Exercícios: Parâmetros e reta de regressão

Uma nutricionista estuda a relação entre os gramas de açúcar ($X$) e as quilocalorias ($Y$) de cinco tipos de barras de cereais. Obteve os seguintes parâmetros marginais:

• Média de açúcar: $\bar{x} = 12$ g

• Média de energia: $\bar{y} = 210$ kcal

• Desvios padrões: $\sigma_x = 3$ g e $\sigma_y = 25$ kcal

• Covariância: $\sigma_{xy} = 60$

Calcule o coeficiente de correlação linear ($r$) e interprete se existe uma relação forte entre ambas as variáveis.

Em um estudo sobre o rendimento físico, mede-se o número de pulsações em repouso ($X$) e o tempo em segundos que se leva para recuperar o ritmo normal após um esforço ($Y$). Sabe-se que a soma dos produtos das variáveis é $\sum x_i y_i = 15200$, o número de indivíduos é $n = 10$, e as médias são $\bar{x} = 70$ e $\bar{y} = 20$.

Utilize a fórmula simplificada $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ para calcular a covariância. O que o sinal do resultado indica sobre a relação entre as pulsações e o tempo de recuperação?

Se o coeficiente de determinação de uma distribuição bidimensional é $R^2 = 0,81$, calcule o valor do coeficiente de correlação $r$ (supondo que a relação seja direta) e explique qual porcentagem da variação da variável $Y$ é explicada pela variável $X$.

O "centro de gravidade" de uma distribuição bidimensional é o ponto formado pelas médias de ambas as variáveis, denotado como $(\bar{x}, \bar{y})$. Um grupo de amigos anotou o tempo que passa nas redes sociais por dia ($X$, em minutos) e as horas que dorme por noite ($Y$, em horas):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcule as coordenadas do centro de gravidade desta distribuição.

Observe a seguinte nuvem de pontos que representa a relação entre o investimento em publicidade de 8 pequenas empresas e seus lucros mensais (ambos em milhares de reais).

1. a) Justifique, sem realizar cálculos, se o sinal da covariância será positivo ou negativo.
2. b) Escolha justificadamente qual dos seguintes valores poderia ser o coeficiente de correlação de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) O que aconteceria com o valor de $r$ se decidíssemos expressar os dados em reais em vez de milhares de reais?

Uma cinemateca on-line quer verificar se existe relação entre o número de filmes de uma saga cinematográfica ($X$) e a avaliação média dos espectadores (em uma escala de 0 a 10 pontos, $Y$). Têm-se os seguintes parâmetros após analisar 50 sagas:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcule a covariância $\sigma_{xy}$.
2. b) Interprete o resultado obtido no contexto do problema: as sagas mais longas tendem a ter avaliações melhores ou piores?

Em um treino de basquete, registra-se a distância até a cesta em metros ($X$) e o número de cestas convertidas a cada 10 tentativas ($Y$) para um grupo de jogadores. Os dados resumidos são:

$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$

$\bar{y} = 6 \text{ cestas} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ cestas}$

$\sigma_{xy} = -1,944$

1. a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete sua força e sentido.
2. b) Calcule o coeficiente de determinação $r^2$ e explique qual porcentagem da variação dos acertos é explicada pela distância até a cesta.

Estudou-se a relação entre o gasto semanal em alimentação de uma família ($X$) e a sua renda semanal ($Y$), ambos em reais. Foram obtidos os seguintes dados:

$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$

1. a) Determine a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.
2. b) Se uma família gasta 250 reais em alimentação, qual seria a sua renda estimada segundo o modelo?
3. c) Esta previsão é confiável? Justifique sua resposta calculando o coeficiente de correlação.

Um agricultor observa que a produção da sua colheita de laranjas depende das horas de sol recebidas durante a etapa de maturação. As retas de regressão obtidas a partir de dados históricos são:

Reta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$

Reta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determine o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ da distribuição.
2. b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson a partir dos coeficientes angulares das duas retas de regressão.

Analisa-se a relação entre o preço de uma passagem aérea ($X$) e a antecedência com que é comprada em dias ($Y$). Sabe-se que a correlação é $r = -0,82$.

