Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica y señala en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indica qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escribe su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresa el resultado en unidades astronómicas y comenta lo que observas.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el período $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el período orbital de Mercurio, en años.
2. b) Exprésalo en días terrestres ($1$ año $= 365,25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despeja el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{UA}$.

Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marca dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombrea las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razona, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1,524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Expresa el resultado en días ($1$ año $= 365,25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0,615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Exprésalo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo período orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compáralo con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿orbita el objeto más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

La excentricidad de una elipse es $e = \frac{c}{a}$, donde $a$ es el semieje mayor y $c$ la distancia del centro de la elipse a uno de los focos. Para la Tierra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (perihelio) y $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Observa la geometría de la órbita en la figura (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula la distancia focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, y la excentricidad $e$ de la órbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ corresponde a una circunferencia y un valor próximo a $1$, a una elipse muy alargada. Comenta la forma de la órbita terrestre según el valor obtenido.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un periodo orbital de $T = 4,60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresa su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demuestra, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\cdot a$ entonces $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calcula su período, en años.
3. c) Razona, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.

Para viajar de la Tierra a Marte con el menor consumo de combustible se utiliza una órbita de transferencia de Hohmann: una elipse con el perihelio en la órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) y el afelio en la órbita marciana ($1,524\ \text{UA}$). Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. El esquema muestra la órbita de transferencia:

1. a) Calcula el semieje mayor de la elipse de transferencia.
2. b) Calcula el período completo de esa elipse, en años.
3. c) El viaje de ida dura medio período. Calcula su duración en días ($1$ año $= 365,25$ días) y razona por qué las misiones a Marte solo pueden lanzarse en determinadas ventanas que se repiten cada $26$ meses.