Exercícios: Área de um poliedro

Um jovem designer está criando um protótipo de caixa de som inteligente com a forma de um cubo. Se a aresta do cubo mede $9\text{ cm}$, calcule a superfície total de material plástico necessária para revestir todas as suas faces.

Uma caixa de sapatos tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo (prisma retangular) com as seguintes dimensões: $30\text{ cm}$ de comprimento, $18\text{ cm}$ de largura e $12\text{ cm}$ de altura. Calcule a área total de papelão utilizado para fabricar a caixa (sem contar as abas).

Verifique se vale o Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para um prisma de base pentagonal, como o da figura (as arestas tracejadas são as que ficam ocultas). Indique claramente o número de faces ($C$), vértices ($V$) e arestas ($A$) que você contou.

Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular sabendo que o lado da base mede $10\text{ cm}$ e o apótema da pirâmide (a altura das suas faces laterais) mede $15\text{ cm}$.

Um estojo para um instrumento musical tem a forma de um prisma triangular reto. A base é um triângulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado e a altura do prisma é de $40\text{ cm}$. Se a área da base triangular é aproximadamente $27,7\text{ cm}^2$, calcule a área total do estojo.

A partir da planificação da figura, identifique de qual poliedro se trata e calcule sua área total, sabendo que cada quadrado tem $5\text{ cm}$ de lado.

Um vidraceiro deve fabricar um vidro para uma luminária com a forma de um tetraedro regular (todas as suas faces são triângulos equiláteros iguais). Se cada face tem uma área de $15,6\text{ cm}^2$, quanta superfície de vidro terá a luminária completa?

Calcule a área lateral de um prisma reto cuja altura é de $12\text{ cm}$ e cuja base é um losango de diagonais $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$.

(Dica: Primeiro, você deve encontrar o lado do losango usando o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos interiores da base).

A Maria Eduarda quer envernizar uma peça decorativa de madeira maciça que tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A aresta da base mede $6\text{ cm}$ e a altura da pirâmide é de $4\text{ cm}$. A Maria Eduarda realizou os seguintes cálculos no caderno dela:

«O perímetro da base é $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}$. A área lateral é $\frac{24 \cdot 4}{2} = 48\text{ cm}^2$. A área da base é $6^2 = 36\text{ cm}^2$. Portanto, a área total a envernizar é $48 + 36 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Identifique e explique detalhadamente o erro geométrico cometido pela Maria Eduarda no raciocínio dela. Que dois segmentos distintos ela confundiu?
2. b) Corrija o procedimento calculando a medida correta do apótema da pirâmide por meio do teorema de Pitágoras e determine a área total real que ela deve envernizar.

Uma empresa de entregas projeta um novo modelo de caixa de papelão reciclado com a forma de um prisma reto de base quadrada. Por motivos de armazenamento e estabilidade, a aresta da base quadrada deve medir obrigatoriamente $8\text{ cm}$. Para fazer a planificação completa da caixa (contando as suas duas bases e as quatro faces laterais, sem considerar as abas de colagem), utilizam-se exatamente $448\text{ cm}^2$ de papelão.

1. a) Escreva uma equação algébrica na qual apareçam a altura desconhecida $h$ do prisma e a área total indicada.
2. b) Resolva essa equação para calcular quantos centímetros de altura terá a caixa.

Para um projeto de tecnologia, você precisa construir uma caixa de ferramentas com a forma de um prisma hexagonal regular. A aresta da base mede $10\text{ cm}$ e a altura do prisma é de $25\text{ cm}$. Se quiser revestir todas as faces exteriores (incluindo as duas bases) com uma folha protetora, quantos centímetros quadrados de material serão necessários?

(Nota: Lembre-se de que, para calcular a área da base, será necessário encontrar primeiro o apótema do hexágono usando o teorema de Pitágoras).

Uma empresa de arquitetura projetou uma claraboia de vidro com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A aresta da base mede $4\text{ m}$ e a altura da pirâmide é de $3\text{ m}$. Calcule a área total de vidro necessária para cobrir as quatro faces laterais (a base fica aberta para deixar passar a luz para o interior do edifício).

Um novo poliedro para um jogo de tabuleiro foi projetado cumprindo o teorema de Euler. Sabemos que o dado tem $14$ vértices e que todas as suas faces são triângulos equiláteros. Deduza quantas faces este poliedro tem e qual é o número total de arestas. Demonstre a sua resposta utilizando a relação matemática de Euler.

