Exercícios: Poliedros

Observe o seguinte cubo e numere seus elementos fundamentais. Indique quantas faces, vértices e arestas ele tem no total. Faça isso em seu caderno.

Verifique se o Teorema de Euler é válido em um prisma de base triangular. Para isso, conte os seus elementos e aplique a fórmula:

$C + V = A + 2$

onde $C$ é o número de faces, $V$ o de vértices e $A$ o de arestas.

Classifique o seguinte sólido geométrico indicando se é um prisma ou uma pirâmide. Fundamente sua resposta observando suas faces laterais e suas bases.

Qual é o nome do poliedro regular que tem 4 faces que são triângulos equiláteros? Desenhe um esquema simples da sua forma e indique quantos vértices ele tem.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Relacione cada um dos 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platônicos) com o polígono que forma suas faces:

• Tetraedro

• Cubo (Hexaedro)

• Octaedro

• Dodecaedro

• Icosaedro

Os polígonos disponíveis são: Triângulo equilátero, Quadrado e Pentágono regular.

Um fabricante de caixas de presente quer projetar uma com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Se as dimensões da base são $10\text{ cm}$ e $15\text{ cm}$, e a altura é de $20\text{ cm}$, indique quantas das suas faces são iguais entre si.

Se temos um poliedro convexo com 12 faces e 20 vértices (um dodecaedro), utilize o Teorema de Euler para calcular o número de arestas que ele tem.

Observe o desenho desta pirâmide quadrangular. Identifique e nomeie o segmento marcado com a letra $h$ (que vai do vértice ao centro da base) e o segmento marcado com a letra $a$ (altura de uma face lateral).

O Lucas está estudando as propriedades de uma pirâmide reta cuja base é um heptágono regular (polígono de 7 lados). No caderno dele, afirma o seguinte: «Como a base tem 7 lados, a pirâmide tem exatamente 7 faces, 7 vértices e 14 arestas. Se eu aplicar o Teorema de Euler, obtenho $7 + 7 = 14 + 2$, ou seja, $14 = 16$, o que é impossível. Portanto, o Teorema de Euler não vale em pirâmides com bases de número ímpar de lados». Explique de forma fundamentada os dois erros de contagem que o Lucas comete ao identificar os elementos da pirâmide, indique o número correto de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$), e verifique se a relação de Euler é satisfeita.

Você quer transportar um guarda-chuva rígido que mede exatamente $55\text{ cm}$ de comprimento dentro de uma mala de cabine com a forma de paralelepípedo retângulo cujas dimensões internas são $40\text{ cm}$ de comprimento, $30\text{ cm}$ de largura e $20\text{ cm}$ de altura.

1. a) Antes de calcular o valor exato, estime de forma fundamentada se o guarda-chuva caberá ao longo da diagonal interna da mala. Para isso, calcule mentalmente a diagonal da base ($40\text{ cm} \times 30\text{ cm}$) e delimite entre quais dezenas inteiras consecutivas deve se situar a diagonal espacial total, sabendo que $50^2 = 2500$ e $60^2 = 3600$.
2. b) Calcule o comprimento exato da diagonal espacial do paralelepípedo retângulo (arredondando para duas casas decimais) e verifique se a sua estimativa estava correta e se o guarda-chuva cabe finalmente na mala.

Um arquiteto está projetando uma estrutura para um museu de arte moderna. A peça central é um poliedro convexo que tem $12$ faces e $30$ arestas. Devido a um erro nas plantas, não se indica o número de vértices. Utilize o Teorema de Euler para calcular quantos vértices tem a escultura e explique se é possível que se trate de um dodecaedro regular com base em seus elementos.

Na oficina de tecnologia, um grupo de alunos está construindo uma caixa com a forma de um prisma hexagonal regular para guardar filamentos de uma impressora 3D. A aresta da base mede $10 \text{ cm}$ e a altura do prisma é de $25 \text{ cm}$. Calcule a área total de papelão necessária para fabricar a caixa (incluindo a tampa).

Dado: Lembre-se de calcular primeiro a apótema da base usando o Teorema de Pitágoras.

Uma empresa de perfumes projetou um frasco com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A aresta da base mede $6 \text{ cm}$ e a aresta lateral (a que une o vértice a um canto da base) mede $10 \text{ cm}$. Calcule a altura da pirâmide para saber se cabe em uma prateleira de $9 \text{ cm}$ de altura.

Temos uma caixa de papelão em forma de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar em seu interior uma lâmpada fluorescente tubular que mede $128 \text{ cm}$ de comprimento. É possível guardá-la em linha reta unindo dois vértices opostos da caixa? Justifique sua resposta calculando a diagonal principal do poliedro.

