Exercícios: Fatoração de polinômios

Coloque o fator comum em evidência e utilize os produtos notáveis para fatorar ao máximo o seguinte polinômio:

$P(x) = 3x^5 - 12x^3$

Fatore o seguinte polinômio de terceiro grau sabendo que uma de suas raízes é $x = 2$:

$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$

Determine as raízes inteiras do polinômio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ por meio do dispositivo de Briot-Ruffini e expresse-o em sua forma fatorada.

Escreva na forma fatorada o polinômio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando o produto notável da diferença de quadrados de forma sucessiva.

Indique quais são as raízes do polinômio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ e suas respectivas multiplicidades. Justifique por que este polinômio não tem mais raízes reais.

Fatore o polinômio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolvendo previamente a equação do segundo grau associada.

Verifique, utilizando o Teorema do Resto, se $x = -1$ é raiz do polinômio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. Em caso afirmativo, extraia o fator correspondente.

Fatore completamente o polinômio biquadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

O Carlos precisa decompor em fatores o polinômio $P(x) = 3x^3 - 12x^2 + 12x$. Na sua prova, ele escreve o seguinte procedimento:

1) Coloca em evidência o fator comum: $P(x) = x(3x^2 - 12x + 12)$.

2) Resolve a equação $3x^2 - 12x + 12 = 0$ aplicando a fórmula de Bhaskara e obtém uma única solução dupla: $x = 2$.

3) Conclui que a fatoração final é: $P(x) = x(x - 2)^2$.

1. a) Sem precisar desenvolver todo o polinômio, indique qual propriedade imediata falha no resultado do Carlos (dica: compare o coeficiente do termo de maior grau da resposta dele com o do polinômio original).
2. b) Explique, com fundamentação, o erro conceitual que ele cometeu ao traduzir as soluções da equação do segundo grau em fatores do polinômio.
3. c) Corrija o procedimento e escreva a fatoração completa e correta de $P(x)$.

Para decompor em fatores irredutíveis em $\mathbb{R}$ o polinômio $P(x) = 2x^4 - 32$, duas alunas sugerem estratégias distintas:

• A Alba propõe aplicar a regra de Ruffini sucessivamente, testando os divisores inteiros de $32$ até reduzir o grau.

• A Bea propõe colocar em evidência o fator comum numérico em primeiro lugar e, em seguida, aplicar produtos notáveis (diferenças de quadrados) de forma encadeada.

1. a) Compare ambos os métodos e justifique qual dos dois é mais eficiente, rápido e menos propenso a erros de cálculo neste caso.
2. b) Aplique a estratégia escolhida passo a passo até obter a fatoração completa de $P(x)$ em $\mathbb{R}$.
3. c) Justifique, de forma fundamentada, por que o fator quadrático $(x^2 + 4)$ não pode continuar sendo decomposto nos números reais.

Determine o valor do parâmetro $m$ para que o polinômio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ seja divisível pelo binômio $x - 2$. Uma vez encontrado o valor de $m$, fatore completamente o polinômio no conjunto dos números reais.

O volume de uma caixa retangular em função de seu comprimento $x$ é dado pela expressão polinomial $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Fatore $V(x)$ para encontrar as expressões algébricas mais simples que representam as três dimensões da caixa.

Fatore o polinômio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Leve em conta que algumas de suas raízes podem ser números fracionários.

Um biólogo modela o crescimento e o decrescimento de uma população de bactérias pelo polinômio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, onde $t$ é o tempo em horas. Fatore o polinômio para determinar em quais instantes exatos a população se anula.

Simplifique a seguinte fração algébrica fatorando previamente o numerador e o denominador ao máximo:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$

Fatore o polinômio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando produtos notáveis e colocando fatores comuns em evidência, sem necessidade de expandir todo o polinômio primeiro.

A trajetória de um drone de corridas em um trecho de exibição segue o perfil polinomial $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, onde $x$ é a distância horizontal em metros e $h(x)$ a altura em metros. Fatore $h(x)$ para encontrar os pontos exatos onde o drone toca o chão ($h(x) = 0$).

Determine um polinômio de quarto grau, $P(x)$, que seja mônico (coeficiente principal 1), que tenha $x = -2$ como raiz dupla, $x = 3$ como raiz simples, e que não possua termo independente. Escreva-o em sua forma fatorada e em sua forma geral expandida.

Considere o polinômio com coeficientes inteiros $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$.

