Exercícios: Volume de um corpo geométrico

Um pacote que contém um teclado "gamer" tem a forma de um paralelepípedo. Suas dimensões são $45\text{ cm}$ de comprimento, $15\text{ cm}$ de largura e $5\text{ cm}$ de altura. Calcule o volume de ar que a caixa ocupa em centímetros cúbicos.

Uma lata de refrigerante cilíndrica tem um diâmetro de $6\text{ cm}$ e uma altura de $12\text{ cm}$. Calcule o volume dela usando o valor de $\pi \approx 3,14$.

Uma pirâmide de vidro decorativa tem uma base quadrada de $8\text{ cm}$ de lado e uma altura de $10\text{ cm}$. Calcule o volume de vidro necessário para fabricá-la.

O professor de educação física guarda as bolas de handebol em uma caixa. Se cada bola tem um raio de $9\text{ cm}$, calcule o volume de uma delas arredondando para duas casas decimais. (Use $\pi \approx 3,14$).

Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone. O raio da base é de $3\text{ cm}$ e a altura dela é de $12\text{ cm}$. Calcule quantos centímetros cúbicos de sorvete cabem no interior dela (sem que sobre nada por cima).

Calcule o volume de um prisma cuja base é um triângulo retângulo de catetos $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, sabendo que a altura do prisma é de $15\text{ cm}$.

Um aquário tem a forma de um paralelepípedo com as seguintes medidas: $60\text{ cm}$ de comprimento, $30\text{ cm}$ de largura e $40\text{ cm}$ de altura. Calcule quantos litros de água cabem no aquário se for cheio por completo. (Lembre-se de que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$).

Uma peça de queijo tem a forma de um cilindro com um raio de $10\text{ cm}$ e uma altura de $8\text{ cm}$. Se cortarmos o queijo exatamente ao meio verticalmente, qual será o volume de cada uma das duas partes resultantes? (Use $\pi \approx 3,14$).

O Marcos quer calcular a capacidade em litros de uma garrafa térmica cilíndrica que usa para levar água para a escola. Com uma régua, mede o exterior e obtém $8\text{ cm}$ de diâmetro e $20\text{ cm}$ de altura. No caderno dele, escreve:

$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 20 \approx 3,14 \cdot 64 \cdot 20 = 4\,019,2\text{ cm}^3 \approx 40,2\text{ L}$

e conclui que na garrafa térmica cabem mais de $40\text{ litros}$ de água. Identifique os dois erros cometidos pelo Marcos (um geométrico e outro de conversão de unidades), explique com clareza por que estão incorretos e calcule a capacidade real aproximada da garrafa térmica em litros, arredondando para duas casas decimais.

Na quadra poliesportiva do seu bairro vão encher uma bola gigante de ginástica (esférica) que tem um diâmetro de $60\text{ cm}$. Antes de começar a fazer cálculos com decimais:

1. a) Estime de forma fundamentada um limite superior para a capacidade dela: se a bola estivesse perfeitamente encaixada dentro de uma caixa cúbica com $60\text{ cm}$ de aresta, quantos litros de ar essa caixa conteria? A partir desse limite, justifique se lhe parece possível que a bola ultrapasse os $150\text{ L}$.
2. b) Calcule agora o volume exato da bola em decímetros cúbicos (litros), considerando $\pi \approx 3,14$.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa anterior e verifique se a sua intuição estava correta, justificando a relação geométrica entre a esfera e o cubo.

A prefeitura de uma cidade instalou floreiras de cimento com a forma de um prisma hexagonal regular. Se cada lado do hexágono da base mede $30 \text{ cm}$ e a altura da floreira é de $60 \text{ cm}$, calcule o volume de terra (em litros) necessário para enchê-la por completo.

(Dado: lembre-se de que você deve primeiro encontrar o apótema da base utilizando o teorema de Pitágoras).

Uma garrafa térmica para café tem forma cilíndrica. O raio da base mede $4 \text{ cm}$ e a altura total é de $25 \text{ cm}$. Se a garrafa térmica está cheia até $80 \%$ da sua capacidade, quantos copos de $150 \text{ ml}$ podem ser cheios completamente?

(Considere $\pi \approx 3,14$ e lembre-se de que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litro}$).

Uma pirâmide de vidro decorativa tem uma base quadrada de $12 \text{ cm}$ de lado. Se a aresta lateral (o segmento que une o vértice superior a um vértice da base) mede $10 \text{ cm}$, calcule o volume de vidro que a peça contém.

(Nota: você deverá aplicar o teorema de Pitágoras duas vezes: primeiro para encontrar a diagonal da base e depois para encontrar a altura da pirâmide).

Deseja-se fabricar um sorvete em forma de cone cuja geratriz mede $15 \text{ cm}$ e o raio da base é de $6 \text{ cm}$. Calcule o volume de sorvete que cabe no interior do cone. Se, ao servi-lo, for adicionada uma semiesfera perfeita de sorvete sobre a base (de mesmo raio), qual será o volume total do sorvete?