Um colecionador de dados tem um muito especial com a forma de um octaedro regular (8 faces triangulares) onde cada aresta mede $4 \text{ cm}$. Se ele decidir fabricar um novo dado unindo os centros das faces do octaedro original:

1. a) Que nome recebe o poliedro resultante (seu poliedro dual)?
2. b) Quantas faces e quantos vértices terá este novo poliedro? Verifique se ele cumpre a fórmula de Euler.

Um troféu tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular. As arestas da base inferior medem $10 \text{ cm}$, as da base superior medem $4 \text{ cm}$ e a altura do tronco é de $12 \text{ cm}$. Calcule o volume de metal necessário para fundir este troféu.

Sugestão: Você pode usar a fórmula do volume do tronco ou considerar o tronco como a diferença de duas pirâmides.

Foi desenhada uma peça mecânica que consiste em um cubo de $8 \text{ cm}$ de aresta ao qual se fez um corte plano que passa pelos pontos médios das três arestas que concorrem em um vértice $V$. Assim elimina-se uma pequena pirâmide triangular (processo de truncamento). Na figura, as linhas vermelhas tracejadas marcam a pirâmide eliminada e as cinzentas tracejadas são arestas ocultas.

1. a) Quantas faces, vértices e arestas tem o novo poliedro resultante?

1. b) O teorema de Euler continua valendo depois do corte?

Calcule o volume de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem $12 \text{ cm}$ e $8 \text{ cm}$, e seus lados oblíquos medem $5 \text{ cm}$. A altura do prisma é de $20 \text{ cm}$.

Dado: Primeiro você deverá determinar a altura do trapézio da base para poder calcular sua área.

Para calcular o comprimento do cabo esticado que une dois vértices opostos mais distantes de um galpão industrial com forma de paralelepípedo retângulo de dimensões $12\text{ m}$ de comprimento, $9\text{ m}$ de largura e $8\text{ m}$ de altura, dois técnicos propõem caminhos diferentes:

• Método A: Aplicar duas vezes consecutivas o Teorema de Pitágoras em duas dimensões (primeiro no plano do chão para encontrar a diagonal da base, e com esse resultado, no triângulo retângulo vertical que contém a altura).

• Método B: Aplicar diretamente a fórmula da diagonal do paralelepípedo retângulo $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Calcule o comprimento do cabo por ambos os métodos, mostrando o desenvolvimento numérico. Em seguida, compare os dois procedimentos: qual deles permite compreender melhor a origem geométrica da fórmula e qual é mais eficaz na prática? Justifique também se o Método B poderia ser aplicado a qualquer prisma reto ou unicamente aos paralelepípedos retângulos.

Uma loja de artesanato de Ouro Preto precisa enviar pelos Correios uma réplica decorativa de uma espada que mede $42\text{ cm}$ de comprimento e que não pode ser dobrada nem desmontada. Para o envio, escolhem uma caixa comercial do tipo paralelepípedo retângulo com medidas internas de $32\text{ cm}$ de comprimento, $24\text{ cm}$ de largura e $15\text{ cm}$ de altura.

1. a) Modele a caixa como um paralelepípedo retângulo geométrico e calcule o comprimento máximo teórico que pode ter um objeto retilíneo fino para caber em seu interior sem se deformar.
2. b) Determine se a espada de $42\text{ cm}$ cabe na caixa e calcule quantos centímetros de margem sobram ou faltam em relação à diagonal espacial.
3. c) Se a espada medisse $45\text{ cm}$, quantos centímetros, no mínimo, seria necessário aumentar exclusivamente a altura da caixa (mantendo fixos os $32\text{ cm}$ de comprimento e $24\text{ cm}$ de largura) para que coubesse justa?

Uma empresa de logística utiliza caixas com forma de paralelepípedo reto-retângulo para transportar material esportivo. Um cliente precisa enviar um dardo de treinamento que mede exatamente $2,25$ metros de comprimento. O armazém dispõe de caixas cujas dimensões são $200$ cm de comprimento, $80$ cm de largura e $60$ cm de altura. Determine fundamentadamente, por meio do cálculo da diagonal do paralelepípedo, se o dardo pode viajar dentro da caixa sem dobrar (supondo que sua espessura seja desprezível).

Um designer de troféus para uma competição de videogames decidiu criar uma peça a partir de um cubo de cristal de $12$ cm de aresta. O processo consiste em "truncar" o cubo cortando cada um de seus $8$ vértices por meio de planos que passam pelos pontos médios das três arestas que concorrem em tal vértice.

1. a) Calcule o número de faces, vértices e arestas do poliedro resultante.
2. b) Verifique se o novo poliedro continua cumprindo o Teorema de Euler.
3. c) Que tipo de polígonos formam as faces do novo troféu?

