Exercícios: Outras equações

Resolva a seguinte equação biquadrada encontrando todas as suas soluções reais:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Determine o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação com a incógnita no denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Encontre as soluções reais da equação irracional, verificando a validade delas:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Determine o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação exponencial:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Aplique as propriedades dos logaritmos para resolver a equação:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Determine os valores de $x$ que satisfazem a equação com módulo:

$|2x - 5| = 7$

Fatore o polinômio e resolva a equação do terceiro grau:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Resolva a seguinte equação racional reduzindo-a a uma equação polinomial:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

O Carlos precisa resolver em uma prova a equação logarítmica $\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (onde o logaritmo está na base 10). Na folha dele, escreve o seguinte desenvolvimento:

1. Aplico a propriedade da soma de logaritmos: $\log[x(x - 3)] = 1$.

2. Por definição de logaritmo: $x(x - 3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

3. Resolvo a equação quadrática: $(x - 5)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 5$ e $x_2 = -2$.

4. Verificação: ao substituir $x = -2$, temos $(-2)\cdot(-2 - 3) = (-2)\cdot(-5) = 10 > 0$; como o argumento resultante é positivo, ambas as soluções são válidas.

1. a) Identifique o erro conceitual cometido pelo Carlos e explique por que o argumento dele no passo 4 é incorreto quando aplicado à equação original.
2. b) Determine o domínio de validade da equação de partida e escreva o conjunto final de soluções reais válidas.

Elabore uma equação biquadrada da forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ (com coeficientes inteiros $b, c \in \mathbb{Z}$) que cumpra simultaneamente duas condições:

1. Suas únicas soluções reais devem ser $x = 2$ e $x = -2$.

2. A equação quadrática auxiliar em $t$ ($t = x^2$) deve ter duas soluções reais distintas (ou seja, discriminante estritamente positivo, $\Delta > 0$).

Mostre passo a passo como você deduz os valores de $b$ e $c$, justificando que sinal deve ter cada raiz da variável auxiliar $t$ e por que essa escolha garante que a equação original não tenha quatro soluções reais.

A diagonal de um retângulo mede $10$ cm e sua área é de $48\text{ cm}^2$. Monte uma equação biquadrada para determinar o comprimento de seus lados e resolva-a.

Duas mangueiras enchem um reservatório em $6$ horas trabalhando juntas. Se a primeira mangueira leva $5$ horas a menos que a segunda para encher o reservatório sozinha, quanto tempo cada uma leva? Monte e resolva a equação racional correspondente.

Resolva a seguinte equação irracional com dois radicais e verifique a solução obtida:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Uma cultura de bactérias cresce segundo uma lei exponencial. Para determinar o instante crítico de um experimento, um biólogo deve resolver a equação $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Determine os valores de $x$ aplicando uma mudança de variável.

Aplique as propriedades dos logaritmos para agrupar os termos e resolva a equação:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Encontre todos os valores reais de $x$ que satisfazem a seguinte equação com módulo quadrático:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma cartolina retangular de $20 \times 15$ cm, recortando quadrados iguais de lado $x$ nos cantos e dobrando as bordas. Se o volume da caixa deve ser de $378\text{ cm}^3$, formule a equação polinomial de terceiro grau correspondente e encontre o valor de $x$, sabendo que é um número inteiro.

Uma amostra de material radioativo se desintegra de modo que a quantidade restante $M(t)$ em gramas após $t$ anos obedece à expressão $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. Quantos anos devem decorrer para que restem exatamente $50$ gramas de material? Expresse o resultado exato usando logaritmos naturais.

Considere a equação exponencial $4^x + 2^{x+1} = 80$.

1. a) Antes de resolvê-la algebricamente, delimite de forma fundamentada entre quais dois números inteiros se encontra a solução real. Para isso, avalie mentalmente o membro esquerdo para $x = 2$ e para $x = 4$, e justifique essa delimitação a partir do crescimento estrito das funções exponenciais.
2. b) Resolva formalmente a equação fazendo a mudança de variável $u = 2^x$. Justifique com precisão qual raiz da equação do segundo grau auxiliar é descartada e por qual motivo teórico.
3. c) Verifique se o valor exato obtido coincide com a sua estimativa prévia e confira a igualdade numérica na equação original.

Para resolver a equação polinomial $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$, dois colegas de turma propõem caminhos distintos:

• A Maria Eduarda propõe procurar uma raiz inteira testando entre os divisores de 12 e fatorar aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini.

• O Marcos sugere agrupar termos dois a dois: $(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$, e colocar em evidência fatores comuns consecutivos, sem necessidade de testar divisores.

1. a) Resolva a equação seguindo o método da Maria Eduarda, mostrando o dispositivo de Briot-Ruffini e a equação do segundo grau resultante.
2. b) Resolva a equação seguindo o método do Marcos, detalhando cada fator comum colocado em evidência.
3. c) Compare ambos os procedimentos: justifique qual se revela mais eficiente neste caso concreto e explique se o método do Marcos seria aplicável a qualquer equação do terceiro grau ou se exige uma relação particular entre os coeficientes (apoie a sua resposta em um contraexemplo).

Determine para quais valores do parâmetro $k$ a equação biquadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tem exatamente duas soluções reais distintas. Justifique fundamentadamente sua resposta.

