Exercícios: Corpos de revolução

Imagine que você tem uma cartolina retangular de $10\text{ cm}$ de base e $15\text{ cm}$ de altura. Se você a fizer girar rapidamente sobre um dos lados de $15\text{ cm}$ (o lado marcado como eixo de rotação na figura), que corpo de revolução se gera? Desenhe o corpo resultante e indique quanto medem o seu raio e a sua altura.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma lata de refrigerante padrão tem a forma cilíndrica. Se o raio da base dela mede $3,25\text{ cm}$ e a altura é de $12\text{ cm}$, calcule a área do rótulo de papel que envolve lateralmente a lata (área lateral). Use $\pi \approx 3,14$.

Para uma fantasia de mago, um estudante fabricou um chapéu com a forma de um cone. Se o raio da base é de $10\text{ cm}$ e a altura do chapéu é de $24\text{ cm}$, utilize o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da geratriz ($g$) do cone.

Uma bola de tênis tem um diâmetro aproximado de $6,7\text{ cm}$. Calcule a superfície total de feltro necessária para cobrir a bola, tratando-a como uma esfera perfeita. Expresse o resultado em $\text{cm}^2$.

Calcule o volume de um depósito de água cilíndrico que tem um raio de $2\text{ metros}$ e uma altura de $5\text{ metros}$. Se $1\text{ m}^3$ equivale a $1000\text{ litros}$, quantos litros de água o depósito pode conter?

Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone. O raio da abertura superior é de $3\text{ cm}$ e a profundidade (altura) dela é de $10\text{ cm}$. Que volume de sorvete cabe exatamente no interior da casquinha? (Considere que o sorvete fica rente à borda, sem sobressair).

Se cortarmos uma laranja ao meio, obtemos duas semiesferas. Se o raio da laranja é de $4\text{ cm}$, calcule o volume de uma dessas metades.

Observe a seguinte planificação de um sólido de revolução.

1. a) De que sólido se trata?
2. b) Se o raio do círculo é $R = 5\text{ cm}$ e a altura do retângulo é $H = 10\text{ cm}$, calcule a área total da figura.

Para uma festa popular na sua terra, a Sara quer forrar com papel brilhante a parte externa de $20$ chapéus cônicos de cartolina. Cada chapéu tem um raio da base de $9\text{ cm}$ e uma altura de $12\text{ cm}$ (os chapéus são ocos e não têm base). O colega dela, Hugo, faz os seguintes cálculos para determinar o papel de um único chapéu:

Portanto, o Hugo conclui que para os $20$ chapéus eles precisarão exatamente de $20 \cdot 339,12 = 6.782,4\text{ cm}^2$ de papel.

1. a) Identifique e explique os dois erros conceituais cometidos pelo Hugo: um na fórmula da superfície que ele utilizou e outro ao não calcular uma medida-chave do cone.
2. b) Corrija os cálculos determinando primeiro a geratriz do cone por meio do teorema de Pitágoras e calcule a quantidade real mínima de papel brilhante de que eles precisam para os $20$ chapéus.

A prefeitura de uma cidade quer restaurar e pintar uma escultura esférica de aço instalada numa rotatória, cujo diâmetro mede exatamente $4\text{ m}$. O pintor encarregado dispõe de latas de tinta antiferrugem em que o fabricante indica que cada lata cobre $12\text{ m}^2$.

1. a) Estime mentalmente, sem calculadora e arredondando $\pi \approx 3$, a superfície exterior da esfera e quantas latas seriam necessárias no mínimo. Explique os passos do seu cálculo mental.
2. b) Faça o cálculo rigoroso utilizando a fórmula da área da esfera ($A = 4\pi r^2$) com o valor de $\pi$ da calculadora (arredondando a área a duas casas decimais).
3. c) Verifique e compare o resultado real com a sua estimativa: teria sido suficiente comprar as latas estimadas com $\pi \approx 3$ ou o pintor teria ficado sem tinta antes de terminar? Justifique por que ocorre essa diferença ao arredondar $\pi$.