Se os desvios padrão são $\sigma_x = \text{R\$}\ 45$ e $\sigma_y = 12 \text{ dias}$, e as médias são $\bar{x} = \text{R\$}\ 150$ e $\bar{y} = 25 \text{ dias}$:

1. a) Calcule a covariância da distribuição.
2. b) Calcule a reta de regressão de $X$ sobre $Y$ para estimar o preço da passagem em função dos dias de antecedência.
3. c) Qual preço seria estimado para uma passagem comprada com 40 dias de antecedência?

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de filhos ($X$) e o número de dormitórios da residência ($Y$) em um edifício de apartamentos. Os resultados são apresentados na seguinte tabela de frequências conjuntas (tabela de dupla entrada):

1. Obtenha as distribuições marginais de $X$ e $Y$.

2. Calcule a média marginal de filhos ($\bar{x}$) e a média marginal de dormitórios ($\bar{y}$).

3. Existe dependência entre ambas as variáveis? Justifique sua resposta observando as frequências da tabela.

As duas retas de regressão de uma variável bidimensional são:

• Reta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12,4$

• Reta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,72y + 5,1$

Sabendo que a variância da variável $X$ é $s_x^2 = 16$, calcule:

1. O coeficiente de correlação de Pearson $r$.

2. A covariância $s_{xy}$ da distribuição.

3. As coordenadas do centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$.

Um aplicativo de música em streaming analisa a relação entre a idade dos seus usuários ($X$) e o número de artistas diferentes que escutam por mês ($Y$). São conhecidos os seguintes somatórios para uma amostra de $n = 10$ usuários:

1. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.

2. Determine o coeficiente de determinação $R^2$ e interprete seu significado: qual porcentagem da variação do número de artistas escutados é explicada pela idade do usuário?

Em um estudo sobre o mercado imobiliário em uma cidade litorânea, obtiveram-se as equações das duas retas de regressão que relacionam o preço de venda dos apartamentos, $Y$ (em centenas de milhares de reais), com a sua área, $X$ (em metros quadrados):

• Reta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,012x + 0,5$

• Reta de $X$ sobre $Y$: $x = 65y - 20$

Na figura você pode ver as duas retas representadas.

Determine, justificando:

1. a) O centro de gravidade da distribuição $(\bar{x}, \bar{y})$.

1. b) O coeficiente de correlação linear de Pearson, $r$, e interprete o seu sinal e a sua força.

1. c) Se um apartamento tiver uma área de $120$ $m^2$, qual seria o seu preço estimado? Essa estimativa é confiável? Justifique a sua resposta utilizando o coeficiente de determinação.

Em uma escola de idiomas, foi observada a relação entre as horas semanais de estudo pessoal ($X$) e a pontuação na prova final ($Y$) de um grupo de alunos. A tabela de frequências conjuntas é a seguinte, onde três valores foram perdidos ($a, b, c$):

1. a) Calcule os valores de $a, b$ e $c$.
2. b) Determine a distribuição marginal da variável $Y$ e calcule a média e a variância dela.
3. c) Calcule a média da pontuação na prova ($Y$) condicionada a que os alunos estudam $5$ horas semanais ($X=5$).

Um sociólogo estuda a relação entre a idade de emancipação dos jovens ($X$) e o nível de renda per capita da sua região ($Y$). Ao representar o diagrama de dispersão, observa que o centro de gravidade é $G(28, 1400)$. Uma das retas de regressão é $y = -50x + 2800$. Sabendo que a variância da idade é $s_x^2 = 9$ e a variância da renda é $s_y^2 = 360.000$:

1. a) Calcule a covariância $s_{xy}$ e o coeficiente de correlação linear.
2. b) Obtenha a equação da reta de regressão de $X$ sobre $Y$.
3. c) Determine o ângulo que formam ambas as retas de regressão. Esse ângulo, por si só, permite afirmar que a correlação é forte? Justifique comparando-o com o valor de $r$.

