Exercícios: Espectros e modelo de Bohr

Um ponteiro laser usado normalmente em demonstrações didáticas emite radiação eletromagnética visível de cor vermelha com comprimento de onda de $656{,}3\,\mathrm{nm}$. A partir desses dados, calcule:

1. a) A frequência associada a essa radiação eletromagnética, expressa em unidades do Sistema Internacional.
2. b) A energia transportada por um único fóton emitido pelo dispositivo laser.

Dados: velocidade da luz no vácuo, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; constante de Planck, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$.

A análise da luz emitida ou absorvida pelas substâncias constitui uma ferramenta fundamental para compreender a eletrosfera atômica.

1. a) Explique a diferença física essencial entre um espectro contínuo e um espectro descontínuo ou de linhas.
2. b) Justifique por que o espectro de emissão atômica de um gás a baixa pressão é formado por linhas discretas e explique a correspondência entre essas linhas e as observadas em seu espectro de absorção.

No modelo atômico proposto por Bohr para o átomo de hidrogênio, a energia associada a cada nível eletrônico depende do número quântico principal $n$ por meio da expressão:

$$E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$$

1. a) Calcule o valor da energia do elétron no estado fundamental ($n=1$) e no primeiro estado excitado ($n=2$).
2. b) Explique o significado físico do sinal negativo atribuído a esses níveis de energia e o que representa o estado em que $n \rightarrow \infty$.

O esquema a seguir mostra os três primeiros níveis energéticos do átomo de hidrogênio e duas transições eletrônicas rotuladas como A e B:

. A partir do diagrama e dos dados fornecidos:

1. a) Justifique se as transições A e B correspondem a processos de absorção ou de emissão de energia.
2. b) Calcule a energia (em $\mathrm{eV}$) e o comprimento de onda (em $\mathrm{nm}$) do fóton envolvido na transição A ($3 \rightarrow 2$), e indique, justificando, qual das duas transições (A ou B) emite radiação de menor comprimento de onda.

Dados: $E_1 = -13{,}6\,\mathrm{eV}$; $E_2 = -3{,}4\,\mathrm{eV}$; $E_3 = -1{,}51\,\mathrm{eV}$; fator de conversão: $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Em uma lâmpada de descarga que contém gás hidrogênio monoatômico ocorre uma transição eletrônica massiva do quarto nível quantizado ($n=4$) até o estado fundamental ($n=1$).

1. a) Calcule a energia liberada por um único átomo de hidrogênio nesta desexcitação e determine a frequência do fóton emitido.
2. b) Calcule a energia total emitida, expressa em $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$, se um mol inteiro de átomos de hidrogênio sofrer essa desexcitação de forma simultânea.

Dados: fórmula de Bohr para o hidrogênio: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$; constante de Planck, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; constante de Avogadro, $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

A energia de ionização de uma espécie química gasosa é a energia mínima indispensável para arrancar seu elétron mais externo, levando-o desde seu estado inicial até o repouso no infinito.

1. a) Tomando como base o modelo de Bohr para o hidrogênio ($E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$), calcule a energia de ionização de um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental ($n=1$) em joules e o valor correspondente para um mol de átomos em $\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$.
2. b) Se uma amostra gasosa de átomos de hidrogênio se encontra previamente excitada no nível $n=3$, determine o comprimento de onda máximo (em $\mathrm{nm}$) que deve ter um feixe de luz monocromática para fotoionizar os átomos a partir desse nível excitado, e identifique, justificando, a região do espectro eletromagnético a que pertence.

Dados: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$.

Em um espectrômetro óptico registra-se uma linha de emissão do átomo de hidrogênio no intervalo visível (série de Balmer, cujo nível de chegada é $n_f = 2$) com um comprimento de onda experimental de $\lambda = 434{,}1\,\mathrm{nm}$.

1. a) Calcule a energia do fóton emitido em joules e determine o número quântico principal do nível orbital inicial $n_i$ de onde vinha o elétron, aplicando a expressão de Bohr $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$.
2. b) Justifique rigorosamente, por meio do balanço energético pertinente, se um fóton incidente de radiação com energia de $3{,}00\,\mathrm{eV}$ poderia ser absorvido por um átomo de hidrogênio que se encontra no estado $n=2$.

Dados: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$.

Um tubo de descarga com hidrogênio emite radiação ultravioleta correspondente à série de Lyman, na qual todas as transições terminam no estado fundamental $n_f = 1$. Considere duas linhas específicas: a transição 1, que parte de $n=2$, e a transição 2, que parte de $n=3$.

1. a) Calcule a energia dos fótons emitidos em cada uma das duas transições (em $\mathrm{J}$) e seus comprimentos de onda associados (em $\mathrm{nm}$).
2. b) Justifique por que as equações de Bohr aproximam os níveis principais e as linhas espectrais do íon hélio monovalente $\mathrm{He}^+$ incluindo o fator $Z^2$ na energia ($Z=2$) e desprezando a estrutura fina e as correções de massa, mas se mostram incapazes de calcular as frequências de emissão do átomo neutro de hélio ($\mathrm{He}$).

Dados: $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\,\mathrm{J}$ (para o H); $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$; $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.