección de emergencia de una cápsula aeroespacial se utilizan tres sensores independientes de sobrepresión ($A$, $B$ y $C$). Para evitar disparos accidentales por el fallo aislado de un sensor, el mecanismo de eyección ($S = 1$) debe activarse únicamente si al menos dos de los tres sensores coinciden en marcar sobrepresión.

Un informe preliminar propone la función simplificada $S = A \cdot B + C$, asegurando que cumple las especificaciones con solo dos puertas lógicas.

1. a) Refuta formalmente la validez de dicha propuesta: identifica qué combinación concreta de las entradas provocará un disparo erróneo de la eyección y explica las consecuencias para la tripulación.
2. b) Obtén la tabla de verdad correcta y deduce la función lógica mínima como suma de productos.
3. c) Diseña el circuito indicando el tipo y número mínimo de puertas lógicas de 2 entradas necesarias, y predice cómo respondería el sistema si el sensor $C$ sufriese una avería permanente que lo dejase bloqueado en nivel bajo ($C = 0$).

Un compañero ha montado el circuito combinacional de la figura creyendo que la salida $S$ dependería de la combinación de ambas variables ($A$ y $B$). Al comprobar la tabla de funcionamiento en el laboratorio, sospecha que algo no encaja.

1. a) Deduce el valor que falta en la tabla para la combinación $A = 1, B = 0$ y escribe la función lógica no simplificada que describe exactamente el esquema de puertas de la figura.
2. b) Demuestra algebraica y experimentalmente (a partir de la tabla) por qué una de las dos variables no tiene influencia real sobre la salida $S$, e indica qué simplificación radical admite este circuito en la práctica.
3. c) Predice qué sucedería si intercambias la posición de ambas puertas lógicas (la AND en el lugar de la OR, y la OR en el lugar de la AND): ¿cambiaría la tabla de verdad resultante? Justifica formalmente tu respuesta.

El sistema de seguridad de una bodega industrial cuenta con tres sensores digitales: apertura de puerta ($P = 1$), apertura de ventana ($V = 1$) e interruptor de armado del sistema ($A = 1$ cuando está activada la vigilancia). La alarma ($S = 1$) debe sonar si se abre la puerta o la ventana, pero únicamente cuando el sistema se encuentre armado.

Un instalador conecta los sensores según la expresión $S = P + V \cdot A$, argumentando que «como la puerta es el acceso principal, debe tener conexión directa al avisador».

1. a) Identifica con qué combinación de las entradas fallará la instalación del técnico y explica el grave problema de seguridad o de falsas alarmas que provocará en la bodega.
2. b) Elabora la tabla de verdad que modela de manera exacta las especificaciones solicitadas y obtén la función canónica como suma de minitérminos.
3. c) Simplifica la función resultante aplicando las propiedades del álgebra de Boole y describe el circuito electrónico óptimo indicando qué puertas lógicas concretas y cuántas entradas requiere cada una.

El sistema de riego automático de un parque municipal ($S = 1$ para abrir la electroválvula) responde a la función lógica $S = A \cdot \overline{B} + C$, donde las entradas corresponden a:

• $A$: sensor de humedad del suelo ($A = 1$ si la tierra está seca).

• $B$: sensor de previsión meteorológica ($B = 1$ si se prevé lluvia en las próximas horas).

• $C$: pulsador manual del personal de jardinería ($C = 1$ si se activa el riego forzado).

1. a) Interpreta el significado técnico de la función: ¿en qué condiciones concretas riega el parque en modo automático ($C = 0$)? Justifica por qué la variable $B$ debe figurar negada en la expresión.
2. b) Dibuja o describe la conexión detallada del circuito lógico que implementa esta función indicando qué compuertas lógicas básicas (NOT, AND, OR) se necesitan.
3. c) Si una avería eléctrica deja el pulsador manual permanentemente activado ($C = 1$), predice qué ocurrirá con el riego y razona si las lecturas de humedad y previsión meteorológica seguirán teniendo algún efecto sobre el consumo de agua.
4. d) Determina qué ocurriría si, por el contrario, el sensor de lluvia sufre un cortocircuito y queda bloqueado en $B = 1$: ¿en qué única situación regará el parque?