Um estúdio de fotografia utiliza um refletor com a forma de um cone para concentrar a luz. Se o refletor tem uma altura de $12\text{ cm}$ e o diâmetro de sua abertura circular é de $10\text{ cm}$, calcule a área total de material refletor necessária para fabricá-lo (sem contar a tampa da base).

Uma marca de suplementos vitamínicos projeta suas cápsulas com a forma de um cilindro e duas semiesferas nas extremidades. O comprimento total da cápsula é de $22\text{ mm}$ e o diâmetro do cilindro central é de $8\text{ mm}$. Calcule o volume total da cápsula em milímetros cúbicos.

Um copo de vidro tem a forma de um cilindro com um raio interno de $3,5\text{ cm}$. Se despejarmos nele um refrigerante que ocupa um volume de $250\text{ cm}^3$, qual altura o líquido alcançará dentro do copo? Arredonde o resultado para as centésimas.

Calcule a área lateral e o volume de um tronco de cone (como um balde de pipoca) cujas bases têm raios de $10\text{ cm}$ e $6\text{ cm}$, sabendo que a altura dele é de $15\text{ cm}$. Nota: Será necessário calcular primeiro a geratriz usando o Teorema de Pitágoras.

Um reservatório esférico de gás tem um diâmetro externo de $6\text{ metros}$. Os engenheiros querem aplicar uma camada de tinta anticorrosiva que custa $\text{R\$}\ 14,50$ por metro quadrado. Quanto custará pintar a superfície total do reservatório? (Use $\pi \approx 3,14$).

Gera-se um corpo de revolução ao girar um retângulo de base $4\text{ cm}$ e altura $7\text{ cm}$ em torno de um dos seus lados maiores.

1. Qual figura geométrica é obtida?

2. Calcule a sua área total.

3. Se girasse em torno do lado menor, teria o mesmo volume? Justifique a sua resposta fazendo os cálculos.

Em uma sorveteira, serve-se uma bola de sorvete perfeitamente esférica de $6\text{ cm}$ de diâmetro sobre uma casquinha em forma de cone de $10\text{ cm}$ de altura e com o mesmo diâmetro da bola. Se o sorvete derreter e ficar contido exatamente dentro da casquinha, transbordará ou haverá espaço livre? Responda comparando os volumes da esfera e do cone.

Uma empresa de transporte de encomendas utiliza tubos cilíndricos de papelão para enviar plantas de arquitetura. Se cada tubo tem uma área lateral de $942\text{ cm}^2$ e uma altura de $50\text{ cm}$:

1. Calcule o raio da base do tubo.

2. Calcule a quantidade de papelão necessária para fabricar as duas tampas circulares de cada tubo. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

A Marinha do Brasil inspeciona uma boia de sinalização cilíndrico-cônica no porto de Santos. A boia é composta por um corpo cilíndrico inferior de $1,2\text{ m}$ de diâmetro e $1,5\text{ m}$ de altura, arrematado na sua parte superior por uma ponta cônica com o mesmo diâmetro e uma altura de $0,8\text{ m}$. Deve-se aplicar uma tinta náutica especial em toda a superfície exterior visível: a parede lateral do cilindro, a base plana circular inferior submersa e a superfície lateral do cone (a união circular entre o cilindro e o cone é interna e não se pinta).

1. a) Calcule a geratriz da ponta cônica.
2. b) Calcule a área total exterior que deve ser pintada (apresente o resultado arredondado a duas casas decimais).
3. c) Cada lata de tinta náutica cobre no máximo $4,5\text{ m}^2$ por demão. Se as normas técnicas exigem a aplicação de duas demãos completas e as latas são vendidas apenas inteiras a $28,50\text{ \text{R\$}\ }$ a unidade, quantas latas devem ser adquiridas e qual será o custo final do material?

