Exercícios: Reta de regressão

Observe as seguintes nuvens de pontos que representam a relação entre duas variáveis estatísticas. Associe justificadamente cada um dos valores do coeficiente de correlação de Pearson, $r$, ao seu gráfico correspondente:

Valores de $r$: $0,95$; $-0,85$; $0,05$.

Um estudo sobre hábitos de estudo na 1ª série do Ensino Médio analisa a relação entre o número de horas semanais dedicadas à leitura, $X$, e a nota obtida na prova de Língua Portuguesa, $Y$. A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifique se a correlação entre as duas variáveis é positiva ou negativa.
2. b) Se um aluno dedicar $8$ horas semanais à leitura, qual nota se estima que ele obterá na prova?

Em uma distribuição bidimensional, sabe-se que a média da variável $X$ é $\bar{x} = 12$ e a média da variável $Y$ é $\bar{y} = 15$.

1. a) Quais são as coordenadas do centro de gravidade desta distribuição?
2. b) Se a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,8x + a$, calcule o valor do coeficiente linear $a$ sabendo que a reta deve passar obrigatoriamente pelo centro de gravidade.

Indique, para cada um dos seguintes pares de variáveis, se espera que tenham uma correlação positiva, negativa ou nula:

1. O número de quilômetros percorridos por um carro e o combustível que resta em seu tanque.

2. A altura de uma pessoa e sua nota no exame de Matemática.

3. A renda mensal de uma família e o gasto com lazer e cultura.

4. O tempo que um atleta treina por dia e sua marca pessoal (tempo gasto) em uma corrida.

Um nutricionista analisa a relação entre o peso de um grupo de adolescentes ($X$, em kg) e sua altura ($Y$, em cm). Os dados coletados têm um coeficiente de correlação de $r = 0,92$ e a reta de regressão é $y = 1,4x + 85$.

Explique o significado do coeficiente angular ($1,4$) no contexto do problema e avalie a confiabilidade das previsões realizadas com esta reta.

Mediu-se o tempo de carregamento de uma bateria de celular ($X$, em minutos) e a porcentagem de carga atingida ($Y$, em %). Os resultados são apresentados no seguinte gráfico:

Se a equação da reta laranja é $y = 1,5x + 5$:

1. a) Estime a porcentagem de carga após $60$ minutos.
2. b) É uma relação funcional ou estatística? Justifique a sua resposta observando a posição dos pontos em relação à reta.

Dada a seguinte tabela de valores de uma variável bidimensional:

$X$	$2$	$4$	$6$	$8$
$Y$	$10$	$18$	$22$	$30$

1. a) Calcule o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Represente os pontos em um pequeno diagrama de dispersão feito à mão e deduza o sinal da covariância $\sigma_{xy}$ sem realizar o cálculo completo.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma empresa de entregas sabe que o custo de um envio, $Y$ (em reais), depende do peso do pacote, $X$ (em kg), segundo a reta de regressão $y = 2,5x + 5$.

Se o coeficiente de correlação é $r = 0,98$, qual das seguintes afirmações é correta?

1. Para cada quilograma de aumento no peso, o custo aumenta exatamente $2,5$ reais.

2. As previsões feitas para pacotes de peso similar aos estudados serão muito confiáveis.

3. Se um pacote pesa $0$ kg, o custo será obrigatoriamente de $0$ reais.

4. A relação entre o peso e o custo é inversa.

Um grupo de estudantes do 11º ano realizó um estudo sobre a relação entre o tempo diário (em horas) que passa utilizando uma conhecida rede social de vídeos curtos ($X$) e a porcentagem de bateria restante no celular ao final do dia ($Y$). Os dados obtidos de 6 colegas são os seguintes:

Horas de uso ($X$)	1,5	2	3	3,5	4	5
% Bateria ($Y$)	75	68	50	45	32	20

a) Calcule o centro de gravidade da distribuição $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Determine a covariância $\sigma_{xy}$ e o coeficiente de correlação linear $r$. Interprete o resultado obtido quanto ao sinal e à força da relação.

c) Determine a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

d) Se um aluno utiliza a rede social durante 2,5 horas, qual porcentagem de bateria estima-se que lhe restará? Esta previsão é confiável? Justifique sua resposta com base no coeficiente de determinação $r^2$.

