Exercícios: Equações irracionais

Resolva a seguinte equação irracional e verifique a validade de sua solução:

$\sqrt{4x + 9} = 5$

Encontre o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação com uma raiz cúbica:

$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$

Determine as possíveis soluções da equação do segundo grau sob o radical:

$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$

Resolva a equação irracional isolando o radical e elevando ao quadrado. Preste especial atenção às possíveis soluções falsas:

$\sqrt{2x + 15} = x$

Determine a solução igualando os radicandos da seguinte equação:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$

Isole a incógnita $x$ na equação irracional que contém uma fração em seu radicando:

$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$

Em cinemática, o tempo $t$ (em segundos) que um objeto leva para cair livremente de uma altura $h$ (em metros) é dado pela fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule de que altura uma pedra foi deixada cair se levou exatamente $4$ segundos para atingir o solo.

A diagonal $d$ de um retângulo pode ser calculada a partir de seus lados $b$ e $h$ usando o teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Se sabemos que a diagonal mede $13$ cm e um de seus lados mede $5$ cm, monte a equação irracional correspondente e calcule o comprimento do outro lado.

O Lucas resolveu no quadro a equação irracional $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ seguindo estes passos:

1) Eleva ambos os membros ao quadrado: $2x - 3 = (x - 3)^2 \implies 2x - 3 = x^2 - 6x + 9$.

2) Agrupa os termos em um único membro: $x^2 - 8x + 12 = 0$.

3) Aplica a fórmula de Bhaskara e obtém duas soluções: $x_1 = 6$ e $x_2 = 2$.

4) Conclui: «O conjunto final de soluções da equação é $\{2, 6\}$».

1. a) Sem resolver a equação do zero, detecte o erro cometido pelo Lucas e explique de forma fundamentada por que a operação de elevar ao quadrado pode introduzir valores que não satisfazem a igualdade original.
2. b) Verifique ambos os valores na equação inicial e determine qual é a única solução real válida.

Dada a equação irracional $\sqrt{2x + 1} = x - 1$:

1. a) Antes de operar algebricamente, analise as restrições de sinal: deduza para que valores de $x$ existe a raiz quadrada em $\mathbb{R}$ e para quais o membro da direita é não negativo. Com isso, delimite o intervalo da reta real onde é viável encontrar soluções.
2. b) Avalie mentalmente os valores $x = 0$, $x = 2$ e $x = 4$. A partir dessa avaliação, estime entre que números inteiros deve estar a solução real e argumente se pode haver uma solução menor do que $1$.
3. c) Resolva a equação elevando ambos os membros ao quadrado, verifique se a solução encontrada coincide com a sua estimativa inicial e descarte formalmente qualquer solução espúria, justificando o motivo.

Resolva a equação com dois radicais isolando-os adequadamente em membros diferentes antes de elevar ao quadrado:

$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$

Encontre as soluções da seguinte equação, verificando obrigatoriamente os resultados obtidos para descartar soluções estranhas:

$x - \sqrt{2x - 1} = 2$

O período $T$ de um pêndulo simples (o tempo que leva para realizar uma oscilação completa) é calculado pela fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, onde $L$ é o comprimento do fio em metros e $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ é a aceleração da gravidade. Se um relógio de pêndulo em uma exposição científica tem um período exato de $2,5$ segundos, determine o comprimento de seu pêndulo. Utilize a aproximação $\pi \approx 3,14$.

A distância entre os pontos $A(2, -1)$ e $B(x, 3)$ no plano cartesiano é exatamente de $5$ unidades. Monte a equação irracional correspondente à distância entre dois pontos e calcule as possíveis coordenadas $x$ do ponto $B$.

Resolva a seguinte equação que envolve a diferença de duas raízes quadradas. Isole uma das raízes antes de elevar ao quadrado:

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, o custo de produção diário $C(x)$ em reais em função de $x$ unidades fabricadas é modelado pela função $C(x) = 250 + 15\sqrt{x - 50}$. Se em um determinado dia o custo de produção foi exatamente de $850$ reais, quantas unidades foram fabricadas?

Resolva a seguinte equação irracional fazendo uma mudança de variável adequada (por exemplo, $t = \sqrt{x}$):

$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$

A distância $d$ em quilômetros a que se encontra o horizonte para um observador situado a uma altura $h$ em metros acima do nível do mar é aproximada de forma simplificada pela fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Se um vigia no cesto da gávea de um navio pirata avista terra a uma distância de $15$ km, a que altura ele se encontra aproximadamente?

A equipe técnica da empresa responsável pela manutenção da catenária na linha de alta velocidade entre São Paulo e o Rio de Janeiro estuda a tensão mecânica $T$ (em quilonewtons, kN) do cabo condutor em função de sua dilatação térmica $x$ (em centímetros). O comportamento estrutural do trecho responde ao modelo empírico $T = \sqrt{8x + 17}$. Para assegurar o contato correto com o pantógrafo do trem, o contrapeso mecânico do poste impõe simultaneamente a condição linear $T = x + 1$.

1. a) Modele a equação irracional que permite determinar a dilatação $x$ correspondente à posição de equilíbrio do sistema.
2. b) Resolva a equação isolando a incógnita por meio da elevação ao quadrado.
3. c) Interprete física e matematicamente por que uma das duas soluções algébricas obtidas não faz sentido e deve ser descartada. Indique o valor admissível da dilatação $x$ e a tensão $T$ nesse ponto.

