Exercícios: Diagramas de dispersão e correlação

Observe os seguintes diagramas de dispersão representados a seguir. Identifique em cada caso se a correlação é positiva, negativa ou nula.

Associe cada uma das seguintes duplas de variáveis ao tipo de nuvem de pontos que você esperaria obter (crescente, decrescente ou sem forma definida):

1. a) O número de quilômetros rodados por um carro e o combustível que resta no seu tanque.
2. b) A altura de um grupo de adolescentes e a sua nota na prova de Língua Portuguesa.
3. c) As horas de treinamento de um atleta e a sua marca pessoal em uma corrida de 100 metros rasos.
4. d) A temperatura exterior no verão e o consumo de energia dos aparelhos de ar-condicionado.

Um aplicativo de música analisou os dados de 8 usuários para verificar a relação entre a idade deles ($X$, em anos) e o número de músicas diferentes que escutam por mês ($Y$). A nuvem de pontos resultante é mostrada a seguir:

Com base no gráfico, podemos dizer que a correlação é forte ou fraca? Justifique se o número de músicas escutadas tende a aumentar ou a diminuir conforme a idade aumenta, segundo essa amostra.

Explique de forma fundamentada por que os seguintes dados não poderiam ser representados corretamente por meio de um diagrama de dispersão no contexto da estatística bidimensional:

Aluno	Cor dos olhos	Esporte favorito
Marta	Azul	Basquete
Jorge	Castanho	Futebol
Ana	Verde	Tênis

Foram medidos o peso ($X$) e a altura ($Y$) dos jogadores de um time de basquete. A nuvem de pontos mostra uma forma muito alongada e estreita que segue uma direção ascendente.

O que nos indica o fato de a nuvem ser "estreita" em relação à intensidade da correlação? Como chamaríamos a relação entre o peso e a altura neste caso (direta ou inversa)?

Suspeita-se de que existe uma relação entre o número de faltas às aulas ($X$) e a nota final do período ($Y$). Os dados de uma turma foram representados no seguinte diagrama:

No gráfico aparece um ponto vermelho que se afasta claramente da tendência geral do grupo. Como se denomina este tipo de ponto em estatística e o que poderia significar neste contexto real?

Indique se as seguintes afirmações sobre os diagramas de dispersão são verdadeiras ou falsas:

1. a) Se todos os pontos do diagrama estiverem exatamente sobre uma reta crescente, a correlação é perfeita e positiva ($r = 1$).
2. b) Um diagrama de dispersão com pontos em forma circular indica uma correlação muito forte.
3. c) Em um diagrama de dispersão, a variável independente é representada sempre no eixo das ordenadas ($Y$).
4. d) O diagrama de dispersão permite visualizar rapidamente se existe alguma relação entre duas variáveis numéricas.

Comparamos duas nuvens de pontos representadas nos seguintes gráficos. Ambas mostram uma relação direta entre as variáveis.

1. a) Em qual dos dois gráficos os pontos estão mais próximos de uma possível reta de regressão?
2. b) Qual dos dois terá um coeficiente de correlação $r$ mais próximo de $1$?
3. c) Se no gráfico A o valor de $r$ é $1$, que valor razoável (entre $0$ e $1$) você poderia atribuir ao gráfico B?

O coeficiente de correlação de Pearson, $r$, é uma medida adimensional que oscila em um intervalo determinado. Dos seguintes valores, indique quais não são possíveis para um coeficiente de correlação e explique por quê:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

A covariância $\sigma_{xy}$ nos informa sobre o sentido da variação conjunta de duas variáveis. Sem realizar todos os cálculos complexos, observe os seguintes dados que relacionam a temperatura de um refrigerante ($X$, em $^\circ C$) e o tempo que ele está fora da geladeira ($Y$, em minutos):

Tempo ($Y$)	5	10	15	20	25
Temperatura ($X$)	6	9	13	18	22

1. a) À medida que o tempo aumenta, a temperatura tende a aumentar ou a diminuir?
2. b) Justifique, de acordo com a sua resposta anterior, se a covariância será positiva, negativa ou nula.

Observe o seguinte diagrama de dispersão que representa a relação entre as horas de treinamento semanal ($X$) e os pontos marcados em uma temporada por um grupo de jogadores de basquete ($Y$).

Com base na forma da nuvem de pontos, responda:

1. a) É uma relação direta ou inversa?
2. b) Como você classificaria a força da correlação: forte ou fraca?
3. c) Qual sinal você espera que a covariância $\sigma_{xy}$ tenha para esses dados?

A direção da relação entre duas variáveis nos indica como uma varia quando a outra muda. Determine se existe uma correlação positiva, correlação negativa ou se as variáveis são não correlacionadas nos seguintes casos:

1. a) O número de faltas às aulas e a nota final do curso.
2. b) O tamanho do calçado de uma pessoa e a sua nota média em Matemática.
3. c) A temperatura externa no verão e o consumo de energia dos aparelhos de ar-condicionado.
4. d) Os anos de uso de um celular e o seu preço de revenda no mercado de usados.