Uma empresa de entregas analisou a relação entre a distância percorrida (em km) pelos seus entregadores de bicicleta ($X$) e o número de calorias queimadas segundo os seus dispositivos inteligentes ($Y$). Após calcular os parâmetros estatísticos, foram obtidos os seguintes valores:

$\bar{x} = 15 \text{ km}$; $\bar{y} = 480 \text{ kcal}$

$\sigma_x = 4,2$; $\sigma_y = 120$

$\sigma_{xy} = 453,6$

a) Calcule o coeficiente de correlação linear e indique que tipo de dependência existe entre as variáveis.

b) Determine a reta de regressão das calorias queimadas ($Y$) em função da distância percorrida ($X$).

c) Quantas calorias se estima que um entregador que percorre 22 km queimará?

d) Se um entregador deseja queimar aproximadamente 600 kcal, quantos quilômetros deveria percorrer segundo a reta de regressão de $X$ sobre $Y$?

Foi realizada uma pesquisa com um grupo de adolescentes sobre o número de seguidores que têm em uma plataforma ($X$, em centenas) e o número médio de "curtidas" que recebem por publicação ($Y$). Os dados são resumidos na seguinte tabela:

Seguidores ($X$)	2	4	6	8	10
Curtidas ($Y$)	45	92	135	180	220

a) Represente o diagrama de dispersão e trace, aproximadamente e à mão livre, a reta de regressão.

b) Calcule os coeficientes da reta de regressão $y = mx + n$.

c) Qual é o significado do coeficiente angular $m$ neste contexto?

d) Calcule o coeficiente de determinação $r^2$ e explique qual porcentagem da variação das curtidas é explicada pelo número de seguidores.

Em um estudo sobre hábitos de sono e rendimento acadêmico, foram obtidas as seguintes retas de regressão para as variáveis $X$ (horas de sono diárias) e $Y$ (nota média no trimestre):

Reta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Reta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabendo que ambas as retas se intersectam no centro de gravidade da distribuição, calcule a média de horas de sono ($\bar{x}$) e a nota média dos alunos ($\bar{y}$).

b) Calcule o coeficiente de correlação linear $r$ a partir dos coeficientes angulares de ambas as retas.

c) Indique justificadamente se a correlação é direta ou inversa e se é forte ou fraca.

Um treinador de atletismo analisa a relação entre a estatura de seus atletas em cm ($X$) e o comprimento de sua passada em cm ($Y$). Os dados de 5 atletas são: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) e (190, 145).

a) Obtenha a reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

b) Qual extensão de passada seria esperada de um atleta que mede 185 cm?

c) Calcule o erro de previsão (resíduo) para o atleta que mede 180 cm. O erro é definido como a diferença entre o valor real e o estimado pela reta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Se o coeficiente de correlação fosse $r = 0,98$, o que você poderia afirmar sobre a confiabilidade das previsões do treinador?

Foi estudada a relação entre o preço de uma assinatura mensal de uma plataforma de música ($X$, em reais) e o número de horas que os usuários escutam música por mês ($Y$). Sabe-se que:

• A variância de $X$ é $\sigma_x^2 = 4$.

• A variância de $Y$ é $\sigma_y^2 = 25$.

• A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = -1,2x + 42$.

a) Determine a covariância $\sigma_{xy}$ entre ambas as variáveis.

b) Calcule o coeficiente de correlação linear $r$.

c) Como variaria o coeficiente de correlação se decidíssemos expressar o tempo de escuta em minutos em vez de horas? Justifique sua resposta.

Um centro de adoção de animais de estimação quer prever o tempo que um cão leva para ser adotado ($Y$, em dias) em função de sua idade ($X$, em anos). Foram coletados dados de 10 cães e foi obtida uma correlação de $r = 0,85$. A média de idade é de 4 anos e a de dias até a adoção é de 25 dias. O desvio padrão da idade é de 2 anos e o dos dias é de 10 dias.

a) Obtenha a equação da reta de regressão.

b) Estime quanto tempo levará para ser adotado um filhote de 0,5 anos.

c) Estime quanto tempo levará um cão idoso de 12 anos.

d) Das duas estimativas anteriores, indique qual é mais confiável e por quê, levando em conta o intervalo dos dados originais (idades entre 1 e 8 anos).

Observe a seguinte nuvem de pontos que relaciona o investimento em P&D ($X$) e o lucro líquido anual ($Y$) de várias empresas de tecnologia:

Sabendo que a reta de regressão é $y = 2,5x + 10$ e que o coeficiente de correlação é $r = 0,92$:

a) Indique justificadamente se existe uma relação forte entre o investimento e os lucros.

b) Se uma empresa não investir nada em P&D ($x = 0$), segundo o modelo, qual seria o seu lucro estimado? Esse valor faz sentido na realidade?

c) Explique o que aconteceria com o coeficiente angular da reta se o coeficiente de correlação fosse negativo.

d) Se multiplicarmos todos os valores dos lucros por 2, como mudaria o valor do coeficiente de correlação $r$? Justifique sua resposta.

