Exercícios: Perpendicularidade e paralelismo

Imagine que você tem uma caixa de sapatos (forma de paralelepípedo reto-retângulo) sobre sua mesa. Se observarmos as arestas da tampa:

1. a) Indique duas arestas que sejam paralelas entre si.
2. b) Indique duas arestas que sejam perpendiculares e se interceptem em um vértice.

Na quadra da escola, uma coluna reta (reta $r$) corta o chão (plano $\pi$) num ponto, que é a sua base. No chão há duas retas distintas, $s$ e $t$, que passam pela base da coluna, e sabe-se que a coluna forma um ângulo reto com cada uma delas.

1. a) Que posição relativa têm a coluna e o chão? Justifique a sua resposta.

1. b) Se traçarmos qualquer outra reta no chão que passe pela base da coluna, que ângulo ela formará com a coluna?

Dois aviões voam pelo céu. O avião A voa em direção ao Norte a $10.000$ metros de altura. O avião B voa em direção ao Leste a $8.000$ metros de altura. Sabendo que suas trajetórias não se cruzam nem são paralelas:

1. a) Como se chama a posição relativa destas duas trajetórias no espaço?
2. b) Estas retas são coplanares? Explique o porquê.

Observe as paredes do seu quarto.

1. a) Qual é a posição relativa de duas paredes opostas?
2. b) Como se chama a reta que se forma quando duas paredes adjacentes se intersectam?

Ao abrir um livro de matemática e deixá-lo apoiado sobre a mesa, as duas páginas formam um ângulo diedro.

1. a) Se abrirmos o livro totalmente até que fique plano sobre a mesa, quanto mede esse ângulo diedro?
2. b) Se o livro estiver entreaberto e as páginas formarem um ângulo de $90^\circ$, como são os planos das duas páginas entre si?

Observe o seguinte cubo e identifique:

1. a) Uma aresta que seja paralela ao plano da base inferior.
2. b) Uma aresta que seja perpendicular ao plano da base inferior.

Imagine uma trave de futebol. Vamos analisar suas hastes como retas:

1. a) Qual posição relativa têm as duas hastes verticais?
2. b) Qual posição relativa tem a barra transversal (haste horizontal) em relação a cada uma das hastes verticais?

Na aula de Matemática, a Lucía está analisando as arestas de uma caixa com a forma de um cubo cujos vértices são $A, B, C, D$ na base inferior e $A', B', C', D'$ na base superior. Ao olhar para a aresta vertical que contém o segmento $AA'$ e para a aresta horizontal que contém $BC$, a Lucía afirma: «Como essas duas retas nunca se intersectam no espaço por mais que as prolonguemos, têm de ser necessariamente paralelas, exatamente como acontece com as retas no plano».\na) Explique, fundamentadamente, que erro conceitual a Lucía comete ao aplicar no espaço tridimensional uma propriedade que só é válida em geometria plana.\nb) Determine a posição relativa correta entre a reta que contém $AA'$ e a reta que contém $BC$, e justifique por que razão não podem ser paralelas.\nc) Dê um exemplo, com as arestas desse mesmo cubo, de duas retas que não se intersectem e que sejam de fato paralelas entre si.

Considere um prisma reto de base triangular regular cujas bases são os triângulos horizontais $ABC$ (inferior) e $A'B'C'$ (superior), com arestas laterais verticais $AA'$, $BB'$ e $CC'$.\na) Escreva o nome de uma reta determinada por dois vértices do prisma que seja concorrente com a reta que contém a aresta $AB$, mas que não esteja contida no plano da base inferior.\nb) Encontre e nomeie uma reta determinada por dois vértices do prisma que seja reversa (ou não coplanar) com a reta $AA'$ (ou seja, que não seja concorrente nem paralela a ela).\nc) Se quisermos traçar um plano imaginário $\pi$ que intersecte as três arestas laterais a uma altura fixa de $2$ cm em relação à base inferior, que posição relativa deve ter obrigatoriamente esse plano $\pi$ em relação ao plano da base $ABC$? Justifique a sua dedução.

Imagine que o chão do seu quarto seja o plano $\pi$ e uma das paredes laterais seja o plano $\beta$. Se você instalar um cabo de fibra óptica que percorre o canto onde se encontram o teto e a parede frontal (reta $r$):

1. a) Como é a reta $r$ em relação ao plano do chão $\pi$?
2. b) Qual é a posição relativa da reta $r$ em relação ao plano da parede lateral $\beta$?
3. c) Se traçarmos uma linha vertical na parede lateral (reta $s$), as retas $r$ e $s$ se interceptarão? Justifique se são perpendiculares.

Uma porta giratória de um shopping center tem três folhas de vidro iguais que se cruzam em um eixo vertical central.

1. a) Que nome recebe cada uma das três regiões do espaço delimitadas por duas folhas consecutivas?
2. b) Se o ângulo diedro entre a primeira e a segunda folha for de $120^\circ$, e as três folhas estiverem distribuídas de forma simétrica, quanto medem os outros dois ângulos diedros?
3. c) Se uma mosca pousar exatamente no eixo central, a quantas faces dos ângulos diedros ela pertence?

Considere um prisma reto de base hexagonal regular. Analise a relação entre seus elementos:

1. a) Quantas faces laterais são perpendiculares à base inferior?
2. b) Quantos pares de faces laterais são paralelos entre si?
3. c) Se traçarmos a diagonal de uma face lateral e uma aresta da base que não tenha nenhum vértice em comum com essa diagonal, em que posição relativa se encontram as retas que as contêm?

