Ejercicios: Satélites y cuerpos celestes

La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura de $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre. La velocidad orbital de un satélite en órbita circular es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y radio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita de la estación (sin escala):

1. a) Expresa el radio de la órbita, $r = R_T + h$, en metros.
2. b) Calcula la velocidad orbital de la ISS, en $\text{m/s}$, y exprésala en $\text{km/s}$.

La Luna, el satélite natural de la Tierra, orbita a una distancia media entre centros de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) Compárala con la velocidad orbital de la ISS, unos $7,7\ \text{km/s}$: ¿cuál de los dos cuerpos orbita más rápido y por qué?

La velocidad orbital circular de un satélite es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Razona, a partir de la expresión, si un satélite más alejado del centro de la Tierra orbita más rápido o más lento que uno cercano.
2. b) Si el radio de la órbita se multiplica por $4$, ¿qué le ocurre a la velocidad orbital? Justifícalo con la expresión.

Un satélite de observación describe una órbita circular de radio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escribe la expresión del período en función del radio y de la velocidad, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcula el período en segundos y exprésalo en minutos.

Los satélites de comunicaciones Hispasat son geoestacionarios.

1. a) Explica qué significa que un satélite sea geoestacionario.
2. b) Indica las tres condiciones que debe cumplir su órbita: forma, plano que la contiene y periodo.
3. c) Razona por qué un satélite geoestacionario no puede quedarse «quieto» sobre la vertical de España (latitud $40^\circ$), sino sobre el ecuador.

En una órbita rasante (muy baja) el radio orbital es aproximadamente el radio terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la velocidad orbital rasante con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, en $\text{km/s}$.
2. b) Comprueba que se obtiene prácticamente el mismo valor con $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ y explica, a partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, por qué ambas expresiones coinciden.

La Luna orbita la Tierra a una distancia media $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula su período orbital con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, en segundos.
2. b) Exprésalo en días y compáralo con la duración de una lunación (unas cuatro semanas).

Las antenas parabólicas de televisión por satélite se instalan fijas, apuntando siempre al mismo punto del cielo.

1. a) Explica, usando las características de la órbita geoestacionaria, por qué no es necesario que la antena persiga al satélite.
2. b) Cita dos aplicaciones de los satélites geoestacionarios y razona qué ventaja aporta en ellas que el satélite parezca inmóvil.

El telescopio espacial Hubble describe una órbita circular a $540\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcula su período orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y exprésalo en minutos.

La Estación Espacial Internacional completa una órbita en $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calcula cuántas órbitas completas da alrededor de la Tierra en un día ($24\ \text{h}$).
2. b) Razona cuántos amaneceres y cuántas puestas de Sol contemplan los astronautas cada día.
3. c) Si la estación orbitara a mayor altura, ¿daría más o menos órbitas al día? Razona la respuesta con la tercera ley de Kepler.

Un satélite geoestacionario debe tener un periodo $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ se obtiene $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa el esquema (sin escala):

1. a) Expresa el periodo en segundos.
2. b) Calcula $r^3$ y, extrayendo la raíz cúbica, el radio de la órbita geoestacionaria.
3. c) Calcula la altura sobre la superficie, $h = r - R_T$, y exprésala en $\text{km}$.

Los satélites del sistema europeo de navegación Galileo tienen un periodo orbital de $14\ \text{h}$. Usa $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Expresa el periodo en segundos y calcula el radio de la órbita.
2. b) Calcula la altura de los satélites sobre la superficie terrestre.
3. c) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

En la superficie terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, pero la gravedad disminuye con la altura según $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita con $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el valor de $g$ en la órbita de la ISS.
2. b) Exprésalo como porcentaje del valor en superficie.
3. c) Con ese resultado, explica por qué no es correcto afirmar que en la ISS «no hay gravedad» y qué significa que la estación y sus tripulantes se encuentren en caída libre continua.

Fobos, la mayor de las lunas de Marte, orbita a solo $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcula su período, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y exprésalo en horas.
3. c) Marte rota sobre sí mismo en $24,6\ \text{h}$, en el mismo sentido en que orbita Fobos. Razona si Fobos, visto desde la superficie marciana, sale por el este o por el oeste.

El satélite español de observación de la Tierra PAZ describe una órbita circular a $514\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital.
2. b) Calcula su período y exprésalo en minutos.
3. c) Calcula cuántas vueltas completas a la Tierra da cada día.

Compara la velocidad orbital de la ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) con la de la Luna ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) alrededor de la Tierra.