Calcule a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular cujas bases são quadrados de lados $12\text{ cm}$ e $6\text{ cm}$ respectivamente, e cuja altura da face lateral (apótema do tronco) é de $8\text{ cm}$. Quanto papel de presente é necessário, no mínimo, para embrulhar um objeto com esta forma?

Um troféu tem a forma de um octaedro regular de $6\text{ cm}$ de aresta. O troféu será banhado a prata, e o custo do banho é de $\text{R\$}\ 0,05$ por centímetro quadrado. Qual será o custo total de pratear as $8$ faces do troféu?

(Dado: A área de um triângulo equilátero de lado $a$ é $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).

Projetamos uma peça decorativa de madeira que consiste em um prisma quadrangular reto de base $8\text{ cm}$ e altura $10\text{ cm}$ do qual foi extraída uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura. Calcule a área total da superfície desta peça (incluindo a "cavidade" interior deixada pela pirâmide).

Calcule a área lateral de um prisma pentagonal regular sabendo que o seu volume é de $450\text{ cm}^3$, a área da sua base é de $30\text{ cm}^2$ e o lado da base mede $4\text{ cm}$.

(Dica: use primeiro a fórmula do volume para encontrar a altura do prisma).

Deseja-se fabricar uma lixeira metálica sem tampa com a forma de um prisma octogonal regular. A base tem um perímetro de $64\text{ cm}$ e um apótema de $9,66\text{ cm}$. A altura da lixeira é de $40\text{ cm}$. Calcule a superfície total de metal necessária para a sua fabricação.

Vai-se confeccionar uma barraca de camping individual com a forma de uma pirâmide quadrangular regular. A base é um quadrado de $2\text{ m}$ de lado e o mastro vertical central tem uma altura de $1,5\text{ m}$. Será utilizado um tecido impermeável especial apenas nas quatro faces laterais (o chão será fabricado com outro material isolante diferente).

1. a) Sem usar a calculadora nem determinar o apótema ainda, faça uma estimativa fundamentada da área lateral: será maior, menor ou igual a $6\text{ m}^2$? (Dica: pense em que área teriam as quatro faces se fossem triângulos verticais de base $2\text{ m}$ e altura $1,5\text{ m}$).
2. b) Use o teorema de Pitágoras para determinar o apótema lateral da pirâmide e calcule o valor exato da área de tecido necessária (arredonde o resultado para duas casas decimais).
3. c) Compare o seu resultado com a estimativa que você fez e justifique geometricamente por que o apótema de uma pirâmide é sempre estritamente maior do que a sua altura.

Uma equipe municipal de obras vai restaurar e impermeabilizar 10 jardineiras de concreto situadas em uma alameda de pedestres. Cada jardineira tem a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular aberta na parte superior e apoiada sobre a base menor. As dimensões internas são: aresta do quadrado superior (aberto) $1,2\text{ m}$, aresta do quadrado inferior (fundo) $0,8\text{ m}$, e apótema das faces laterais (altura dos trapézios) $0,5\text{ m}$.

1. a) Modele a jardineira identificando as figuras poligonais que compõem a superfície interna e calcule a área total que deve ser coberta em uma única jardineira.
2. b) A resina impermeabilizante é vendida em latas de $750\text{ ml}$ a um preço de $14,50\text{ \text{R\$}\ }$ cada uma, e o fabricante garante que cada lata rende para cobrir exatamente $2\text{ m}^2$. Determine quantas latas completas a prefeitura precisa comprar para tratar as 10 jardineiras e calcule o custo total da intervenção.

Um escritório de arquitetura está projetando um loft com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Sabe-se que o comprimento do cômodo é o dobro da sua largura, e que a altura é de exatamente $3\text{ m}$. Se a diagonal espacial (a distância máxima entre dois cantos opostos) mede exatamente $7\text{ m}$, calcule a área total das paredes e do teto (sem contar o piso) que deve ser coberta com tinta isolante.

Uma marca de perfumes de luxo desenhou um frasco com forma de tronco de pirâmide quadrangular regular. A aresta da base maior mede $8\text{ cm}$ e a aresta da base menor mede $4\text{ cm}$. Se a altura do frasco é de $10\text{ cm}$, calcule a superfície total de vidro necessária para fabricar o frasco (incluindo ambas as bases). Para isso, você deverá calcular primeiro o apótema do tronco de pirâmide (a altura de uma face lateral) utilizando o teorema de Pitágoras. Na figura, $h$ é a altura do frasco e $a$ é o apótema.