Um reservatório de água tem a forma de um tronco de cone. O raio da base maior é de $3 \text{ m}$, o raio da base menor é de $1,5 \text{ m}$ e a altura do reservatório é de $4 \text{ m}$. Calcule a capacidade do reservatório em metros cúbicos.

(Sugestão: você pode usar a fórmula do volume do tronco de cone ou vê-lo como a diferença entre dois cones).

Três esferas metálicas de raio $3 \text{ cm}$ são fundidas para criar uma única esfera de maior tamanho. Supondo que não se perca material no processo, qual será o raio da nova esfera resultante? Arredonde o resultado para as centésimas.

Um copo cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diâmetro interno contém água até uma altura de $10 \text{ cm}$. Introduz-se em seu interior uma pedra de forma irregular e o nível da água sobe até os $12,5 \text{ cm}$ sem transbordar. Na figura, a linha tracejada marca o nível inicial da água e a linha azul contínua, o nível final.

Qual é o volume da pedra expresso em centímetros cúbicos?

Calcule o volume de um corpo geométrico formado por um cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura e $4 \text{ cm}$ de raio, que tem em sua parte superior uma pirâmide quadrangular cuja base está inscrita na circunferência do cilindro e cuja altura é de $6 \text{ cm}$.

(Dica: o lado do quadrado da base da pirâmide coincide com o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio $4 \text{ cm}$).

Uma empresa de cosméticos de Belo Horizonte quer comercializar um novo perfume em um frasco com a forma de uma pirâmide reta de base quadrada. A equipe de design estabelece que o frasco deve conter exatamente $100\text{ mL}$ de colônia (cheio até o vértice) e que, para ser confortável de segurar com uma mão, o lado da base quadrada deve medir $5\text{ cm}$.

1. a) Expresse o volume pretendido em centímetros cúbicos.
2. b) Apresente uma equação a partir da fórmula do volume da pirâmide e calcule a altura interna que o frasco deve ter.
3. c) Se, para reduzir custos, decidirem manter a mesma altura que você calculou, mas substituir o frasco piramidal por uma embalagem cilíndrica cuja base tenha um raio igual à metade do lado do quadrado original ($r = 2,5\text{ cm}$), ela terá maior ou menor capacidade do que o frasco piramidal? Justifique sua resposta comparando as fórmulas, sem necessidade de calcular o volume numérico do cilindro.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou em uma estação do Cerrado uma precipitação de $45\text{ mm}$ (equivalente a $45\text{ L/m}^2$) durante uma tempestade de outono. Um agricultor tem em seu terreno um reservatório retangular para coletar água da chuva, aberto em cima, com $4\text{ m}$ de comprimento, $2,5\text{ m}$ de largura e $1,2\text{ m}$ de profundidade, inicialmente vazio. Bem ao lado, tem um pluviômetro caseiro de forma cilíndrica com $10\text{ cm}$ de diâmetro interno e $30\text{ cm}$ de altura, também aberto e vazio.

1. a) Calcule quantos litros de água caíram diretamente dentro do reservatório retangular durante a tempestade.
2. b) Que altura, em centímetros, atingiu a água acumulada dentro do reservatório retangular? E que altura terá atingido no interior do pluviômetro cilíndrico? Justifique sua resposta a partir da definição de «milímetros de chuva».
3. c) Que porcentagem da capacidade total do reservatório retangular ficou ocupada com esta tempestade?

Uma empresa de design de mobiliário urbano projetou uma lixeira de concreto com a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As dimensões externas da base superior são de $40\text{ cm}$ de lado, as da base inferior são de $30\text{ cm}$ de lado e a altura total é de $80\text{ cm}$. Para que seja funcional, o interior é oco com a mesma forma, mas deixando paredes de uma espessura constante de $5\text{ cm}$ nas laterais e na base inferior (a parte superior é aberta). Calcule o volume de concreto necessário para fabricar cada lixeira em decímetros cúbicos ($dm^3$).

Um escultor deseja criar uma peça de aço inoxidável que consiste em um cubo de $20\text{ cm}$ de aresta do qual foram extraídos oito tetraedros em seus vértices. Cada tetraedro é formado unindo o vértice do cubo com os pontos médios das três arestas que concorrem nesse vértice (um truncamento médio). Determine o volume final da escultura. Qual porcentagem do volume do cubo original foi eliminada?

Existe uma ampulheta formada por dois cones idênticos unidos por seus vértices, dentro de um cilindro protetor de vidro. Os cones têm um raio de base de $6\text{ cm}$ e uma altura de $10\text{ cm}$. Se o depósito superior está cheio de areia até a metade da sua altura, calcule o volume de areia em $cm^3$. Se a areia cai para o depósito inferior a um ritmo constante de $5\text{ cm}^3$ por minuto, quanto tempo levará para esvaziar a parte superior? (Lembre-se de aplicar a semelhança de cones para encontrar o raio da superfície da areia).

