Exercícios: Regra de Ruffini

Divida o polinômio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ pelo binômio $x - 2$ utilizando a regra de Ruffini e indique o quociente e o resto resultantes.

Aplique a regra de Ruffini para efetuar a divisão de $P(x) = x^4 - 16$ por $x + 2$. Escreva claramente o polinômio quociente e o valor do resto.

Verifique, utilizando a regra de Ruffini, se $x = 3$ é uma raiz do polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcule o valor numérico do polinômio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando o teorema do resto por meio do dispositivo de Briot-Ruffini.

Determine o valor da constante $k$ para que o polinômio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ seja exatamente divisível por $x - 1$.

Fatore o polinômio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabendo antecipadamente que $x = 1$ é uma de suas raízes.

Determine o resto da divisão do polinômio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ por $x + 3$ aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Determine, sem efetuar a divisão completa e utilizando o teorema do resto ou a regra de Ruffini, se o binômio $x + 1$ é um fator do polinômio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

O Mateo precisa dividir o polinômio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 5$ pelo binômio $2x - 1$. Para isso, aplica a regra de Ruffini usando o valor $a = 1/2$. Na última linha da sua tabela obtém sucessivamente os coeficientes $4$, $-4$, $6$ e, como último número, $-2$. A partir disso, o Mateo conclui na sua prova: «O quociente da divisão é $C(x) = 4x^2 - 4x + 6$ e o resto é $R = -2$». Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pelo Mateo, demonstre por meio da prova real da divisão que o quociente dele não pode estar correto e escreva a solução completa e corrigida (quociente verdadeiro e resto).

Para calcular o valor numérico do polinômio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x - 7$ em $x = 3$, podem-se considerar dois caminhos distintos: substituir diretamente $x = 3$ e calcular cada potência, ou aplicar a regra de Ruffini dividindo por $x - 3$ para encontrar o resto.

1. a) Compare ambos os métodos analisando o tipo e o número de operações que cada um requer (potências elevadas em comparação com somas e produtos sucessivos) e justifique qual é mais rápido e menos propenso a erros quando não se dispõe de calculadora.
2. b) Aplique a regra de Ruffini (prestando atenção aos termos ausentes) para obter o resto, deduza o valor de $P(3)$ e indique fundamentadamente se $x - 3$ é um fator de $P(x)$.

O volume de uma caixa com formato de prisma retangular reto é dado pelo polinômio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Sabendo que a altura da caixa é $x - 1$, determine o polinômio que representa a área da base $A(x)$.

Os lucros de uma empresa, em milhares de reais, são modelados durante seus primeiros anos de atividade pelo polinômio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, onde $x$ representa o tempo em anos. Encontre os anos exatos em que o lucro da empresa foi nulo (pontos de equilíbrio).

Divida o polinômio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ pelo binômio $x - \frac{1}{2}$ empregando a regra de Ruffini. Expresse o resultado final indicando o quociente e o resto.

Determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que o polinômio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ seja exatamente divisível por $x - 2$ e, ao mesmo tempo, deixe um resto $4$ ao dividi-lo por $x + 1$.

A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada pela equação $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, onde $t$ é o tempo em segundos. Determine em quais instantes de tempo a partícula passa pela origem das coordenadas ($s(t) = 0$).

Calcule o valor numérico do polinômio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

A área de um painel solar de forma retangular é descrita pelo polinômio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Sabendo que a medida da largura do painel é $x + 3$, encontre o polinômio que representa o seu comprimento.

Fatore completamente o polinômio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ determinando todas as suas raízes.

Num estudo de eficiência em uma linha de transporte ferroviário de mercadorias entre São Paulo e Belo Horizonte, o consumo acumulado de combustível auxiliar (em litros) de uma locomotiva se ajusta ao polinômio $C(x) = 2x^3 - 8x^2 + kx - 10$, em que $x$ é o tempo decorrido em horas ($x \in [3, 5]$). Os engenheiros precisam dividir esse consumo total por um fator de carga linear representado por $D(x) = 2x - 6$ para obter o consumo por unidade de carga. Sabe-se empiricamente que, às $3$ horas de trajeto, o consumo residual não absorvido pelo modelo linear (ou seja, o resto da divisão) é exatamente de $8$ litros.

1. a) Aplique a regra de Ruffini adaptada para divisores do tipo $cx - a$ para propor uma equação e determinar o valor do parâmetro $k$.
2. b) Com o valor de $k$ obtido, determine o polinômio que representa o quociente real da divisão.
3. c) Interprete se, às $3$ horas, o fator de carga divide de forma exata o consumo acumulado e que significado prático tem o fato de o resto não ser zero.

