Exercícios: Elipse

Dada a elipse de equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determine as coordenadas de seus vértices, as de seus focos e o valor de sua excentricidade.

Escreva a equação reduzida de uma elipse centrada na origem das coordenadas, sabendo que um de seus focos é o ponto $F(4, 0)$ e que o comprimento do seu eixo maior é $10$.

Calcule a excentricidade da elipse cuja equação é $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Uma elipse tem seu centro no ponto $C(-2, 3)$, seu eixo maior é paralelo ao eixo das abscissas e mede $12$ unidades, e seu eixo menor mede $8$ unidades. Escreva sua equação na forma canônica.

Verifique se os pontos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ e $R(4, 2)$ são interiores, exteriores ou pertencem à elipse de equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Encontre a equação de uma elipse centrada na origem, cujos focos estão sobre o eixo das ordenadas, sabendo que a distância focal é de $8$ unidades e a excentricidade é $0,8$.

A partir da equação da elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indique as coordenadas de seu centro e o comprimento de seus semieixos.

A excentricidade de uma elipse é $\frac{1}{3}$ e seu semieixo menor mede $4\sqrt{2}$. Calcule a medida do seu semieixo maior.

A Ana precisa determinar os elementos característicos da elipse de equação $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$. Na sua prova ela escreve a seguinte resolução:

«Como o primeiro denominador é $9$, o semieixo maior é $a = \sqrt{9} = 3$. Como o segundo denominador é $25$, o semieixo menor é $b = \sqrt{25} = 5$. Estando $x^2$ em primeiro lugar, os focos estão situados sobre o eixo $X$. Aplicando o teorema de Pitágoras, a semidistância focal é $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. Portanto, os focos são $F_1(-\sqrt{34}, 0)$ e $F_2(\sqrt{34}, 0)$, e a excentricidade vale $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{34}}{3} \approx 1{,}94$».

1. a) Identifique e explique os três erros conceituais que a Ana cometeu.
2. b) Apoiando-se no triângulo retângulo que relaciona $a$, $b$ e $c$, justifique por que é geometricamente impossível que, numa elipse, a excentricidade seja maior do que $1$.
3. c) Corrija o exercício determinando os valores corretos dos semieixos, as coordenadas exatas dos focos e o valor da excentricidade.

Deseja-se desenhar duas elipses concêntricas distintas, ambas centradas na origem de coordenadas e com seus focos situados sobre o eixo $X$ nos mesmos pontos $F_1(-4, 0)$ e $F_2(4, 0)$, mas com diferente grau de achatamento:

• A elipse $E_1$ deve ter uma excentricidade $e_1 = 0{,}8$.

• A elipse $E_2$ deve ter uma excentricidade $e_2 = 0{,}5$.

1. a) Deduza algebricamente os valores dos semieixos $a$ e $b$ de cada uma das duas elipses e escreva suas correspondentes equações reduzidas.
2. b) Sem necessidade de representá-las com tabela de valores, raciocine qual das duas elipses alcançará maior largura vertical (ou seja, maior comprimento do seu eixo menor). Justifique sua resposta analisando como varia o semieixo menor $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ ao diminuir a excentricidade quando a distância entre focos permanece constante.

A órbita de Mercúrio ao redor do Sol é uma elipse na qual o Sol ocupa um de seus focos. A distância mínima de Mercúrio ao Sol (periélio) é de $46$ milhões de quilômetros, e a distância máxima (afélio) é de $70$ milhões de quilômetros. Calcule a excentricidade da órbita de Mercúrio e o comprimento do seu semieixo menor em milhões de quilômetros.

Uma ponte de pedra sobre um rio tem a forma de um semiarco elíptico. A largura do rio (eixo maior da elipse) é de $20\text{ m}$ e a altura máxima do arco no centro do rio é de $6\text{ m}$. Calcule a que altura se encontra o arco a uma distância de $4\text{ m}$ do centro do rio.

Dada a equação geral $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demonstre que ela corresponde a uma elipse. Para isso, expresse-a na forma canônica e determine as coordenadas do seu centro, dos seus vértices e dos seus focos.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ cuja soma das distâncias aos pontos $F_1(-3, 0)$ e $F_2(3, 0)$ é sempre igual a $10$. Simplifique a expressão até obter a equação reduzida de uma elipse.