Um ciclista viaja de um vilarejo A a um vilarejo B, separados por $60$ km, a uma velocidade constante. Na viagem de volta, devido ao vento em contra, sua velocidade diminui $5$ km/h, por isso leva $1$ hora a mais para realizar o mesmo percurso. Formule a equação racional que modela a situação e determine a velocidade de ida.

Uma torre de telecomunicações está situada na margem reta de um rio. Deseja-se esticar um cabo em linha reta de um ponto $P$ da margem até a torre, e outro cabo de $P$ até uma cabana situada $5$ km rio abaixo da torre e $1$ km terra adentro. Se o comprimento total do cabo utilizado é de $6$ km, formule uma equação irracional e determine a que distância da torre se encontra o ponto $P$.

Resolva a seguinte equação exponencial que envolve bases distintas, colocando o fator comum em evidência em cada membro:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

A energia $E$ (em ergs) liberada por um terremoto relaciona-se com a sua magnitude $M$ na escala Richter mediante a equação $\log E = 11,8 + 1,5M$. Se um terremoto libera $1000$ vezes mais energia do que outro cuja magnitude é de $4,2$, qual é a magnitude do primeiro terremoto na escala Richter?

Encontre todas as soluções reais da equação com valor absoluto aninhado:

$||x - 2| - 3| = 1$

O número PIN de um cartão é formado por quatro algarismos inteiros positivos, consecutivos e em ordem crescente. Se formarmos um polinômio mônico $P(x)$ de grau $4$ cujas raízes sejam exatamente esses quatro algarismos, resulta que seu termo independente é igual a $24$. Determine o polinômio $P(x)$ expandido e o número PIN de quatro algarismos.

Resolva o seguinte sistema não linear que modela o cruzamento de duas trajetórias no plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determine os pontos de interseção algebricamente.

Em uma propriedade agrícola de uma região do interior de Minas Gerais, planeja-se construir uma bacia de retenção retangular a céu aberto para otimizar o armazenamento de água em períodos de seca.

O projeto técnico estabelece que a base terá um comprimento que supera em $8\text{ metros}$ a sua largura $x$. Por motivos geotécnicos de estabilidade dos taludes, a profundidade (altura) da bacia deve ser exatamente igual à metade da sua largura.

1. a) Sabendo que o volume líquido necessário é de $96\text{ m}^3$, formule a equação polinomial na sua forma geral $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ que modela a capacidade da bacia em função da sua largura $x$.
2. b) Resolva a equação fatorando o polinômio mediante o teorema do resto e a regra de Ruffini. Demonstre, analisando o discriminante do polinômio quociente, que não existem outras dimensões reais possíveis.
3. c) Indique as dimensões finais da bacia (largura, comprimento e profundidade).
4. d) Se uma norma técnica posterior limitasse a profundidade máxima a $1,5\text{ metros}$, mantendo as mesmas relações do projeto (comprimento $x+8$ e profundidade igual a metade da largura), fundamente algebricamente (sem necessidade de resolver uma nova equação completa) por que seria impossível atingir o volume exigido de $96\text{ m}^3$.

Considere a família de equações exponenciais dependentes do parâmetro real $k$:

1. a) Aplique a mudança de variável $u = 2^x$ para transformar a equação em uma do segundo grau e formule explicitamente a restrição algébrica que qualquer solução de $u$ deve satisfazer para gerar uma solução real de $x$.
2. b) Discuta fundamentadamente o número de soluções reais da equação original em função dos valores do parâmetro $k$. Determine com precisão para que valores ou intervalos de $k$ a equação:

1. Tem exatamente duas soluções reais distintas.

2. Tem uma única solução real.

3. Não tem nenhuma solução real.

(Justifique a sua classificação analisando o discriminante da equação em $u$ e os sinais das suas raízes por meio da soma e do produto de Girard.)

1. c) Para o caso particular $k = 3$, calcule todas as soluções exatas da equação (utilizando logaritmos quando não for uma potência inteira da base).

Desafio do tema. Como o clima influencia o consumo de energia da sua casa? Desenhe um modelo matemático para otimizar o uso da climatização de acordo com a temperatura externa.

Fase 1. Dados reais. Consulte no site do INMET as temperaturas máxima e mínima do seu município nos últimos três dias. Calcule a média ($T_m$) e formule uma equação com valor absoluto, $|T - T_m| = k$ com $k = 3$ °C, para determinar os dois limiares críticos de conforto térmico.

Fase 2. Resolução algébrica.

1) Modele o custo médio horário segundo as horas de uso $t$ por meio de uma equação racional: $\frac{12t + 35}{t} = 14,5$. Isole a incógnita e analise a sua viabilidade.

2) Modele o fluxo térmico com uma equação irracional que conduza a uma do segundo grau: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$. Resolva analiticamente no seu caderno, verificando e descartando possíveis soluções falsas.

Fase 3. GeoGebra e conclusões. Represente no GeoGebra as funções associadas (valor absoluto, racional e a parábola derivada do radical) para visualizar os pontos de interseção. Redija um relatório breve com os seus gráficos e uma recomendação fundamentada de consumo doméstico.

Será avaliado:

• Precisão na resolução analítica das equações e discriminação de soluções não válidas.

• Uso correto do GeoGebra para contrastar geometricamente os resultados algébricos.

• Coerência e rigor do relatório ao articular os dados do INMET com a proposta final.