Ejercicios: Algoritmos para procedimientos matemáticos y patrones

Una sucesión está definida por la regla $a_n = 3n + 2$, con $n = 1, 2, 3, \dots$ Explica qué significa que una sucesión esté definida por una regla y escribe sus primeros cuatro términos.

Escribe todos los divisores positivos del número 12. Luego indica cuál de los números 13, 15 y 21 es primo y explica qué característica de sus divisores te permitió decidirlo.

Observa el siguiente algoritmo en pseudocódigo:

s ← 0

para i desde 1 hasta 5:

    s ← s + i

escribir s

Haz una tabla de seguimiento con los valores de i y de s en cada vuelta del ciclo e indica qué valor escribe el algoritmo al final.

Un algoritmo decide si un número natural $n > 1$ es primo probando si algún número desde 2 hasta $\sqrt{n}$ lo divide exactamente.

1. a) Aplica el algoritmo al número 91 y escribe qué divisores prueba y qué concluye.
2. b) Explica por qué basta con probar divisores hasta $\sqrt{n}$ y no es necesario llegar hasta $n - 1$.

Analiza el siguiente algoritmo:

a ← 1

mientras a < 50:

    escribir a

    a ← a * 2

1. a) Indica qué números escribe, en orden, y explica por qué el ciclo se detiene.
2. b) Describe qué cambio harías para que el algoritmo escriba las potencias de 3 menores que 200.

En la sucesión de Fibonacci, los dos primeros términos son 1 y 1, y cada término siguiente es la suma de los dos anteriores.

1. a) Escribe los primeros 8 términos.
2. b) Escribe en pseudocódigo (o en el lenguaje de programación que uses en clases) un algoritmo que reciba un número $n$ y muestre los primeros $n$ términos de la sucesión.

Diseña un algoritmo que reciba un número natural $n$, construya la lista de todos sus divisores positivos y cuente cuántos son.

1. a) Escribe el algoritmo en pseudocódigo o en el lenguaje que uses en clases.
2. b) Explica cómo usarías el resultado para decidir si $n$ es primo y aplícalo a $n = 36$ y a $n = 37$.
3. c) Si $n = 10.000$, compara cuántas divisiones haría tu algoritmo si prueba todos los números de 1 a $n$ con las que haría si solo prueba hasta $\sqrt{n}$ (recuerda que cada divisor pequeño permite obtener otro grande). Comenta qué ventaja tiene esa mejora.

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para obtener todos los números primos hasta un límite dado.

1. a) Describe sus pasos con tus palabras y aplícala a los números del 2 al 30, indicando qué números se tachan en cada etapa y cuáles quedan.
2. b) Explica por qué basta con tachar múltiplos de los primos hasta $\sqrt{30}$.
3. c) Compara este método con probar la primalidad de cada número por separado, y argumenta cuándo conviene cada uno.