Uma esfera de chumbo de $10\text{ cm}$ de raio é fundida para fabricar pequenos cilindros de $2\text{ cm}$ de diâmetro e $3\text{ cm}$ de altura. Supondo que no processo de fundição se perca $5\%$ do material, quantos cilindros completos poderão ser fabricados? Se cada cilindro tem uma massa de $107\text{ g}$, qual é a densidade do chumbo utilizado em $g/cm^3$?

Um silo de cereais tem uma forma composta: uma parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura e $4\text{ m}$ de diâmetro, finalizada na parte superior por uma semiesfera e na parte inferior por um cone de descarga de $3\text{ m}$ de altura. Calcule a capacidade total do silo em metros cúbicos. Se o silo for preenchido a $85\%$ de sua capacidade, quantas toneladas de trigo conterá se a densidade do trigo for de $750\text{ kg/m}^3$?

O Princípio de Cavalieri estabelece que, se dois corpos têm a mesma altura e a área de suas seções a qualquer altura é igual, então eles têm o mesmo volume. Utilize esta ideia para comparar o volume de uma esfera de raio $R$ com o volume compreendido entre um cilindro de raio $R$ e altura $2R$, e um cone duplo inscrito nele. Demonstre matematicamente que o volume da esfera é de fato $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, calculando primeiro o volume do cilindro e subtraindo o dos dois cones.

Um frasco de perfume tem a forma de um octaedro regular de $6\text{ cm}$ de aresta. No entanto, o vidro tem uma espessura de $2\text{ mm}$ em todas as suas faces. O fabricante afirma que o frasco pode conter $80\text{ ml}$ de fragrância ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Realize os cálculos necessários para verificar se a afirmação é verdadeira. (Dado: O volume de um octaedro de aresta $a$ é $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Você deverá considerar como a espessura afeta a aresta da cavidade interior).

Deseja-se submergir uma peça metálica com forma de pirâmide hexagonal regular em um recipiente cilíndrico de $15\text{ cm}$ de raio que contém água. A pirâmide tem uma aresta da base de $10\text{ cm}$ e uma aresta lateral de $20\text{ cm}$. Ao introduzir a peça completamente, quantos milímetros subirá o nível da água no recipiente? (Lembre-se de que primeiro você deve calcular a altura da pirâmide usando o Teorema de Pitágoras duas vezes).

Para reformar uma praça de pedestres em Porto Alegre, projetam-se jardineiras maciças de concreto. Cada peça externa é um prisma reto de base quadrada com $80\text{ cm}$ de lado e $60\text{ cm}$ de altura. Na face superior escava-se um espaço semiesférico de $30\text{ cm}$ de raio para colocar a terra das plantas. Dois mestres de obras propõem métodos distintos para encomendar o volume total de concreto para 10 jardineiras:

• Método A: Calcular o volume do prisma maciço, calcular o volume da semiesfera que se retira, subtrair ambos os volumes para uma jardineira e multiplicar o resultado por 10.

• Método B: Aproximar a semiesfera por um cilindro de raio $30\text{ cm}$ e profundidade $30\text{ cm}$, e decompor o concreto em quatro prismas retangulares laterais ao redor do espaço oco mais um prisma quadrangular inferior como base de apoio.

1. a) Analise a adequação matemática de ambos os métodos. Qual dos dois métodos é exato e qual introduz um erro de aproximação no volume de concreto? Justifique por que o método descartado não é rigoroso.
2. b) Seguindo o método adequado, calcule o volume total de concreto necessário para fabricar as 10 jardineiras (em $\text{m}^3$, arredondando para os centésimos).
3. c) Sabendo que a densidade do concreto utilizado é de $2\,400\text{ kg/m}^3$, determine se um caminhão com uma carga útil máxima de $7\,500\text{ kg}$ conseguirá transportar as 10 jardineiras em uma única viagem ou se ultrapassará o limite autorizado. Justifique com cálculos.

Num laboratório de ciências de uma escola, quer-se determinar experimentalmente o volume corporal de um aluno para estimar sua composição corporal, aplicando o princípio da imersão em água. Utiliza-se um reservatório cilíndrico com $1\text{ m}$ de diâmetro interno parcialmente cheio de água.

1. a) Quando o aluno entra completamente na água (mergulhando a cabeça e expirando o ar dos pulmões), o nível da água no reservatório sobe exatamente $8,5\text{ cm}$. Modele matematicamente a situação e calcule o volume do corpo do aluno em decímetros cúbicos (litros), tomando $\pi \approx 3,14$.
2. b) Se a massa do estudante é de $68\text{ kg}$, calcule sua densidade média global em $\text{kg/L}$. Tendo em conta que o tecido muscular e ósseo tem uma densidade média aproximada de $1,1\text{ kg/L}$ e o tecido adiposo de $0,9\text{ kg/L}$, avalie se o valor obtido é fisiologicamente coerente e explique se este aluno, com os pulmões vazios, tenderia a flutuar ou a afundar em água doce (densidade da água: $1\text{ kg/L}$).
3. c) Proponha e resolva o problema inverso: se no mesmo reservatório cilíndrico for introduzido um halter de ferro maciço cujo volume é de $4,5\text{ dm}^3$, quantos milímetros o nível da água aumentará? Arredonde às décimas.