Em estatística, é fundamental distinguir entre uma relação que pode ser calculada com uma fórmula exata e outra que apenas mostra uma tendência. Indique se a relação entre as seguintes duplas de variáveis é funcional ou estatística (correlação):

1. a) O número de horas que um estudante do 11º ano passa jogando videogames e a sua nota no exame de Economia.
2. b) O comprimento do lado de um quadrado e o seu perímetro.
3. c) Os litros de gasolina que se colocam em um carro e o valor total a pagar no posto de combustível.
4. d) A altura de um adolescente e o seu peso corporal.

Um grupo de pesquisadores quer estudar se existe relação entre o tempo semanal que os adolescentes dedicam às telas de lazer (televisão, celular ou videogame) e o seu rendimento escolar. Para isso, selecionaram uma amostra de 8 estudantes e coletaram os seguintes dados:

Horas de tela ($X$)	12	18	5	22	10	15	8	25
Nota média ($Y$)	$7,5$	$6,2$	$8,8$	$5,5$	$8,0$	$6,8$	$8,2$	$4,8$

1. a) Represente no seu caderno o diagrama de dispersão associado a esta distribuição bidimensional (horas de tela no eixo horizontal e nota média no eixo vertical).

1. b) Considerando o seu gráfico, que tipo de correlação parece existir entre as duas variáveis (direta ou inversa)? Justifique se você acha que a relação é forte ou fraca.

Um influencer analisa a relação entre o número de horas que dedica à edição de um vídeo ($X$) e o número de "curtidas" que recebe nas primeiras 24 horas ($Y$, em milhares). Após publicar 10 vídeos, obtém um diagrama de dispersão muito estreito e ascendente, exceto por um vídeo que, com apenas 1 hora de edição, conseguiu um número enorme de "curtidas" devido a um desafio viral.

1. a) Como se chama tecnicamente esse ponto que se afasta da tendência geral da nuvem de pontos?
2. b) Se o influencer decidir eliminar esse dado atípico do seu estudo, o que ocorreria com o valor absoluto do coeficiente de correlação $r$? Aumentaria ou diminuiria? Justifique sua resposta.
3. c) A relação entre as variáveis passaria a ser mais ou menos linear após eliminar esse ponto?

A tabela a seguir mostra a distância percorrida ($X$, em km) e o tempo gasto ($Y$, em min) por um ciclista em suas saídas de treinamento:

Distância ($X$)	10	15	20	25	30	35
Tempo ($Y$)	22	35	42	58	70	82

1. a) Desenhe o diagrama de dispersão.
2. b) Trace à mão livre a reta que melhor se ajuste aos pontos (reta de regressão).
3. c) Utilizando a reta que você desenhou, estime quanto tempo o ciclista levaria para percorrer 45 km. Você acha que essa estimativa é confiável?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Foi realizado um estudo sobre a relação entre o número de livros lidos por ano ($X$) e a pontuação em um teste de compreensão leitora ($Y$) em um grupo de alunos. A nuvem de pontos resultante é mostrada a seguir:

1. a) Indique se existe uma dependência funcional ou uma dependência estatística. Explique a diferença entre esses dois conceitos usando este exemplo.
2. b) Classifique a correlação segundo o seu sinal e a sua intensidade (forte, moderada ou fraca).
3. c) Poderíamos afirmar que "ler mais livros causa necessariamente tirar uma nota melhor"? Explique a diferença entre correlação e causalidade.

Dadas as seguintes duplas de variáveis, indique para quais delas faria sentido construir um diagrama de dispersão para analisar sua relação. Justifique sua decisão em cada caso:

1. O nome dos alunos da turma e a sua altura.

2. O número de horas de estudo e a nota em uma prova.

3. A cor dos olhos e o gênero de uma pessoa.

4. O preço de um carro usado e os quilômetros rodados.

Um grupo de pesquisadores analisa a relação entre o tempo semanal dedicado a videogames de estratégia (variável $X$, em horas) e a pontuação obtida em um teste de raciocínio lógico (variável $Y$, de 0 a 100). Os dados de 10 adolescentes mostram uma correlação linear positiva muito forte, com exceção de um indivíduo que dedica 25 horas semanais e obtém apenas 10 pontos no teste.

Com base na representação gráfica:

1. Explique fundamentadamente como o ponto $P$ afeta o valor do coeficiente de correlação de Pearson $r$ e o coeficiente angular da futura reta de regressão.

2. Se eliminássemos o ponto $P$, poderíamos afirmar que existe uma relação de causalidade entre jogar videogames e o raciocínio lógico? Justifique sua resposta analisando a natureza das variáveis.