Uma pirâmide quadrangular regular tem uma altura de $24$ cm e a área de sua base é de $100$ $cm^2$. Faz-se um corte com um plano paralelo à base a uma altura de $12$ cm a partir do vértice (ou seja, pelo ponto médio da altura).

1. a) Calcule a aresta da base da pirâmide superior.
2. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide inferior resultante após retirar a parte superior.

Temos dois prismas retos de base hexagonal regular que são semelhantes. O primeiro tem uma altura de $10$ cm e sua área total é de $350$ $cm^2$. Se o segundo prisma tem um volume que é exatamente $8$ vezes o volume do primeiro:

1. a) Qual é a razão de semelhança $k$ entre ambos os sólidos?
2. b) Calcule a altura e a área total do segundo prisma com base nas relações de semelhança para áreas e volumes.

Um reservatório de água tem a forma de um prisma reto cuja base é um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem $4$ m e $10$ m, e os lados iguais medem $5$ m. Se a altura do reservatório (o comprimento do prisma) é de $15$ m:

1. a) Calcule a área da base do reservatório (você precisará determinar primeiro a altura do trapézio).
2. b) Calcule a área total do reservatório.
3. c) Se for preenchido até $80\%$ de sua capacidade, quantos litros de água conterá?

Deseja-se construir uma tenda de circo com a forma de uma pirâmide octogonal regular. A aresta da base mede $6$ m e a altura da tenda no centro é de $10$ m. Sabendo que a apótema de um octógono regular de lado $L$ é aproximadamente $1,21 \cdot L$:

1. a) Calcule a apótema da pirâmide.
2. b) Calcule a quantidade de lona necessária para cobrir as paredes laterais da tenda.
3. c) Calcule o volume de ar que a tenda contém.

Um bloco de granito tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões $40 \times 40 \times 100$ cm. Um escultor quer esculpir uma cavidade em seu interior com a forma de uma pirâmide quadrangular cuja base coincida com uma das faces de $40 \times 40$ cm e cujo vértice chegue exatamente ao centro da face oposta.

1. a) Calcule o volume de granito restante após a extração da pirâmide.
2. b) Calcule a área da superfície total do sólido resultante (incluindo as paredes interiores da cavidade piramidal).

Constrói-se uma peça mecânica unindo um cubo de aresta $a = 6$ cm e uma pirâmide regular cuja base coincide com uma das faces do cubo. Sabe-se que o volume total da peça é de $288$ $cm^3$.

1. a) Calcule a altura da pirâmide.
2. b) Calcule a distância máxima entre o vértice da pirâmide e qualquer um dos vértices da base inferior do cubo.
3. c) Quantos planos de simetria essa peça composta tem?

Deseja-se identificar um poliedro convexo misterioso do qual apenas conhecemos dois dados: tem exatamente $30$ arestas ($A = 30$) e o número de vértices supera em $8$ unidades o número de faces ($V = C + 8$).

1. a) Formule uma equação a partir do Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) e calcule com precisão quantas faces e quantos vértices tem o referido poliedro.
2. b) Sabe-se que todas as suas faces são polígonos regulares idênticos entre si, de $n$ lados cada uma. Sabendo que cada aresta é compartilhada exatamente por duas faces (ou seja, $n \cdot C = 2 \cdot A$), deduza algebricamente que tipo de polígono regular forma as faces deste poliedro.
3. c) A partir dos resultados anteriores, identifique de qual dos cinco poliedros regulares existentes se trata e calcule quantas arestas concorrem em cada um dos seus vértices por meio da relação $k \cdot V = 2 \cdot A$, onde $k$ é o número de arestas por vértice.

O departamento de urbanismo de um município projeta uma tenda para feiras com forma de pirâmide reta de base octogonal regular. Cada lado do octógono mede $3\text{ m}$ e o apótema da base mede $3{,}62\text{ m}$. Segundo o caderno de encargos técnicos:

1. A altura ($h$) do vértice superior deve estar compreendida obrigatoriamente entre $3{,}5\text{ m}$ e $5{,}5\text{ m}$.

2. Para garantir o escoamento da água da chuva, o apótema da pirâmide ($ap$) deve medir pelo menos $5\text{ m}$.

1. a) Se os projetistas fixarem inicialmente uma altura de $h = 4\text{ m}$, modele a seção correspondente por meio de um triângulo retângulo, calcule o apótema da pirâmide ($ap$) e justifique se o critério de drenagem da chuva é cumprido.
2. b) Se for decidido modificar o desenho para que o apótema da pirâmide seja exatamente $ap = 5{,}2\text{ m}$, calcule a nova altura $h$ da tenda e verifique se ela se mantém dentro do intervalo permitido pelo caderno de encargos municipal.
3. c) Determine o número total de faces, vértices e arestas desta tenda e demonstre formalmente que ela cumpre a relação de Euler para poliedros convexos.