Dado o polinômio $P(x) = 2x^4 - 31x^2 - 15x + 8$ e o divisor $x - 4$:

1. a) Sem realizar ainda a tabela de Briot-Ruffini, faça uma estimativa prévia do sinal e da ordem de grandeza do resto $P(4)$: compare mentalmente o valor predominante do termo principal ($2 \cdot 4^4$) com o do termo quadrático ($-31 \cdot 4^2$). A partir dessa estimativa, você considera plausível que $x - 4$ seja um fator exato ou espera um resto distante de zero?
2. b) Aplique o dispositivo de Briot-Ruffini completo para obter o quociente e o resto exatos, justificando a presença de zeros na tabela se for necessário.
3. c) Compare o resto obtido com a sua estimativa inicial e comprove a validade do resultado verificando a identidade fundamental $P(x) = (x - 4) \cdot C(x) + R$ para os casos particulares simples $x = 0$ e $x = 1$.

Encontre os valores de $a$ e $b$ para que o polinômio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ seja divisível por $(x - 2)^2$.

Efetue a divisão do polinômio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ pelo binômio $2x - 3$ utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Considere que é preciso adaptar o divisor para poder aplicar o algoritmo e, posteriormente, ajustar o quociente e o resto obtidos.

O volume de uma calota esférica é dado pela fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, onde $R$ é o raio da esfera e $h$ a altura da calota. Se o raio de uma esfera é $R = 5\text{ cm}$ e se deseja obter uma calota com um volume de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, monte a equação correspondente e utilize a regra de Ruffini para encontrar a altura $h$.

Fatore completamente o polinômio de quinto grau $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ em polinômios irredutíveis sobre os números reais.

Aplique a regra de Ruffini para dividir o polinômio $P(x) = x^5 - 32$ por $x - 2$. A partir do padrão observado nos coeficientes do quociente, deduza e escreva a expressão geral do polinômio quociente ao dividir $x^n - a^n$ por $x - a$.

A temperatura de uma reação química em função do tempo $t$ (em minutos) é modelada pelo polinômio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determine em quais instantes de tempo a temperatura da reação é exatamente de $0^\circ\text{C}$.

Encontre a expressão de um polinômio de terceiro grau $P(x)$ cujo coeficiente principal seja $1$, sabendo que se anula para $x = 1$ e $x = 2$, e que ao dividi-lo por $x - 3$ obtém-se um resto de $10$.

Resolva a inequação polinomial $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para isso, fatore primeiro o polinômio utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e depois estude o sinal nos intervalos correspondentes da reta real.

No quadro de uma sala de aula do Ensino Médio apagou-se parcialmente a resolução de um problema no qual se aplicavam duas divisões sucessivas sobre um polinômio do terceiro grau $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Apenas foram conservadas as seguintes anotações legíveis:

1. O coeficiente principal é $a = 2$.

2. Ao dividir $P(x)$ por $x + 1$ por meio do dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se um resto $R_1 = -12$ e um polinômio quociente $Q(x)$.

3. Ao dividir o referido quociente $Q(x)$ pelo binômio $2x - 1$ aplicando a adaptação de Briot-Ruffini, a divisão resultou exata (resto $R_2 = 0$) e o quociente final foi $x + 4$.

1. a) Reconstrua, em sentido inverso, a expressão algébrica do quociente intermediário $Q(x)$, detalhando como intervém o divisor $2x - 1$.
2. b) Reconstrua a expressão algébrica completa do polinômio original $P(x)$.
3. c) Sem calcular $P(-1)$ nem $P(1/2)$ avaliando a fórmula obtida, justifique, a partir da definição de divisão e do teorema do resto, se $x = -1$ ou $x = 1/2$ são raízes de $P(x)$.

Pretende-se encontrar os parâmetros $m$ e $n$ para que o polinômio $P(x) = 2x^4 - x^3 + mx^2 + nx + 6$ seja divisível exatamente pelo trinômio $D(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

Dois estudantes propõem estratégias distintas:

• O Lucas propõe efetuar diretamente a divisão euclidiana tradicional («pelo algoritmo usual») de $P(x)$ por $D(x)$ e igualar a zero os dois coeficientes do resto linear obtido.

• A Beatriz propõe fatorar $D(x) = (x - 2)(2x + 1)$ e encadear duas tabelas de Ruffini sucessivas: primeiro dividir por $x - 2$ impondo resto zero, e depois dividir o quociente resultante por $2x + 1$ impondo novamente resto zero.

1. a) Compare de forma fundamentada ambas as estratégias, avaliando a carga de cálculo e os riscos habituais de erro algébrico (manipulação de frações vs. monômios semelhantes com parâmetros).
2. b) Execute a estratégia da Beatriz aplicando a regra de Ruffini de forma rigorosa para encontrar os valores exatos de $m$ e $n$, indicando as duas tabelas e o quociente final simplificado da divisão $P(x) : D(x)$.
3. c) Justificação teórica: se, num caso geral, se divide sucessivamente um polinômio $P(x)$ por $(x - a)$ obtendo resto $R_1 \neq 0$, e o quociente resultante se divide por $(cx - b)$ obtendo resto $R_2 \neq 0$, deduza algebricamente qual é a expressão do resto global da divisão de $P(x)$ por $(x - a)(cx - b)$ e explique por que motivo não é simplesmente a soma $R_1 + R_2$.