Na galeria dos sussurros, que tem forma de elipse, duas pessoas situadas nos focos podem se ouvir perfeitamente, mesmo que falem em um sussurro. Se a galeria tem um comprimento total de $34\text{ m}$ e uma largura máxima de $16\text{ m}$, a que distância do centro da sala deve se posicionar cada pessoa para aproveitar esse fenômeno acústico?

Estude a posição relativa da reta de equação $2x + y - 5 = 0$ e da elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Se elas se intersectarem, encontre as coordenadas dos pontos de interseção.

Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto $F(4, 0)$ é igual à metade da sua distância à reta de equação $x - 16 = 0$. Identifique a cônica resultante e calcule seu centro e o comprimento de seus semieixos.

Em um mecanismo de relojoaria, uma engrenagem tem forma elíptica. Sabe-se que sua equação de contorno é dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Deseja-se colocar um pequeno pino em um ponto da elipse cuja abscissa seja o dobro da sua ordenada. Calcule as coordenadas de tal ponto (assumindo que ambas sejam positivas) e a distância exata desse ponto ao centro da engrenagem.

A pista perimetral de um ginásio poliesportivo tem forma elíptica com o eixo maior apoiado sobre o eixo $X$. O comprimento máximo do recinto (eixo maior) é de $100\text{ m}$ ($a = 50\text{ m}$) e a largura máxima (eixo menor) é de $96\text{ m}$ ($b = 48\text{ m}$).

1. a) Estime: Observe que os semieixos só diferem em $4\,\%$ ($48\text{ m}$ em relação a $50\text{ m}$). Antes de calcular qualquer coisa, estime intuitivamente a que distância do centro você acha que estarão os focos (a menos de $5\text{ m}$, ou a mais de $10\text{ m}$?) e se a excentricidade estará abaixo de $0{,}1$ ou visivelmente acima. Justifique brevemente a sua intuição.
2. b) Calcule: Encontre o valor exato da semidistância focal $c$, as coordenadas dos focos e a excentricidade $e$.
3. c) Verifique e reflita: Compare o resultado exato obtido com a sua estimativa inicial. Os focos estão tão perto do centro quanto parecia sugerir a pequena diferença entre os semieixos? Explique por que a relação pitagórica $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ faz com que pequenas variações percentuais entre $a$ e $b$ provoquem deslocamentos focais e valores de excentricidade inesperadamente grandes à vista humana.

Em uma rodovia projeta-se um túnel cuja seção transversal tem a forma de uma semielipse (cortada pelo seu eixo maior sobre o pavimento horizontal). A largura total utilizável da pista na base é de $10\text{ m}$ e a altura máxima no ponto central da abóbada é de $4\text{ m}$. A pista dispõe de duas faixas de trânsito de $3\text{ m}$ de largura cada uma (uma por sentido), situadas simetricamente em relação ao centro, e ladeadas por acostamentos de $1\text{ m}$ de largura nos extremos exteriores.

1. a) Situe a origem de coordenadas no centro da pista sobre o solo e escreva a equação matemática que descreve o perfil da abóbada do túnel, indicando o intervalo de validade das variáveis.
2. b) Um veículo de transporte especial de seção retangular mede $3{,}10\text{ m}$ de altura e circula estritamente dentro da sua faixa (de modo que o seu ponto mais afastado do centro se encontra no limite exterior da faixa, em $x = 3\text{ m}$). Determine algebricamente a altura livre que a abóbada oferece nessa vertical.
3. c) Decida se o veículo pode transitar pela faixa sem raspar na estrutura e calcule a margem de segurança vertical existente no ponto mais desfavorável.

Encontre as equações das retas tangentes à elipse de equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que passam pelo ponto exterior $P(0, 5)$.

Determine as equações das retas tangentes à elipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que são paralelas à reta de equação $x - y + 4 = 0$.

Calcule os valores do parâmetro $k$ para que a reta $x + 2y + k = 0$ seja tangente à elipse de equação $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considere a circunferência de equação $x^2 + y^2 = 100$. A cada ponto $A(x, y)$ da circunferência associa-se um ponto $P(x, y')$ que tem a mesma abscissa, mas cuja ordenada é $60\%$ da ordenada de $A$. Demonstre que o lugar geométrico dos pontos $P$ é uma elipse e determine sua equação, seu centro e seus focos.