Em um estudo sobre o rendimento de uma nova criptomoeda, foram analisadas as variáveis $X$ (investimento em publicidade em milhares de reais) e $Y$ (volume de transações diárias em milhões de reais). Após processar os dados, foram obtidas as equações das duas retas de regressão:

• Reta de regressão de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 1,24$

• Reta de regressão de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 0,15$

Determine justificadamente:

1. O centro de gravidade da distribuição $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. O coeficiente de correlação linear de Pearson ($r$).

3. Se for desejado realizar um investimento em publicidade de $15\,000$ reais, qual seria o volume de transações esperado? Justifique a confiabilidade desta previsão com base no coeficiente de determinação.

Um sociólogo analisa a relação entre o tempo semanal dedicado a assistir à televisão ($X$, em horas) e a capacidade de concentração em um teste específico ($Y$, escala de 0 a 100). Os dados de 10 adolescentes apresentaram os seguintes resultados parciais:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Pede-se:

1. Determine a covariância $s_{xy}$ e o coeficiente de correlação $r$.

2. Obtenha a reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

3. Um aluno dedica 40 horas semanais a assistir à televisão. Calcule a pontuação estimada dele no teste. Analise se esta estimativa é uma interpolação ou uma extrapolação e discuta a validade real dela no contexto do problema.

Dada uma distribuição bidimensional em que o coeficiente de determinação é $R^2 = 0,81$, sabe-se que a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ tem coeficiente angular positivo e passa pelos pontos $(2, 5)$ e $(6, 11)$.

1. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.

2. Determine a variância da variável $Y$ se sabemos que o desvio padrão de $X$ é $s_x = 2,5$.

3. Encontre a equação da reta de regressão de $X$ sobre $Y$ se sabemos que o centro de gravidade é $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 8)$.

Uma equipe de marketing estuda a relação entre as curtidas ("likes") obtidas em uma publicação do Instagram ($X$) e as vendas geradas de um produto ($Y$). Observou-se que a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,04x + 150$. No entanto, perceberam que os dados de vendas estavam registrados sem o imposto (21%).

Se definirmos uma nova variável $Y' = 1,21Y$ para incluir o imposto:

1. Qual será a nova equação da reta de regressão de $Y'$ sobre $X$?

2. Como o coeficiente de correlação de Pearson original será afetado? Justifique sua resposta com base nas propriedades das transformações lineares em estatística.

Em uma tabela de contingência que relaciona o nível de escolaridade ($X$) e a renda ($Y$) de uma amostra, perderam-se alguns dados. Conhecemos os seguintes parâmetros:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ e a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcule o coeficiente de determinação $R^2$ e interprete a porcentagem da variância da renda que é explicada pelo nível de escolaridade.

2. Se um indivíduo tem um nível de escolaridade de $X=5$ e a renda real dele é de $3\,200$ reais, calcule o erro de previsão (resíduo) cometido pela reta.

Analisa-se a relação entre o número de horas de luz solar diária ($X$) e o consumo elétrico em aquecimento ($Y$) em um grande escritório durante 12 meses. Os dados são resumidos em:

$\bar{x} = 9$; $\bar{y} = 450$; $s_x = 3,2$; $s_y = 85$ e $s_{xy} = -210$.

1. Calcule a reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

2. Calcule a reta de regressão de $X$ sobre $Y$.

3. Explique o significado do sinal da covariância neste contexto e determine qual porcentagem da variabilidade do consumo elétrico não depende das horas de sol.

As notas de 50 alunos em Economia ($X$) e Geografia ($Y$) têm uma média de 6,5 em ambas as disciplinas. A variância de Economia é 4 e a de Geografia é 2,25. Sabe-se que o coeficiente de correlação é $r = 0,8$.

1. a) Se um aluno obteve 4 em Economia, estime a nota dele em Geografia.

1. b) Se outro aluno obteve 9 em Geografia, estime a nota dele em Economia utilizando a reta de regressão adequada.

1. c) Compare ambas as estimativas e explique por que não se pode utilizar a mesma reta para ambos os casos se quisermos minimizar o erro quadrático médio.

Dada a seguinte nuvem de pontos de 12 carros correspondente às variáveis $X$ (idade de um carro em anos) e $Y$ (valor de mercado em milhares de reais), traçou-se a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ calculada com os 12 pontos, cuja equação é $y = -0,88x + 14,59$. Observa-se que existe um ponto atípico nas coordenadas $(1, 2)$.

1. a) Se eliminarmos esse ponto do conjunto de dados, o que você esperaria que acontecesse com o valor absoluto do coeficiente de correlação? E com a inclinação da reta de regressão? Justifique a sua resposta.

1. b) Com a reta de regressão dada, $y = -0,88x + 14,59$, calcule o valor estimado para um carro de 10 anos e argumente sobre a adequação de usar este modelo para carros com mais de 15 anos.