Deseja-se construir uma peça metálica unindo um prisma hexagonal regular e uma pirâmide hexagonal regular que se encaixa perfeitamente sobre a sua base superior. O lado do hexágono da base mede $6\text{ cm}$, a altura do prisma é de $15\text{ cm}$ e a altura da pirâmide é de $8\text{ cm}$. Calcule a área da superfície externa da peça completa (considere que a base onde se unem ambos os corpos não conta como superfície externa).

Uma formiga percorre a superfície de um octaedro regular de aresta $12\text{ cm}$. Se o octaedro pode ser considerado como a união de duas pirâmides quadrangulares regulares pela base, calcule a área total da superfície que a formiga pode percorrer. Para isso, lembre-se de que todas as faces de um octaedro regular são triângulos equiláteros. Expresse o resultado em função de $\sqrt{3}$.

Um prisma reto de $20\text{ cm}$ de altura tem como base um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem $14\text{ cm}$ e $6\text{ cm}$, e a altura dele é de $3\text{ cm}$. Calcule a área total do prisma. Dica: Será necessário calcular primeiro o comprimento dos lados oblíquos do trapézio da base usando o teorema de Pitágoras.

O "Teorema de Euler" estabelece que em poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagine um poliedro que tem o mesmo número de faces e de vértices. Se o número de arestas é $6$, deduza quantas faces ele tem e proponha o nome de um poliedro regular que cumpra essa condição. Depois de identificado, calcule a sua área total se a sua aresta medir $\sqrt{10}\text{ cm}$.

Foi fabricado um contêiner de resíduos industriais com a forma de um prisma reto cuja base é um losango. As diagonais do losango da base medem $160\text{ cm}$ e $120\text{ cm}$. Se a altura do contêiner é de $2\text{ metros}$, calcule a área total da superfície exterior do contêiner em metros quadrados ($m^2$).

Considere um cubo de aresta $10\text{ cm}$. Se realizarmos um corte plano que passa pelos pontos médios de três arestas que concorrem em um mesmo vértice, obtemos uma pequena pirâmide triangular (chamada tetraedro tronco). Calcule a área total do sólido que resta depois de retirar essa pequena pirâmide nesse canto.

Para um centro cultural, projeta-se uma coluna decorativa oca de chapa metálica com a forma de um prisma reto de $3\text{ m}$ de altura. A base do prisma é um polígono em forma de 'L' com todos os seus ângulos retos, cujas seis arestas consecutivas medem: $3\text{ m}$, $2\text{ m}$, $1\text{ m}$, $1\text{ m}$, $2\text{ m}$ e $1\text{ m}$. É necessário calcular a superfície total de chapa metálica (faces laterais mais as duas bases em forma de 'L'). Dois técnicos da equipe propõem estratégias distintas:

• Técnico A (Decomposição): Divide a base em 'L' em dois retângulos independentes, calcula a área total de dois prismas retangulares separadamente e depois subtrai a área das faces interiores fictícias por onde se unem.

• Técnico B (Fórmula geral): Determina o perímetro completo do polígono em 'L' para calcular a área lateral diretamente com $A_L = P_{base} \cdot h$, e adiciona o dobro da área da base em 'L'.

1. a) Desenvolva ambos os métodos passo a passo e verifique numericamente se ambos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Compare os dois caminhos justificando qual se revela mais eficiente e menos propenso a erros ao trabalhar com corpos de bases poligonais complexas.

Um designer industrial cria um troféu poliédrico maciço. O corpo é composto por um cubo de aresta $a$ sobre cuja face superior se apoia uma pirâmide regular; a base da pirâmide se encaixa de forma exata na face superior do cubo e suas quatro faces laterais são triângulos equiláteros de lado $a$.

1. a) Descreva a planificação do corpo indicando o número e o tipo de polígonos que formam a sua superfície exterior total, especificando quais faces ficam ocultas no interior e não devem ser contabilizadas.
2. b) Sabendo que a área de um triângulo equilátero de lado $a$ é $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ e que a superfície exterior total do troféu é exatamente $(500 + 100\sqrt{3})\text{ cm}^2$, deduza de forma fundamentada a medida exata da aresta $a$.
3. c) Se um cliente encomendar uma réplica em escala triplicando a medida da aresta ($a' = 3a$), a quantidade de material para a superfície também triplicará? Justifique a sua resposta algebricamente sem calcular o novo valor numérico.