Deseja-se projetar uma janela retangular que esteja inscrita em uma abertura elíptica de equação $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Os lados do retângulo devem ser paralelos aos eixos da elipse. Se se deseja que o retângulo tenha uma área total de $24\text{ m}^2$, quais devem ser suas dimensões exatas?

Uma praça principal tem a forma de uma elipse. Pretende-se pavimentar um caminho retilíneo que ligue o foco situado mais à esquerda, $F_1$, a um ponto $P$ da elipse situado no segundo quadrante. Sabe-se que o eixo maior da praça mede $100\text{ m}$ e o eixo menor $60\text{ m}$. Se o ângulo que o segmento $F_1P$ forma com o semieixo positivo das abscissas é de $60^\circ$, calcule o comprimento exato do caminho pavimentado.

Uma elipse está centrada na origem e seus eixos de simetria coincidem com os eixos de coordenadas cartesianas. Sabe-se que a elipse passa pelos pontos $A(2, \sqrt{3})$ e $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$; encontre a equação da elipse e calcule a distância exata entre seus focos.

Encontre o lugar geométrico dos centros das circunferências que são tangentes interiormente à circunferência de equação $x^2 + y^2 = 100$ e que passam pelo ponto fixo $A(6, 0)$. Demonstre que tal lugar geométrico é uma elipse, encontre sua equação canônica e determine as coordenadas de seus focos.

Para classificar a posição relativa de um ponto $P(x_0, y_0)$ relativamente a uma elipse (determinar se é interior, exterior ou pertence à curva) cujos focos são $F_1(-3, 0)$ e $F_2(3, 0)$ e com constante de definição $2a = 10$, dois estudantes propõem procedimentos distintos:

• Método da Sofia (algébrico): Calcular $b$ a partir da relação fundamental, construir a equação reduzida $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ e comparar o valor numérico de $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}$ com $1$.

• Método do Carlos (métrico): Recorrer à definição como lugar geométrico calculando a soma das distâncias euclidianas $d(P, F_1) + d(P, F_2)$ e compará-la diretamente com $2a = 10$.

1. a) Aplica com detalhe ambos os métodos ao ponto $P\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$, determina a sua posição relativa segundo cada um e verifica que ambos os caminhos conduzem à mesma conclusão.
2. b) Analisa as vantagens e desvantagens de cada método para este caso concreto e argumenta qual se revela mais rápido e limpo quando se trabalha sem calculadora.
3. c) Supõe que os focos estivessem nos pontos não alinhados com os eixos $F_1(1, 2)$ e $F_2(5, 5)$, mantendo-se a constante $2a = 10$. Justifica fundamentadamente qual dos dois métodos é claramente preferível neste novo cenário e explica a grande complicação algébrica que surgiria ao tentar aplicar o outro no 11.º ano.

Uma rede de monitoramento ambiental marinho dispõe de duas boias acústicas de referência fundeadas nos pontos $F_1(-6, 0)$ e $F_2(6, 0)$ (coordenadas em quilômetros). Um drone submarino de vigilância percorre de forma contínua uma trajetória elíptica fixa centrada na origem com semieixo maior $a = 10\text{ km}$ e focos nas referidas boias.

Para calibrar um sensor de interferências, o drone deve se situar em um ponto $P(x, y)$ da sua rota elíptica de tal modo que a distância à boia $F_1$ seja exatamente o triplo da distância à boia $F_2$; isto é, $d(P, F_1) = 3\cdot d(P, F_2)$.

1. a) Sem utilizar ainda as coordenadas analíticas de $P$, deduza os valores numéricos exatos das distâncias $d(P, F_1)$ e $d(P, F_2)$ apoiando-se exclusivamente na definição da elipse como lugar geométrico.
2. b) Escreva a equação reduzida da trajetória elíptica e formule um sistema de equações para calcular as coordenadas exatas de todos os pontos $P$ do plano que cumprem simultaneamente a equação da elipse e a condição de calibração.
3. c) Seria possível calibrar o sensor em um ponto desta mesma trajetória se a condição requerida fosse $d(P, F_1) = 5\cdot d(P, F_2)$? Justifique a sua resposta por meio de dois argumentos geométricos independentes: um baseado na desigualdade triangular no triângulo de vértices $P$, $F_1$ e $F_2$, e outro baseado na distância mínima possível de qualquer ponto da elipse ao foco $F_2$.