Duas variáveis $X$ e $Y$ têm desvios padrão marginais $s_x = 4$ e $s_y = 6$. Sabe-se que as duas retas de regressão são perpendiculares entre si.

1. a) Qual é o valor da covariância $s_{xy}$ e do coeficiente de correlação $r$?
2. b) O que esse resultado implica para a capacidade preditiva do modelo linear?
3. c) Se adicionássemos um novo ponto $(x, y)$ à distribuição que coincidisse exatamente com o centro de gravidade, o valor do coeficiente de correlação mudaria? Raciocine a resposta.

Dada uma distribuição bidimensional, verificou-se que os desvios padrão de ambas as variáveis são iguais ($s_x = s_y$).

1. a) Demonstre algebricamente que, neste caso, o coeficiente de correlação linear coincide com o coeficiente angular da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

1. b) Se a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,6x + 2$, qual é o coeficiente de determinação?

1. c) Qual seria o coeficiente angular da reta de regressão de $X$ sobre $Y$ nestas condições?

Dadas as retas de regressão $y = -2x + 10$ e $x = -0,4y + 4$, justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, demonstrando por meio do cálculo dos parâmetros correspondentes:

1. a) A correlação entre as variáveis é positiva porque ambos os coeficientes angulares têm o mesmo sinal.

1. b) O centro de gravidade da distribuição é o ponto $(3, 4)$.

1. c) As variáveis têm uma dependência funcional perfeita.

1. d) A variância de $Y$ é maior do que a variância de $X$.

As alturas de uma amostra de casais (homem, mulher) foram organizadas na seguinte tabela de dupla entrada (dados em cm):

Utilizando as marcas de classe:

1. a) Calcule a covariância da distribuição.
2. b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
3. c) Existe uma relação forte entre as alturas dos membros do casal nesta amostra?

Realizou-se uma prova de recuperação de Matemática. Observa-se que a relação entre as notas da primeira prova ($X$) e as da segunda ($Y$) segue uma tendência linear. Sabe-se que:

• $\bar{x} = 4$; $\bar{y} = 6$

• As duas retas de regressão se intersectam formando um ângulo muito pequeno, e o produto dos coeficientes de regressão, $b_{yx}\cdot b_{xy}$ (o de $Y$ sobre $X$ e o de $X$ sobre $Y$), é $0,81$.

• Ambos os coeficientes de regressão são positivos.

1. a) Determine o coeficiente de correlação de Pearson e indique que porcentagem da nota da segunda prova é explicada pela nota da primeira.

1. b) Se o desvio padrão de $X$ é metade do de $Y$, obtenha a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

1. c) Se um aluno tirou $2$ na primeira prova, que nota se estima para ele na segunda?

Em um estudo sobre o rendimento dos patinetes elétricos, analisa-se a temperatura ambiente ($X$, em $^\circ C$) e a autonomia real obtida ($Y$, em km). São conhecidos os seguintes dados:

• A variância da temperatura é $s_x^2 = 16$.

• A reta de regressão da autonomia em função da temperatura é $y = -0,85x + 42$.

• O coeficiente de determinação é $R^2 = 0,7225$.

Calcule:

1. a) A covariância entre a temperatura e a autonomia.
2. b) O desvio padrão da autonomia, $s_y$.
3. c) O que aconteceria com o coeficiente de correlação se decidíssemos medir a temperatura em graus Fahrenheit utilizando a transformação $F = 1,8X + 32$? Justifique sua resposta com base nas propriedades da correlação.

Um estudo sociológico analisa a relação entre o número de livros lidos por ano ($X$) e a pontuação em um teste de agilidade mental ($Y$). A covariância é $12,5$. Ao dobrar o número de livros lidos de todos os entrevistados e somar 5 pontos a todos no teste de agilidade mental, pede-se:

1. a) Justifique o que acontece com a nova covariância $\sigma'_{xy}$.
2. b) Se o coeficiente de correlação original era $r = 0,75$, qual será o novo coeficiente $r'$ após as alterações? Justifique sua resposta analiticamente.
3. c) A confiabilidade das previsões mudará após essas modificações dos dados?