Exercícios: Equações com radicais

Resolva a seguinte equação irracional e verifique a validade da solução obtida:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determine o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação irracional:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Resolva a seguinte equação que contém uma raiz de índice superior:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Encontre a solução da equação igualando ambos os radicais e verifique o resultado:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

O tempo $t$ (em segundos) que um objeto leva para cair livremente de uma altura $h$ (em metros) é dado pela fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule de qual altura uma pedra foi deixada cair se levou exatamente $3$ segundos para atingir o solo.

Encontre os valores de $x$ que satisfazem a seguinte igualdade com frações no radicando:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

O raio $r$ da base de um cilindro de volume $V$ e altura $h$ é calculado pela expressão $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Se uma embalagem cilíndrica de $15\text{ cm}$ de altura tem um volume de $471\text{ cm}^3$, monte a equação correspondente e encontre o raio de sua base (utilize a aproximação $\pi \approx 3,14$).

Resolva a seguinte equação irracional e explique por que uma das possíveis soluções algébricas obtidas após elevar ao quadrado não é válida:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

A Júlia está resolvendo a equação irracional $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ e apresenta na lousa os seguintes passos:

1) Eleva ao quadrado ambos os membros: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

2) Agrupa termos: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0$.

3) Conclui: «As soluções da equação são $x = 0$ e $x = 5$».

1. a) Aponte o erro conceitual que a Júlia cometeu em sua conclusão e explique por que a operação de elevar ao quadrado membros completos pode introduzir valores que não resolvem a equação de partida.
2. b) Escreva a resolução completa e correta, realizando a verificação rigorosa de cada candidato na equação original para determinar o conjunto final de soluções válidas.

Considere a equação com um radical $\sqrt{5x - 4} = x - 2$:

1. a) Sem elevar ao quadrado, deduza um limite inferior para a incógnita, levando em conta que o radical aritmético assume valores não negativos e que, portanto, deve valer $x - 2 \ge 0$. A partir desse limite, estime qual dos números inteiros $x = 1$, $x = 4$ ou $x = 8$ pode ser a solução real, avaliando mentalmente ambos os membros.
2. b) Resolva algebricamente a equação isolando o radical e elevando ao quadrado ambos os membros.
3. c) Verifique os valores obtidos na equação de partida e explique como a sua estimativa prévia permitia descartar de antemão a solução falsa gerada pelo método algébrico.

Resolva a seguinte equação irracional que contém dois radicais:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Calcule a coordenada $x$ na qual deve se situar um ponto $P(x, 4)$ do ponto $A(-2, 1)$ para que a distância euclidiana entre ambos seja exatamente de $5$ unidades. Monte a equação irracional correspondente usando a fórmula da distância e resolva-a.

O custo de produção $C$ (em milhares de reais) para fabricar $x$ unidades de um componente eletrônico de alta precisão segue o modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Se o orçamento exato destinado para a produção deste lote é de $25$ milhares de reais, quantas unidades podem ser fabricadas?

Encontre as soluções reais da seguinte equação irracional isolando adequadamente um dos radicais antes de elevar ao quadrado:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

O período $T$ de oscilação de um pêndulo simples (em segundos) relaciona-se com o seu comprimento $L$ (em metros) por meio da expressão física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando a aceleração da gravidade como $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, monte a equação e determine o comprimento de um pêndulo cujo período de oscilação é exatamente de $2,5$ segundos.

Encontre as soluções reais da seguinte equação que contém um radical aninhado (um radical dentro de outro):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Resolva a seguinte equação irracional. Será mais simples se você aplicar uma mudança de variável adequada, por exemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

Em um projeto de arquitetura, projeta-se uma rampa de acesso apoiada em um muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. O comprimento da rampa é $\sqrt{x^2 + 144}$ e a distância horizontal do início da rampa até a base do muro é $x$. Se por normas de segurança e inclinação a rampa deve medir exatamente $4\text{ m}$ a mais que a distância horizontal $x$, monte e resolva a equação irracional para determinar $x$.

Modele uma equação com um radical da forma $\sqrt{a \cdot x + b} = x - 2$, onde $a$ e $b$ sejam números inteiros, que cumpra simultaneamente estas duas condições:

1) Ao elevar ambos os membros ao quadrado e transpor termos, a equação de segundo grau resultante tenha como candidatos a solução $x = 7$ e $x = -1$.

2) Ao verificar esses candidatos na equação original com o radical, $x = 7$ seja uma solução válida e $x = -1$ resulte ser uma solução espúria (falsa).

Explique de forma dedutiva como você determina os valores dos coeficientes $a$ e $b$ a partir da soma e do produto das raízes da equação quadrática, escreva a equação definitiva e faça a verificação explícita de ambos os valores na equação construída.

Nas obras de modernização de uma estação de bombeamento da Companhia de Saneamento do Rio São Francisco, duas comportas reguladoras de vazão registram leituras de nível relacionadas pela seguinte equação com dois radicais:

$\sqrt{2x + 15} - \sqrt{x - 1} = 3$

onde $x$ representa o calado de segurança da bacia em decímetros ($x \ge 1$).

