Ejercicios: Movimientos compuestos

Una barca cruza un río de $40\ \text{m}$ de ancho con una velocidad propia de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicular a la corriente. Observa el esquema del cruce:

1. a) Enuncia el principio de independencia de los movimientos de Galileo.
2. b) Aplícalo para calcular el tiempo que demora la barca en cruzar el río, razonando por qué la corriente no modifica ese tiempo.

Un dron vuela hacia el norte a $4\ \text{m/s}$ mientras el viento lo empuja hacia el este a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el módulo de la velocidad resultante del dron respecto al suelo.
2. b) Teniendo en cuenta la independencia de los movimientos, calcula cuánto demora en avanzar $100\ \text{m}$ hacia el norte.

Un tren cruza un puente de $19,6\ \text{m}$ de altura cuando se desprende un objeto de un vagón. Considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.
2. b) Razona si ese tiempo depende de la velocidad horizontal que llevaba el tren.

Un avión de ayuda humanitaria vuela horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ y a $500\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema:

1. a) Calcula el tiempo que tarda el paquete en caer.
2. b) Calcula la distancia horizontal que avanza el paquete antes de tocar el suelo.

Un balón es pateado con velocidad inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ y $\cos 37^\circ \approx 0,8$. La figura muestra la descomposición de la velocidad inicial.

1. a) Calcula la componente horizontal de la velocidad inicial.
2. b) Calcula la componente vertical de la velocidad inicial.

Una pelota de tenis sale de la raqueta con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $60^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$ y $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calcula la componente horizontal de su velocidad inicial.
2. b) Calcula la componente vertical de su velocidad inicial.

La componente vertical de la velocidad inicial de un proyectil es $20\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al punto más alto de su trayectoria.
2. b) Si sale del suelo y vuelve al suelo, ¿cuánto dura su vuelo completo? Justifícalo.

Una flecha sale del arco con una componente vertical de velocidad de $30\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ y recuerda que en el punto más alto la velocidad vertical se anula.

1. a) Calcula el tiempo que tarda en subir.
2. b) Calcula la altura máxima que alcanza sobre el punto de salida.

Una barca con velocidad propia de $4\ \text{m/s}$ cruza un río de $80\ \text{m}$ de ancho dirigiendo la proa perpendicular a la corriente, que arrastra a $1,5\ \text{m/s}$. Observa el esquema del cruce:

1. a) Calcula el tiempo de cruce.
2. b) Calcula la deriva: la distancia que la corriente la ha desplazado río abajo al llegar a la otra orilla.
3. c) Calcula el módulo del desplazamiento total entre el punto de salida y el de llegada.

Un patrón de bote quiere cruzar un río de $120\ \text{m}$ de ancho llegando justo al punto de enfrente. Su bote alcanza $5\ \text{m/s}$ en agua tranquila y la corriente baja a $3\ \text{m/s}$. El diagrama de velocidades se muestra en la figura.

1. a) Calcula el ángulo aguas arriba con el que debe dirigir la proa, sabiendo que cumple $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calcula el módulo de la velocidad resultante del bote respecto a las orillas.
3. c) Calcula el tiempo que demora en cruzar.

Un helicóptero vuela horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ y a $20\ \text{m}$ de altura cuando suelta un paquete. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el tiempo de caída del paquete.
2. b) Calcula el alcance horizontal del paquete.
3. c) Calcula las componentes de la velocidad al llegar al suelo y su módulo.

Un avión vuela horizontalmente a $80\ \text{m/s}$ y a $720\ \text{m}$ de altura y debe soltar un paquete para que caiga sobre un punto concreto del suelo. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el tiempo de caída del paquete.
2. b) Calcula la distancia horizontal que recorre el paquete durante la caída.
3. c) Razona a qué distancia horizontal antes del objetivo debe soltarse el paquete.

Una pelota de golf sale del tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La trayectoria del golpe se muestra en la figura.

1. a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
2. b) Calcula el tiempo de vuelo.
3. c) Calcula el alcance sobre terreno horizontal.
4. d) Calcula la altura máxima.

Un portero de balonmano lanza la pelota con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $30^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
2. b) Calcula el tiempo de vuelo hasta que la pelota vuelve a la altura de salida.
3. c) Calcula el alcance.
4. d) Calcula la altura máxima.

Un jugador de voleibol efectúa un saque con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
2. b) Razona cuánto vale la componente vertical de la velocidad en el punto más alto y calcula ahí el módulo de la velocidad.
3. c) Calcula la altura máxima y el tiempo que tarda en alcanzarla.

Desde lo alto de un acantilado de $45\ \text{m}$ sobre el mar se deja caer una piedra y, en el mismo instante, se lanza otra idéntica horizontalmente con $10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema del acantilado:

1. a) Calcula el tiempo que tarda en caer la primera piedra.
2. b) Razona, con el principio de independencia de los movimientos, cuál de las dos llega antes al agua.
3. c) Calcula el alcance horizontal de la segunda piedra.
4. d) Calcula el módulo de la velocidad de llegada de cada piedra y compara los resultados.

Un jugador de rugby golpea el balón desde el suelo con $v_0 = 30\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La figura muestra la trayectoria del balón y los palos.

1. a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
2. b) Si los palos están a $36\ \text{m}$ del punto de golpeo, calcula a qué altura pasa el balón sobre la línea de gol y decide si supera el travesaño, situado a $3\ \text{m}$ de altura.
3. c) Calcula la altura máxima que alcanza el balón.
4. d) Calcula el alcance del balón y decide si saldría por la línea de fondo, situada a $80\ \text{m}$ del punto de golpeo.