Uma empresa de conservas vegetais em Goiânia projeta uma nova lata cilíndrica de folha de flandres com tampa superior e inferior. Por requisitos de resistência e empilhamento, estabelece-se que a altura do cilindro deve ser exatamente o triplo do raio da sua base ($h = 3r$). Além disso, para cumprir o orçamento de fabricação, a área total de chapa utilizada em cada lata deve ser de exatamente $128\pi\text{ cm}^2$ (cerca de $402,12\text{ cm}^2$).

1. a) Escreva a expressão algébrica da área total do cilindro em função unicamente do raio $r$, formule a equação correspondente e determine o valor exato do raio e da altura da embalagem.
2. b) Calcule que porcentagem da área total da lata corresponde à sua superfície lateral e que porcentagem corresponde às duas bases planas.
3. c) Justifique se estas porcentagens mudariam se decidíssemos duplicar o raio e a altura da embalagem mantendo a proporção $h = 3r$.

Um designer de luminárias quer criar uma cúpula com a forma de um tronco de cone. A cúpula tem uma altura de $24 \text{ cm}$, um diâmetro superior de $18 \text{ cm}$ e um diâmetro inferior de $30 \text{ cm}$. Para calcular o custo do material, ele precisa saber a área da superfície lateral. No entanto, para fabricá-la a partir de uma peça plana, primeiro deve determinar a altura do cone completo original do qual provém o tronco. Calcule a altura total mencionada e a área lateral da cúpula (sem as bases).

Uma taça de sorvete tem a forma de um cone invertido de $12 \text{ cm}$ de altura e $10 \text{ cm}$ de diâmetro na abertura. Ela é preenchida com milkshake de chocolate exatamente até a metade da sua altura. Um estudante afirma que a taça está "meio cheia", mas outro diz que há muito menos da metade do volume total. Calcule qual porcentagem do volume total da taça é realmente ocupada pelo milkshake para verificar quem tem razão.

Deseja-se construir um reservatório de aço para água que combine um cilindro de $4 \text{ m}$ de altura e $3 \text{ m}$ de raio com uma semiesfera perfeita em sua parte superior. Se o custo do aço é de $\text{R\$}\ 45$ por metro quadrado de superfície externa e a vedação da união entre a semiesfera e o cilindro custa $\text{R\$}\ 15$ por metro linear de circunferência, calcule o orçamento total para os materiais da superfície externa do reservatório (incluindo a base inferior plana).

Um rolo de massa de pedra tem a forma cilíndrica com um raio de $4 \text{ cm}$ e um comprimento de $25 \text{ cm}$. Deseja-se guardá-lo em uma caixa cilíndrica de modo que o rolo se encaixe exatamente (tangente às paredes e bases). Se for decidido substituir esse rolo por outro que tenha a metade do raio, mas o dobro do comprimento:

1. O volume da pedra utilizada vai variar? Justifique a resposta com cálculos.

2. Qual dos dois rolos exigiria uma caixa com maior área de superfície total?

Calcule o volume da figura gerada ao girar $360^\circ$ o seguinte trapézio retângulo em torno do lado $AB$. O lado $AD$ mede $6 \text{ cm}$ (base menor), o lado $BC$ mede $10 \text{ cm}$ (base maior) e a altura do trapézio (lado $AB$) mede $8 \text{ cm}$. Identifique o corpo resultante e calcule a sua área total.

Duas cidades, $P$ e $Q$, encontram-se sobre o mesmo paralelo, a uma latitude de $60^\circ \text{ N}$. A cidade $P$ tem uma longitude de $15^\circ \text{ E}$ e a cidade $Q$, de $45^\circ \text{ E}$. Sabendo que o raio da Terra é de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcule o raio do paralelo $60^\circ \text{ N}$ (Dica: utilize trigonometria ou lembre-se de que, no triângulo formado, o raio do paralelo é $R \cdot \cos(60^\circ)$).

