Exercícios: Circunferência

Escreva a equação da circunferência que descreve a área de cobertura de uma antena Wi-Fi, sabendo que a antena está localizada no ponto $(2, -3)$ de um plano cartesiano (medido em quilômetros) e tem um alcance máximo de $5$ km.

Determine as coordenadas do centro e o comprimento do raio da região circular irrigada por um aspersor agrícola cuja fronteira é dada pela equação $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.

Um sismógrafo detecta que o epicentro de um terremoto se situa na origem das coordenadas e que a onda sísmica atingiu um raio exato de $10$ km. Verifique analiticamente se uma estação meteorológica situada no ponto $(6, -8)$ sentiu o terremoto ou se está no limite exato da onda.

Determine a equação da circunferência que representa a varredura do radar de um navio. Sabe-se que o radar está posicionado nas coordenadas $(-1, 4)$ e que, na extremidade exata da sua tela, detecta uma boia situada no ponto $(2, 0)$.

Determine o centro e o raio da circunferência que descreve a borda externa de uma engrenagem em um desenho assistido por computador, cuja equação geral é $x^2+y^2-6x+8y=0$.

Escreva a equação da circunferência que delimita uma rotatória, sabendo que as extremidades de um de seus diâmetros (onde se situam duas faixas de pedestres opostas) correspondem aos pontos $(1, 2)$ e $(7, -6)$.

Determine se a equação $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matematicamente uma circunferência válida no motor físico de um jogo eletrônico. Justifique sua resposta calculando seu centro e o valor do seu raio ao quadrado.

Escreva a equação da circunferência que descreve o chassi de um robô aspirador de $15$ cm de raio quando se encontra encaixado exatamente no canto de um cômodo. Considere que as paredes coincidem com os semieixos positivos de coordenadas (primeiro quadrante) e o robô é tangente a ambas as paredes.

O Lucas precisa calcular o centro e o raio da circunferência dada pela equação geral $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. Na prova dele, escreveu o seguinte:

«O centro é $C(-6, 4)$ porque são diretamente os coeficientes que acompanham $x$ e $y$. Para o raio, substituo na fórmula e obtenho $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6,32$».

Identifique e explique detalhadamente os dois erros conceituais que o Lucas cometeu ao deduzir o centro e o raio a partir da equação geral. Em seguida, mostre o raciocínio correto e calcule as coordenadas exatas do centro $C$ e o valor exato do raio $r$.

Considera-se a família de curvas dada pela equação $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, onde $k$ é um número real.

1. a) Determine de forma fundamentada o valor que o parâmetro $k$ deve assumir para que a equação represente uma circunferência de raio exatamente igual a $5$ unidades, e escreva a sua equação reduzida correspondente.
2. b) Justifique que figura ou objeto geométrico a referida equação representa se for tomado $k = 13$, e o que acontece se for escolhido qualquer valor $k > 13$.

Encontre a equação da circunferência que reconstrói a borda de um antigo vaso de cerâmica encontrado em uma escavação arqueológica. Os restauradores mediram três pontos intactos da borda, que em um sistema de eixos coordenados correspondem a $(0, 0)$, $(4, 0)$ e $(0, 3)$.

Estude analiticamente a posição relativa entre a órbita de um satélite artificial, modelada pela circunferência $x^2+y^2=4$, e a trajetória retilínea de um asteroide dada pela equação $y=x+2$. Determine os pontos de interseção, caso existam.

Calcule a equação da reta tangente à trajetória circular traçada por um lançador de martelo no momento exato em que ele solta o cabo. A trajetória do martelo é dada pela circunferência $x^2+y^2=25$ e o atleta solta o cabo quando a bola passa pelo ponto $(3, 4)$.

Escreva a equação da circunferência que representa uma polia cujo eixo de rotação está fixado no ponto $(3, -2)$ e que está em contato tangencial com uma correia de transmissão cuja linha de ação é a reta $4x-3y+2=0$.

Encontre a equação do eixo radical das duas circunferências que modelam a área de influência de duas antenas de rádio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ e $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.

Calcule o comprimento da superfície livre da água dentro de uma tubulação circular de equação $x^2+y^2=100$. Sabe-se que o nível da água se estabilizou formando uma corda horizontal sobre a reta $y=6$.

Estude a posição relativa entre as frentes de onda geradas por duas gotas ao caírem em um lago, modeladas pelas circunferências $C_1: x^2+y^2=9$ e $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.

Determine a equação da circunferência que define a raia externa de uma pista de atletismo, sabendo que é concêntrica à circunferência da raia interna $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ e que passa pela posição de largada situada em $(1, 1)$.

Um barco pesqueiro navega em linha reta seguindo a trajetória marcada pela equação $3x + 4y - 24 = 0$ (com as coordenadas expressas em milhas náuticas). Uma boia marítima da Marinha emite um aviso de temporal com uma área de cobertura circular delimitada por um raio de $r = 3,5$ milhas náuticas e com centro no ponto $C(1, 1)$.

1. a) Antes de calcular qualquer coisa, faça mentalmente ou por meio de um esquema uma estimativa fundamentada: considerando a posição do centro e os pontos de interseção da reta com os eixos cartesianos, você acha que o barco pesqueiro atravessará a zona de aviso, tocará nela de forma tangente ou passará longe sem entrar? Justifique a sua conjectura.

1. b) Comprove analiticamente a sua estimativa calculando a distância do centro $C$ à reta da trajetória e compare-a com o raio para determinar de forma conclusiva a posição relativa. Explique por que, quando a distância e o raio são valores muito próximos, uma simples representação visual não basta e o cálculo algébrico se torna imprescindível.