1. a) Demuestra, a partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que el cociente de velocidades es $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calcula ese cociente con los datos del enunciado.
3. c) Explica, con ayuda de la ley de gravitación universal, por qué los cuerpos más alejados orbitan más lento.

En las misiones Apolo, el módulo de mando permanecía en una órbita lunar circular a $110\ \text{km}$ de altura mientras el módulo lunar descendía a la superficie. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa el esquema (sin escala):

1. a) Calcula el radio de la órbita del módulo de mando.
2. b) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, y exprésala en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula su periodo, en horas, y estima cuántas vueltas completas a la Luna daba el astronauta que quedaba a bordo cada día.

Para futuras misiones tripuladas a Marte se estudia colocar satélites de comunicaciones «areoestacionarios», es decir, estacionarios respecto al suelo marciano. Datos: Marte rota en $T = 24,6\ \text{h}$; masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Razona qué período orbital deben tener esos satélites.
2. b) Calcula el radio de la órbita areoestacionaria con $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calcula su altura sobre la superficie de Marte y compárala con los $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ de la órbita geoestacionaria terrestre, explicando a qué se debe la diferencia.

Supón que la Tierra tuviera la mitad de su masa actual, pero conservara su radio y su periodo de rotación de $24\ \text{h}$. Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; el radio geoestacionario actual es $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Razona, a partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, si el radio de la órbita geoestacionaria sería mayor, menor o igual que el actual.
2. b) Calcula el nuevo radio geoestacionario teniendo en cuenta que, al ser $r^3$ proporcional a $M_T$, el nuevo radio es $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) ¿Seguiría siendo el periodo de $24\ \text{h}$? ¿Cambiaría la velocidad orbital del satélite? Justifica ambas respuestas.

La tercera ley de Kepler también se aplica a los satélites artificiales. Datos: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) y Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ días). El esquema compara ambas órbitas (sin escala):

1. a) Expresa ambos períodos en segundos y calcula el cociente $\frac{T^2}{r^3}$ para la ISS y para la Luna, en unidades del Sistema Internacional.
2. b) Comprueba que ambos cocientes coinciden (salvo redondeos) y explica por qué tiene que ser así.
3. c) Utiliza ese valor común para predecir el período de un satélite que orbite con $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ y exprésalo en horas.

Las constelaciones de internet por satélite, como Starlink, emplean miles de satélites a $550\ \text{km}$ de altura, mientras que tres satélites geoestacionarios bastan para dar cobertura a casi todo el planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema compara las dos órbitas (sin escala):

1. a) Calcula la velocidad y el período orbital de un satélite Starlink.
2. b) Calcula el cociente entre su período y el de un satélite geoestacionario ($24\ \text{h}$) y razona, con la tercera ley de Kepler, por qué los satélites bajos «pasan» tan rápido sobre un observador.
3. c) Explica por qué una órbita baja exige una constelación de miles de satélites para dar cobertura continua, mientras que en órbita geoestacionaria bastan tres.

Reto del tema. ¿Podemos contrastar la mecánica orbital desde la casa usando satélites reales? Tu misión es elaborar un informe científico que valide la 3.ª ley de Kepler a partir de tu propia estimación de la gravedad.

1. Medición casera: Construye un péndulo simple con un hilo y una tuerca. Mide el período $T$ para 4 longitudes distintas ($L \pm 0,002\text{ m}$) cronometrando 10 oscilaciones (incertidumbre $\pm 0,2\text{ s}$). Tabula los datos, representa $T^2$ en función de $L$ y obtén $g$ con su incertidumbre para estimar la masa terrestre: $M_T = g R_T^2 / G$ (con $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Búsqueda de satélites: Consulta en el sitio web de la ESA o de la NASA la altitud y el período orbital de tres satélites en órbitas circulares: la ISS, un satélite Galileo y el Meteosat. Suma $R_T$ a la altitud para calcular sus radios orbitales $r$.

3. Tratamiento de datos y gráfico: Elabora una tabla con $r^3$ y $T^2$ para los satélites. Representa el gráfico de $T^2$ en función de $r^3$ y compara la pendiente obtenida con el valor teórico $\frac{4\pi^2}{G M_T}$ calculado con tu $g$ experimental.

4. Informe final: Redacta un informe breve razonando las discrepancias encontradas y justificando por qué un satélite geoestacionario debe situarse a una altitud concreta.

Se evaluará:

• Rigurosidad en la toma de mediciones caseras y en el tratamiento experimental de las incertidumbres.

• Exactitud en los datos satelitales y en la representación gráfica de la ley de Kepler.

• Coherencia física en la discusión crítica de los resultados y de las fuentes de error.