2. Encontre a distância mínima entre as duas cidades medida sobre o arco desse paralelo.

Um frasco de perfume tem a forma de uma esfera de raio $R = 5 \text{ cm}$. O frasco está contido dentro de uma caixa com a forma de um cilindro reto que tem o mesmo raio e a mesma altura que o diâmetro da esfera.

1. Calcule a diferença entre o volume da caixa cilíndrica e o volume da esfera.

2. Demonstre que a área lateral do cilindro é igual à área da superfície da esfera.

Mergulhou-se totalmente uma esfera de chumbo de $6 \text{ cm}$ de diâmetro em um recipiente cilíndrico de $10 \text{ cm}$ de raio que continha água.

1. Quanto subiu o nível da água no recipiente após a introdução da esfera?

2. Se, depois disso, derretermos a esfera de chumbo e fabricarmos com ela um cone cuja base tem o mesmo raio que a esfera original ($3 \text{ cm}$), qual será a altura do cone?

Para fabricar a cúpula de um abajur de design com a forma de tronco de cone aberto em ambas as bases, uma oficina de iluminação em Salvador parte das seguintes medidas: raio superior $r = 10\text{ cm}$, raio inferior $R = 25\text{ cm}$ e altura vertical do tronco $h = 20\text{ cm}$. Dois membros da equipe técnica propõem métodos diferentes para calcular os metros quadrados de tecido necessários (área lateral):

• Método de Alba: Calcular diretamente a geratriz do tronco por meio do triângulo retângulo formado pela altura e pela diferença de raios, e aplicar a fórmula da área lateral do tronco: $A_L = \pi \cdot (R + r) \cdot g$.

• Método de Bruno: Prolongar o tronco até completar o cone original. Calcular por semelhança de triângulos a geratriz do cone completo e a do cone superior fictício, e obter a área lateral subtraindo ambas as áreas cônicas: $A_L = A_{L,\text{grande}} - A_{L,\text{pequeno}}$.

1. a) Aplique o Método de Alba para obter o valor exato da área lateral.
2. b) Aplique o Método de Bruno: formule a proporção de semelhança para encontrar as geratrizes necessárias e calcule a área lateral por diferença.
3. c) Compare ambos os métodos: os resultados coincidem exatamente? Justifique qual dos dois procedimentos se revela mais eficiente para este cálculo numérico e explique em que fase do design real (por exemplo, ao recortar o molde plano de tecido antes de curvá-lo) é imprescindível conhecer as medidas obtidas com o método de Bruno.

O Centro de Estudios de Física del Cosmos projeta uma cúpula de proteção para um novo sensor no Observatório de Javalambre (Teruel). A base circular de concreto sobre a qual será assentada a estrutura tem um raio fixo de $4\text{ m}$. Os arquitetos analisam duas coberturas que atingem a mesma altura máxima de $4\text{ m}$ acima do solo:

• Opção A (Semisférica): Uma cúpula com forma de semiesfera de raio $r = 4\text{ m}$.

• Opção B (Cônica): Uma cobertura cônica com raio da base $r = 4\text{ m}$ e altura zenital $h = 4\text{ m}$.

1. a) Calcule a área da superfície exterior exposta às intempéries para cada uma das duas opções (sem incluir o chão circular). Apresente os resultados em função de $\pi$ e com aproximação decimal às centésimas.
2. b) Demonstre algebricamente que a razão entre a área da cobertura cônica e a área da cúpula semisférica é um valor constante independente do raio, desde que a altura do cone coincida com o seu raio ($h = r$). Qual é essa razão exata expressa com radicais?
3. c) Se o revestimento isolante exterior custa $130\text{ \text{R\$}\ /m}^2$, calcule a economia exata decorrente de escolher a opção com menor superfície exterior. Tendo em conta o clima de alta montanha com nevascas intensas, que vantagem física adicional apresenta a opção geométrica mais econômica no que diz respeito ao escoamento do peso da neve acumulada?