Para un lanzamiento sobre terreno horizontal, el alcance viene dado por $x = \frac{v_0^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}$, donde $\theta$ es el ángulo de lanzamiento.

1. a) Justifica, a partir de esa expresión, que el alcance es máximo cuando $\theta = 45^\circ$.
2. b) Una lanzadora de jabalina quiere alcanzar los $80\ \text{m}$ lanzando a $45^\circ$; toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ y calcula la velocidad inicial necesaria.
3. c) Con esa misma velocidad inicial, calcula el alcance si el lanzamiento sale a $30^\circ$ y comprueba si llega a los $80\ \text{m}$. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$.

En una recreación histórica, un cañón dispara proyectiles con $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ y recuerda que $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calcula el alcance para un ángulo de disparo de $37^\circ$.
2. b) Calcula el alcance para el ángulo complementario, $53^\circ$, y compara los dos resultados.
3. c) Calcula la altura máxima y el tiempo de vuelo en cada uno de los dos casos.
4. d) Explica qué propiedad tienen los pares de ángulos complementarios en el tiro parabólico y qué se gana y qué se pierde al elegir el ángulo más alto.

Una barca capaz de navegar a $5\ \text{m/s}$ en agua tranquila debe cruzar un río de $100\ \text{m}$ de ancho con una corriente de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Si dirige la proa perpendicular a la orilla, calcula el tiempo de cruce, la deriva y el módulo del desplazamiento total.
2. b) Si quiere llegar justo al punto de enfrente, calcula el ángulo aguas arriba que debe tomar (cumple $\sen\theta = \frac{3}{5}$), la velocidad resultante y el tiempo de cruce.
3. c) Compara ambas estrategias y razona cuál minimiza el tiempo de cruce y cuál minimiza la longitud de la trayectoria respecto a la orilla, apoyándote en los resultados obtenidos.

Un esquiador de salto abandona la rampa con velocidad horizontal de $20\ \text{m/s}$ desde una altura de $80\ \text{m}$ sobre la zona de aterrizaje. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.
2. b) Calcula las componentes de la velocidad al llegar a la zona de aterrizaje y su módulo.
3. c) Calcula el ángulo que forma la velocidad de llegada con la horizontal.

Un avión vuela hacia el este con velocidad propia de $200\ \text{m/s}$ mientras el viento sopla de forma constante hacia el norte a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el módulo de la velocidad resultante del avión respecto al suelo.
2. b) Calcula el ángulo de deriva: el ángulo que se desvía su trayectoria respecto al rumbo este deseado.
3. c) Si el vuelo dura $500\ \text{s}$, calcula la posición del avión (distancia recorrida al este y al norte del punto de salida) y la distancia a la que queda del punto al que habría llegado sin viento.

En una actividad de laboratorio, una bola rueda por una mesa de $1,25\ \text{m}$ de altura y sale horizontalmente por el borde. En el suelo se coloca un vaso cuyo centro está a $1,5\ \text{m}$ de la vertical del borde de la mesa. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema:

1. a) Calcula el tiempo que tarda la bola en caer desde el borde al suelo.
2. b) Calcula la velocidad horizontal con la que debe salir de la mesa para caer en el vaso.
3. c) Con esa velocidad, calcula las componentes y el módulo de la velocidad de la bola al llegar al suelo.

Una arquera dispara una flecha con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con la horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ y $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula las componentes de la velocidad inicial.
2. b) Escribe las ecuaciones $x(t)$ e $y(t)$, elimina el tiempo y obtén la ecuación de la trayectoria $y(x)$.
3. c) Hay un letrero publicitario de $5\ \text{m}$ de altura a $20\ \text{m}$ del punto de tiro: calcula a qué altura pasa la flecha sobre él y decide si lo supera.
4. d) Calcula el alcance de la flecha sobre terreno horizontal.

Reto del tema. Investiga la cinemática de un lanzamiento horizontal analizando la influencia del entorno.

1. Variables termodinámicas: Consulta en el sitio web de la Dirección Meteorológica de Chile la temperatura $T$ ($^\circ\text{C}$) y la presión $P$ ($\text{hPa}$) actuales de tu localidad para registrar el estado termodinámico del aire circundante.

2. Movimientos rectilíneo y circular: Usa una rampa inclinada (MRUA) o una rueda de bicicleta invertida que gire uniformemente (MCU) con radio conocido, por ejemplo $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, para impulsar una bolita con velocidad inicial horizontal $v_0$. Determina $v_0$ de forma independiente del alcance: en la rueda, mide $\omega$ cronometrando 10 vueltas y usa $v_0 = \omega R$; en la rampa, cronometra el paso de la bolita por un tramo final horizontal de longitud conocida. Estima la incertidumbre de cada $v_0$.

3. Movimiento compuesto y medidas: Lanza la bolita horizontalmente desde el borde de una mesa situada a una altura $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$. Mide con huincha de medir (incertidumbre $\pm 0,1\text{ cm}$) el alcance horizontal $x$ para 5 velocidades iniciales distintas, realizando 3 repeticiones en cada una para calcular el valor medio y la dispersión.

4. Producto final: Elabora un informe breve que contenga la tabla de datos experimentales, un gráfico del alcance $x$ frente a $v_0$ y una discusión razonada sobre si los valores de las variables termodinámicas ambientales generan desviaciones apreciables respecto al lanzamiento parabólico ideal en el vacío.

Se evaluará:

• Obtención rigurosa de medidas experimentales y expresión adecuada de sus incertidumbres.

• Calidad técnica en la elaboración de la tabla y el gráfico cinemático.

• Integración coherente de los tipos de movimiento (rectilíneo, circular y compuesto) con las variables termodinámicas.

• Capacidad crítica y claridad expositiva en las conclusiones del informe.