1. a) Formule e resolva a equação, isolando convenientemente um radical e desenvolvendo as duas elevações ao quadrado necessárias.
2. b) Verifique a validade dos candidatos obtidos, substituindo-os na equação original.
3. c) Ao contrário do que acontece habitualmente em equações irracionais com duas elevações ao quadrado, analise e justifique por que motivo, neste caso, ambos os valores numéricos resultam ser soluções reais válidas, prestando especial atenção ao sinal dos membros imediatamente antes da segunda elevação ao quadrado.

Resolva a seguinte equação irracional que contém três radicais. Tenha especial cuidado ao agrupar os termos após a primeira elevação ao quadrado:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Um cabo de fibra óptica deve conectar duas torres de comunicação $A$ e $B$ com $15\text{ m}$ e $20\text{ m}$ de altura, respectivamente, passando por um ponto de ancoragem $P$ situado no solo entre as duas torres. A distância horizontal entre as torres é de $35\text{ m}$. Se o ponto $P$ está a $x$ metros da torre $A$, o comprimento total do cabo é dado por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Se há exatamente $50\text{ m}$ de cabo disponível e deseja-se usá-lo por inteiro, sem cortes, determine a que distância $x$ a ancoragem $P$ deve ficar.

Determine o valor numérico do parâmetro $k$ para que a equação irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenha uma única solução real válida de multiplicidade um. Justifique sua resposta analisando o discriminante da equação quadrática resultante e as condições de validade do radical.

Resolva a seguinte equação que combina as propriedades dos valores absolutos com expressões irracionais. Considere cuidadosamente os casos do valor absoluto:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Resolva a seguinte equação irracional com raízes de diferentes índices. Será de grande ajuda fazer a mudança de variável $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

A teoria da relatividade especial estabelece que a massa relativística $m$ de um objeto em movimento é dada pela equação $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, onde $m_0$ é a massa em repouso, $v$ é a velocidade do objeto e $c$ é a velocidade da luz no vácuo. Isole algebricamente a velocidade $v$ em função de $m$, $m_0$ e $c$. Em seguida, calcule a que fração da velocidade da luz $c$ deve viajar uma nave espacial para que sua massa relativística seja exatamente o dobro de sua massa em repouso.

Discuta e resolva o seguinte sistema de equações não lineares que envolve radicais. Pode-se aproveitar a estrutura algébrica da segunda equação (diferença de quadrados) para simplificar o processo:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Demonstre algebricamente e de forma fundamentada por que a equação irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ não possui soluções no conjunto dos números reais. Baseie sua demonstração na análise do domínio de definição dos radicais envolvidos, sem a necessidade de elevar ambos os membros ao quadrado.

Para resolver a equação com radicais de índice diferente $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[4]{2x - 1} = 6$, dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• Método do Marcos: Isolar a raiz quadrada, $\sqrt{2x - 1} = 6 - \sqrt[4]{2x - 1}$, elevar ao quadrado ambos os membros, isolar a raiz quarta resultante e voltar a elevar à quarta potência para eliminar todos os radicais.

• Método da Sara: Definir a incógnita auxiliar $t = \sqrt[4]{2x - 1}$, expressar a equação em função de $t$, resolver a equação polinomial resultante e desfazer a mudança de variável.

1. a) Analise comparativamente ambos os caminhos: indique fundamentadamente o grau da equação polinomial que o Marcos obteria após as suas sucessivas potenciações e argumente qual dos dois métodos é mais eficiente e seguro para evitar erros operatórios e raízes espúrias de grau elevado.
2. b) Resolva a equação aplicando o método da Sara. Justifique por que motivo uma das soluções obtidas para $t$ deve ser descartada de imediato antes de calcular $x$, e encontre a solução real única da equação.

No dimensionamento do sistema de frenagem de um protótipo de bonde elétrico em Porto Alegre, a distância de parada $x$ (em metros, com $x \ge -2,5$) em relação a uma baliza de controle é regulada pela equação com valor absoluto e radical:

$|\sqrt{2x + 5} - 4| = k$

onde $k$ é uma constante física de calibração ($k \ge 0$).

1. a) Para o ajuste particular $k = 1$, desdobre a equação em duas equações com radicais de acordo com a definição de valor absoluto, resolva-as e verifique as soluções válidas de $x$.
2. b) Faça uma discussão completa do número de soluções reais que a equação possui em função dos valores do parâmetro $k \ge 0$. Determine os intervalos ou valores exatos de $k$ para os quais a equação tem:

• Exatamente duas soluções reais distintas.

• Exatamente uma solução real.

• Nenhuma solução real.

1. c) Justifique as suas deduções relacionando o conjunto imagem do radical aritmético $\sqrt{2x + 5} \ge 0$ com a interpretação geométrica do valor absoluto como distância ao valor $4$ na reta real.