O serviço de emergências 112 de uma comunidade autónoma avalia a cobertura de comunicações perante incêndios florestais através de duas antenas repetidoras. No mapa de operações (com quadrícula graduada em dezenas de quilómetros, onde $1$ unidade $= 10$ km), a antena Norte situa-se em $A(-3, 2)$ com um raio de cobertura de $50$ km ($5$ unidades), e a antena Sul em $B(5, -4)$ com o mesmo alcance de $50$ km.

1. a) Modela algebricamente o limite de cobertura de ambas as antenas escrevendo as suas respetivas equações gerais.
2. b) Estuda a posição relativa entre as duas áreas circulares de cobertura a partir da distância entre os seus centros e deduz se existe sobreposição territorial ou se são tangentes.
3. c) O posto de comando avançado localiza-se na povoação de coordenadas $P(1, -1)$. Determina se a dita povoação dispõe de cobertura de alguma das antenas, de ambas ou se fica incomunicável numa zona de sombra, interpretando o resultado geométrico no contexto das emergências.

Encontre as equações das duas retas tangentes traçadas a partir de um farol situado no ponto $(0, 4)$ até um reservatório cilíndrico de combustível cuja base ocupa a região delimitada pela circunferência $x^2+y^2=4$. Essas retas representam os limites das sombras projetadas no chão.

Calcule a equação da circunferência que contorna a estrutura principal de uma roda-gigante. Sabe-se que o eixo central de rotação está apoiado sobre um pilar inclinado representado pela reta $x+y-4=0$ e que as cabines passam pelas plataformas de embarque situadas nos pontos $(2, 0)$ e $(0, 2)$.

Em um experimento de acústica, busca-se o lugar geométrico de todos os pontos do plano onde o som emitido por um alto-falante situado em $A(6, 0)$ é percebido com um quarto da intensidade do som emitido por outro alto-falante idêntico na origem $O(0, 0)$. Isso equivale a encontrar os pontos $P(x, y)$ cuja distância ao ponto $A$ é o dobro da sua distância ao ponto $O$. Demonstre que esse lugar geométrico é uma circunferência e encontre seu centro e seu raio.

O projeto de um nó viário exige traçar duas rodovias retas que sejam tangentes a uma praça circular central cuja equação é $x^2+y^2-6x+8y=0$. Além disso, por motivos de planejamento urbano, essas rodovias devem ser paralelas a uma avenida principal de equação $3x-4y=0$. Encontre as equações de ambas as rodovias tangentes.

Um drone realiza uma manobra evasiva seguindo uma trajetória retilínea dada pela família de retas $y=2x+k$. O espaço aéreo restrito ao redor de um radar é definido pela circunferência $x^2+y^2=5$. Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais o drone tangencia o espaço restrito sem chegar a penetrar nele (ou seja, a reta é tangente à circunferência).

Encontre a equação da circunferência circunscrita ao parque triangular delimitado pelas avenidas cujas equações são $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$.

O sistema GPS de um celular recebe sinais de duas torres de telecomunicações. A primeira torre está na origem das coordenadas e estima que o celular está a $5$ km de distância. A segunda torre está no ponto $(5, 0)$ e estima que o celular está a $4$ km de distância. Encontre as coordenadas exatas dos dois possíveis pontos onde o celular poderia se encontrar calculando a interseção de ambas as circunferências.

Em um problema de otimização de redes, requer-se encontrar o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois servidores fixos situados em $(-2, 0)$ e $(2, 0)$ seja exatamente igual a $20$. Demonstre analiticamente que a figura resultante é uma circunferência e obtenha sua equação.

Para traçar as retas tangentes à circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ a partir do ponto exterior $P(6, 4)$, podem-se propor dois métodos analíticos distintos:

• Método 1 (algébrico puro): Formular o feixe de retas que passa por $P$ por meio do seu coeficiente angular $m$, substituir $y$ na equação da circunferência e impor que o discriminante da equação do segundo grau em $x$ seja nulo ($\Delta = 0$).

• Método 2 (métrico-geométrico): Expressar o feixe de retas na forma geral $mx - y + (4 - 6m) = 0$ e impor que a distância euclidiana do centro da circunferência à reta coincida exatamente com o raio ($d(C, r) = R$).

1. a) Analise as vantagens e desvantagens de ambos os métodos (carga de cálculo, risco de operações complexas e tratamento de uma possível tangente vertical) e justifique qual é mais eficiente neste caso.
2. b) Resolva o problema aplicando o método que você selecionou como ótimo, determine as equações das duas retas tangentes e justifique por que nenhuma das tangentes que partem de $P$ é uma reta vertical.

Num projeto de urbanismo projeta-se uma rotatória circular cujo centro deve localizar-se obrigatoriamente sobre o eixo de uma avenida reta modelada pela equação $r: x - 2y = 0$. Além disso, o bordo externo da rotatória deve ser tangente a uma linha de bonde dada pela reta $s: 4x + 3y - 1 = 0$ e o seu traçado deve passar por um monumento histórico situado no ponto $A(2, 3)$.

1. a) Parametrize as coordenadas do centro em função de uma só variável, estabeleça a igualdade entre a distância do centro ao ponto $A$ e a distância do centro à reta $s$, e demonstre de forma fundamentada que existem duas circunferências teóricas que satisfazem todas as condições dadas, determinando os seus centros e os seus raios correspondentes.
2. b) Sob a perspectiva da viabilidade técnica e das dimensões de uma rotatória numa malha urbana comum, justifique de forma crítica por que razão uma das duas soluções teóricas não tem qualquer sentido prático e deve ser descartada. Para a solução viável, escreva a sua equação geral e calcule as coordenadas exatas do ponto de tangência com a linha de bonde.