Un grupo de estudiantes monta en el taller el circuito de seguridad para el accionamiento de una cizalla motorizada ($S = 1$ activa el motor). Utilizan dos señales: pulsador de hombre muerto ($A = 1$ presionado) y barrera fotoeléctrica despejada ($B = 1$). Introducen $A$ y $B$ en una compuerta AND, y llevan la salida de esta a una compuerta OR junto con la propia señal directa de $A$. El grupo defiende que «la compuerta OR añade un nivel extra de seguridad porque comprueba el pulsador dos veces».

1. a) Escribe la función lógica que modela el montaje realizado y elabora su tabla de verdad completa.
2. b) Demuestra formalmente, mediante las leyes del álgebra de Boole, qué simplificación radical admite la función y rebate la afirmación del grupo explicando qué componentes físicos sobran por completo.
3. c) Evalúa las consecuencias para la seguridad laboral: si un operario mete la mano interrumpiendo la barrera fotoeléctrica ($B = 0$) mientras mantiene presionado $A$, ¿se detendrá el motor de la cizalla? Justifica tu respuesta a partir del análisis del circuito.

Dos empresas licitan para fabricar en serie el sistema de alarma de una flota de vehículos ($S = 1$ activa la sirena) a partir de tres señales: contacto de encendido apagado ($A = 1$), sensor de impacto ($B = 1$) y sensor volumétrico de cabina ($C = 1$).

• La empresa Alfa propone el circuito: $S_1 = A \cdot B + A \cdot C$

• La empresa Beta propone el circuito: $S_2 = A \cdot (B + C)$

Un perito de la aseguradora sostiene que el diseño de Alfa es más fiable porque «si se avería la puerta AND que procesa el sensor de impacto $B$, el vehículo seguirá protegido frente al sensor volumétrico $C$ gracias a la segunda puerta AND independiente».

1. a) Demuestra algebraicamente la equivalencia funcional de ambos circuitos indicando la propiedad matemática aplicada.
2. b) Evalúa de forma crítica la afirmación del perito: en el circuito de Beta, si fallara la señal del sensor $B$, ¿dejaría de sonar la alarma ante la señal de $C$? Justifica si realmente existe una ventaja real de redundancia en la propuesta de Alfa frente a la de Beta.
3. c) Cuantifica el número y tipo de puertas lógicas de 2 entradas necesarias para cada diseño y justifica razonadamente cuál de los dos proyectos debe elegirse para una producción masiva de vehículos teniendo en cuenta costos de fabricación y número de componentes.

Un estudiante diseña el sistema de alarma de una vivienda combinando dos sensores: contacto magnético de puerta ($A = 1$ si está abierta, $A = 0$ si está cerrada) y radar de movimiento volumétrico ($B = 1$ si detecta presencia). Para asegurarse de cubrir todas las situaciones, escribe en su memoria técnica:

«La alarma ($S = 1$) debe dispararse si hay movimiento con la puerta abierta ($A \cdot B$), y también si hay movimiento con la puerta cerrada ($\overline{A} \cdot B$). Por tanto, la función es $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, que implementaré con dos compuertas AND, una NOT y una OR».

1. a) Demuestra por simplificación algebraica y mediante la tabla de verdad correspondiente cuál es la función lógica mínima real del sistema.
2. b) Explica el significado físico del resultado matemático obtenido: ¿aporta el sensor de puerta $A$ alguna información útil para activar la sirena? ¿Qué componentes del montaje inicial sobran?
3. c) Predice qué le ocurriría al sistema del estudiante si el sensor de puerta $A$ se daña y queda permanentemente desconectado (nivel lógico erróneo): ¿dejaría de sonar la alarma ante un intruso o se vería comprometida la seguridad respecto al circuito simplificado? Justifica tu respuesta.