Crie uma equação irracional da forma $\sqrt{ax + b} = x + c$ (onde $a$, $b$ e $c$ são números inteiros) que cumpra estritamente as três condições seguintes:

1) Ao elevar ambos os membros ao quadrado e reduzir os termos semelhantes, resulte exatamente na equação quadrática $x^2 - 5x - 6 = 0$.

2) O valor $x = 6$ seja a ÚNICA solução real válida da equação irracional original.

3) O valor $x = -1$ seja descartado por ser uma solução espúria introduzida durante o processo algébrico.

Mostre com clareza o raciocínio que permite deduzir os valores dos coeficientes $a$, $b$ e $c$, escreva a equação definitiva e verifique nela a validade de $x = 6$ e o descarte de $x = -1$, justificando a diferença de sinal.

Resolva a seguinte equação irracional que contém três radicais. Certifique-se de verificar as soluções obtidas ao final do processo:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Encontre as soluções reais da equação com radicais aninhados:

$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$

Discuta de forma fundamentada para quais valores do parâmetro real $k > 0$ a equação $\sqrt{x + k} = x$ tem exatamente uma única solução real válida.

Um engenheiro projeta uma rampa de carga para um galpão logístico. A base horizontal mede $x$ metros e a altura mede $2$ metros a menos que a base. Se o comprimento da rampa (a hipotenusa) é dado pela expressão $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ e é exigido que meça exatamente $\sqrt{34}$ metros, monte a equação irracional e determine as dimensões reais da rampa.

Resolva a seguinte equação irracional. Pode-se racionalizar previamente o denominador, ou multiplicar em cruz e agrupar os termos de forma inteligente para facilitar o cálculo:

$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$

Segundo a Teoria da Relatividade Especial de Einstein, o fator de Lorentz $\gamma$ determina a dilatação do tempo e é calculado como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, onde $v$ é a velocidade da nave e $c$ é a velocidade da luz no vácuo. Se em uma missão espacial se observa que o tempo passa a $50\%$ do ritmo terrestre (ou seja, $\gamma = 2$), resolva a equação irracional para determinar a que fração da velocidade da luz viaja a nave.

Resolva a seguinte equação irracional isolando estrategicamente os radicais e verificando as soluções ao final:

$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$

Uma rede elétrica deve conectar uma central $A$ situada em um lado de um rio reto de $4$ km de largura com uma cidade $B$ situada no lado oposto, $10$ km rio abaixo. O custo de passar o cabo sob a água é de $5$ milhões de reais por km, e por terra é de $3$ milhões de reais por km. Se o cabo cruza o rio em linha reta até um ponto $P$ situado a $x$ km rio abaixo e depois vai por terra até $B$, o custo total em milhões de reais é $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Encontre o valor de $x$ que faz com que o custo total seja exatamente de $46$ milhões de reais, resolvendo a equação irracional correspondente.

Considere a equação: $x^2 - 3x - \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 1$.

Dois estudantes da 1ª série do Ensino Médio propõem dois métodos de resolução distintos:

• Estratégia A (Elevação direta): Isolar o radical, $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = x^2 - 3x - 1$, e elevar ambos os membros ao quadrado, obtendo uma equação do 4º grau em $x$ para resolvê-la aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini.

• Estratégia B (Mudança de variável): Aproveitar a estrutura repetida da expressão e definir $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$ (com a condição $t \ge 0$), transformando a igualdade em uma equação do 2º grau em $t$.

1. a) Compare de forma fundamentada ambas as estratégias, analisando a dificuldade operacional, o número de candidatos a solução que cada uma gera e o risco de arrastar raízes espúrias. Justifique qual dos dois caminhos é objetivamente mais simples e eficiente.
2. b) Resolva a equação por meio da Estratégia B, justificando o descarte imediato de qualquer valor de $t$ inadmissível antes de desfazer a mudança, e encontre todas as soluções reais de $x$.

Num teste de avaliação, pede-se para discutir o número de soluções reais da equação $\sqrt{x + 5} = x + m$ em função do parâmetro real $m$.

A Sofía apresenta a seguinte resolução:

«Elevo ao quadrado: $x + 5 = x^2 + 2mx + m^2 \implies x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 5) = 0$.

O discriminante é $\Delta = (2m - 1)^2 - 4(m^2 - 5) = 21 - 4m$.

Conclusão: se $m < 21/4$, como $\Delta > 0$, a equação irracional tem duas soluções reais; se $m = 21/4$, tem uma solução; e se $m > 21/4$, não tem nenhuma solução real».

1. a) Explica de forma rigorosa por que razão a conclusão da Sofía é incompleta e falsa, indicando que condição obrigatória das equações irracionais ela não teve em conta ao transpor os resultados da quadrática para a equação original.
2. b) Apresenta um contraexemplo concreto escolhendo um valor numérico de $m < 21/4$ para o qual a equação irracional tenha apenas UMA solução real em vez de duas. Resolve a equação com esse valor de $m$ e mostra qual dos candidatos é descartado e porquê.
3. c) Realiza a discussão completa e correta do número de soluções reais da equação para todos os possíveis valores de $m \in \mathbb{R}$.