Estuda-se a relação entre o investimento em publicidade em redes sociais ($X$, em milhares de reais) e o número de novos assinantes ($Y$, em centenas) para dois aplicativos de celular diferentes, "App A" e "App B". As nuvens de pontos resultantes mostram que ambos têm uma média de investimento de $\bar{x} = 5$ e uma média de assinantes de $\bar{y} = 12$. No entanto, o App A apresenta uma nuvem muito dispersa em forma circular, enquanto o App B apresenta uma nuvem muito estreita e alongada com coeficiente angular negativo.

1. Faça um esboço de ambas as nuvens de pontos em um mesmo sistema de eixos, diferenciando-as por cores ou símbolos.

2. Compare os coeficientes de correlação $r_A$ e $r_B$. Em qual caso é mais confiável realizar uma previsão do número de assinantes com base no investimento?

3. O que significaria, no contexto do marketing, que o App B tenha um coeficiente angular negativo?

Um biólogo mede a altura de uma espécie de planta exótica ($Y$, em cm) em função da quantidade de fertilizante nitrogenado aplicado ($X$, em mg). Ele observa que, no início, a altura aumenta rapidamente com o fertilizante, mas a partir de certa quantidade, a planta se satura e a altura se estabiliza ou até mesmo decresce ligeiramente devido à toxicidade.

1. Analise a nuvem de pontos e determine se um modelo de regressão linear seria adequado para descrever essa relação em todo o domínio de $X$.

2. Se o biólogo calcular o coeficiente de correlação de Pearson para todos os dados e obtiver um valor próximo a $0$, isso significa que as variáveis são independentes? Justifique a resposta com base na forma da nuvem.

Dadas as seguintes quatro nuvens de pontos associadas a diferentes fenômenos sociais, atribua fundamentadamente a cada uma um destes coeficientes de correlação: $r_1 = 0,95$, $r_2 = -0,80$, $r_3 = 0,05$ e $r_4 = -0,10$.

Argumente sua escolha com base na dispersão em relação a uma possível reta e no sentido da inclinação dos pontos.

Em um estudo sobre demografia urbana, representam-se no eixo $X$ a densidade populacional (hab/$km^2$) e no eixo $Y$ o preço médio do aluguel ($\text{R\$}\ /m^2$). A nuvem de pontos obtida apresenta uma estrutura muito peculiar: dois grupos de pontos claramente diferenciados ("clusters"). O grupo 1 corresponde a bairros periféricos e o grupo 2 a bairros do centro histórico.

1. Se dentro de cada grupo separadamente a correlação for positiva e forte, mas ao considerar todos os pontos juntos a nuvem parecer não ter tendência clara, que problemas encontraríamos ao tentar calcular um único coeficiente de correlação de Pearson para toda a cidade?

2. Explique como a existência de variáveis qualitativas ocultas (como o tipo de bairro) pode "enganar" a interpretação de uma nuvem de pontos bidimensional.

Obteve-se a seguinte nuvem de pontos que relaciona o consumo mensal de energia elétrica de uma residência ($X$, em kWh) com a temperatura média externa nesse mês ($Y$, em $^\circ C$).

1. Descreva a relação entre as variáveis. É uma relação linear em todo o seu percurso?

2. Justifique por que o coeficiente de determinação $R^2$ para um ajuste linear seria muito baixo, apesar de existir uma relação evidente entre as variáveis.

3. Proponha uma forma de dividir o estudo desta nuvem de pontos para poder aplicar técnicas de regressão linear de forma eficaz.

Um psicólogo do esporte estuda a relação entre o nível de ativação pré-jogo (ansiedade, variável $X$) e o rendimento em lances livres de jogadores de basquete (porcentagem de acerto, variável $Y$). A literatura sugere que existe um "nível ótimo" de ativação: se for muito baixo, o jogador fica apático; se for muito alto, fica bloqueado.

1. Desenhe uma nuvem de pontos hipotética que reflita essa situação (conhecida como a lei de Yerkes-Dodson).

2. Se um analista de dados calculasse a covariância $s_{xy}$ dessa nuvem e obtivesse um valor próximo de zero, seria correto concluir que o nível de ansiedade não influi no rendimento? Justifique sua resposta analisando a geometria da nuvem de pontos que você desenhou.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere uma nuvem de pontos com uma correlação linear positiva muito forte ($r = 0,98$). Suponha que transformemos todos os valores da variável $X$ por meio da operação $X' = X + 50$ e todos os valores da variável $Y$ por meio de $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Descreva quais alterações a nuvem de pontos sofreria no plano (translação, deformação, mudança de escala).

2. Raciocine, sem fazer cálculos, se o novo coeficiente de correlação $r'$ será maior, menor ou igual ao original $r$.

3. A confiabilidade das previsões mudaria se usássemos a nova nuvem de pontos transformada? Explique por quê.