As célebres Torres KIO de Madri têm uma inclinação de $15^\circ$ em relação à vertical. Modele uma destas torres como um prisma oblíquo em que o chão horizontal da praça é o plano $\pi$ e as quatro arestas laterais do edifício representam os cantos inclinados da fachada.\na) Que posição relativa têm as arestas laterais do edifício em relação ao plano do chão $\pi$? Justifique se são secantes perpendiculares ou secantes oblíquas, indicando a medida do ângulo diedro agudo que a fachada inclinada forma com o plano horizontal do chão.\nb) Na manutenção da torre, um elevador de carga exterior sobe por uma guia paralela a uma das arestas inclinadas da fachada, enquanto um elevador interior sobe seguindo uma trajetória retilínea totalmente vertical (perpendicular ao plano do chão $\pi$). Se as duas trajetórias não coincidem em nenhum ponto nem estão em uma mesma parede vertical, em que posição relativa se encontram no espaço? Raciocine se são paralelas, concorrentes ou se cruzam (são não coplanares).

Para dar sombra a um pátio escolar em Salvador, a prefeitura vai instalar um toldo esticado retangular $ABCD$. O lado superior $AB$ é fixado horizontalmente a uma parede vertical plana $\alpha$ a uma altura de $3$ m do chão. O lado inferior $CD$ é ancorado diretamente sobre o chão horizontal $\beta$, a uma distância horizontal de $4$ m da parede. A lona forma um plano inclinado $\gamma$.\na) Antes de calcular nada, estime se o ângulo diedro que a lona $\gamma$ forma com o chão $\beta$ será menor, igual ou maior que $45^\circ$. Justifique a sua estimativa comparando a altura da fixação na parede com a distância horizontal de fixação.\nb) Visualize a seção perpendicular (um triângulo retângulo com catetos de $3$ m e $4$ m) e calcule o comprimento da descida da lona (segmento $BC$).\nc) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta calculando a razão trigonométrica tangente do ângulo diedro agudo formado com o chão ($\tan\theta = 3/4 = 0,75$) e avaliando se um ângulo com essa tangente é maior ou menor que $45^\circ$ (tendo em conta que $\tan 45^\circ = 1$).

Um foco de luz pontual localiza-se no centro da base de um cone reto de raio $R = 5$ cm e altura $H = 12$ cm. O foco emite um raio de luz que é perpendicular a uma das geratrizes do cone.

1. a) É possível que esse raio atravesse a superfície lateral do cone?
2. b) Calcule a distância do foco até o ponto da geratriz onde o raio seria perpendicular. Para isso, visualize o triângulo retângulo que forma a seção axial do cone.

Considere uma esfera de raio $13$ cm. Um plano $\pi_1$ corta a esfera a uma distância de $5$ cm de seu centro, gerando um círculo $C_1$. Um segundo plano $\pi_2$, perpendicular ao primeiro, também corta a esfera passando por seu centro.

1. a) Descreva a posição relativa da reta de interseção de ambos os planos em relação à esfera.
2. b) Qual é a distância mínima entre a borda do círculo $C_1$ e o plano $\pi_2$? Use um desenho da seção circular para fundamentar a resposta.

Numa pirâmide regular de base quadrada $ABCD$ e vértice $V$, chamamos $r$ de reta que contém a altura da pirâmide (que une $V$ ao centro $O$ da base) e chamamos $s$ de reta que contém a aresta da base $AB$. Pretende-se demonstrar com rigor a posição relativa entre $r$ e $s$.\nDois colegas de turma propõem caminhos distintos:\n- Método de Marcos: Tenta averiguar se existe algum plano que contenha simultaneamente as retas $r$ e $s$, analisando se os vértices $V, O, A$ e $B$ podem estar em um mesmo plano.\n- Método de Sara: Apoia-se na relação reta-plano: utiliza o fato de a reta $r$ ser perpendicular ao plano da base e intersectá-lo no ponto $O$, para depois verificar se a reta $s$ (contida na base) passa ou não por $O$.\na) Aplique o procedimento de Marcos e conclua a posição relativa entre $r$ e $s$.\nb) Aplique o procedimento de Sara e obtenha a mesma conclusão.\nc) Compare ambos os métodos e justifique qual dos dois é mais direto e generalizável para demonstrar que uma reta perpendicular a um plano é reversa (não é coplanar) a qualquer reta desse plano que não passe pelo pé da perpendicular.

Uma equipe de arquitetura projeta a estrutura de um galpão industrial com cobertura de duas águas. As duas vertentes do telhado formam dois planos secantes $\pi_1$ e $\pi_2$ cuja interseção é a cumeeira horizontal $r$. O chão do galpão é um plano horizontal $\pi_0$ paralelo à reta $r$.\na) É necessário adicionar uma viga metálica de reforço que esteja contida em uma reta $s$. Deduza que condições geométricas $s$ deve cumprir em relação aos planos $\pi_1$ e $\pi_2$ para ser paralela a ambas as vertentes ao mesmo tempo sem estar contida em nenhuma delas. A partir daí, determine que posição relativa obrigatória $s$ terá em relação à cumeeira $r$ e em relação ao chão $\pi_0$.\nb) Nas extremidades inferiores de cada vertente colocam-se calhas de escoamento sobre duas retas $t_1$ (em $\pi_1$) e $t_2$ (em $\pi_2$), ambas paralelas à cumeeira $r$. Demonstre se $t_1$ e $t_2$ são paralelas entre si e justifique se determinam um plano que resulta paralelo ao chão $\pi_0$.\nc) Projete e descreva as condições geométricas de uma reta $p$ que seja perpendicular à cumeeira $r$, que seja paralela ao plano do chão $\pi_0$ e que seja reversa a $r$, a uma distância vertical fixa de $1,5$ m, sem nunca intersectá-la.