1. a) Antes de aplicar qualquer algoritmo de divisão, faça uma estimativa fundamentada prévia:

• Enumere todos os possíveis candidatos a raiz racional $\frac{p}{q}$ segundo o teorema das raízes racionais.

• Calcule mentalmente ou por tentativas rápidas o valor numérico para os valores inteiros mais simples ($x = 1$, $x = -1$, $x = 0$) e estime quantas raízes racionais não inteiras você espera encontrar, no máximo.

1. b) Fatore completamente $P(x)$ em $\mathbb{R}$ utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e a equação do segundo grau associada.
2. c) Verifique se as raízes obtidas coincidem com a sua lista de candidatos racionais e confirme se o produto das três raízes obtidas $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$ é coerente com o valor do quociente $-\frac{a_0}{a_n} = -1,5$.

Encontre um polinômio $P(x)$ do terceiro grau com coeficientes inteiros que cumpra simultaneamente as três condições seguintes:

1) Tem uma raiz dupla em $x = -2$.

2) O seu termo independente é $-12$ (ou seja, o gráfico da função polinomial associada intersecta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -12)$).

3) Ao dividir $P(x)$ pelo binômio $(x - 1)$, o resto obtido é $-9$.

1. a) Modele a estrutura do polinômio em função das suas raízes e determine fundamentadamente os seus coeficientes.
2. b) Escreva a expressão fatorada de $P(x)$ indicando cada uma das suas raízes e as respectivas multiplicidades.
3. c) Desenvolva o polinômio obtido para verificar que todos os seus coeficientes são números inteiros e que satisfaz a condição do resto ao dividi-lo por $(x - 1)$ através do teorema do resto.

Calcule os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinômio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ seja divisível pelo polinômio $Q(x) = x^2 - 4$. Em seguida, fatore $P(x)$ ao máximo.

O projeto do perfil de uma peça mecânica de precisão é definido pela função polinomial $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Fatore o polinômio para encontrar as coordenadas exatas dos pontos de fixação da peça no eixo horizontal.

Demonstre que o polinômio $P(x) = x^4 + 4$ não tem raízes reais. Em seguida, fatore-o como o produto de dois polinômios do segundo grau. Dica: Some e subtraia $4x^2$ da expressão para forçar o aparecimento de uma diferença de quadrados.

Simplifique a seguinte expressão algébrica, que representa a impedância equivalente em um circuito complexo, fatorando ao máximo cada polinômio nos numeradores e denominadores:

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$

Em um estudo de economia, a curva de lucro marginal de uma empresa tecnológica se ajusta ao polinômio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, em que $x$ representa o investimento em P&D em milhões de reais. Fatore o polinômio para encontrar os pontos de equilíbrio exatos (incluindo raízes fracionárias).

Um polinômio $P(x)$ de terceiro grau satisfaz $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ e, ao ser dividido pelo binômio $(x-2)$, o resto da divisão é $16$. Além disso, sabe-se que seu termo independente é $4$. Encontre a expressão fatorada de $P(x)$.

Fatore completamente o polinômio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifique claramente quais são suas raízes reais e a multiplicidade de cada uma delas.

O contorno da abóbada de um edifício vanguardista é dado pela interseção geométrica das curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ e $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Fatore o polinômio diferença $D(x) = f(x) - g(x)$ para determinar as coordenadas $x$ dos pilares onde ambas as estruturas se unem.

Uma cooperativa agrícola de Goiás encomenda a produção de um tanque de aço em forma de paralelepípedo retângulo para armazenar azeite extravirgem. Por restrições de espaço no galpão, as dimensões do tanque (em metros) devem ter as seguintes relações:

• A largura mede $x$ metros.

• O comprimento deve superar a largura em $2\text{ m}$.

• A altura deve ser igual à soma do comprimento e da largura, diminuída em $1\text{ m}$.

• A capacidade total necessária é de exatamente $40\text{ m}^3$ ($40.000\text{ litros}$).

1. a) Deduza a expressão polinomial do volume $V(x)$ e escreva a equação $V(x) - 40 = 0$ que permite determinar a largura $x$.
2. b) Antes de fatorar, delimite o domínio físico do problema: por que motivo descartamos de início qualquer raiz menor ou igual a zero?
3. c) Fatore completamente o polinômio $V(x) - 40$ em $\mathbb{R}$ justificando quais candidatos racionais você testa por meio do dispositivo de Briot-Ruffini.
4. d) Determine as dimensões reais do tanque (largura, comprimento e altura) e interprete o papel do fator quadrático restante: por que razão o seu discriminante garante que a solução encontrada é geométrica e fisicamente única?

Pretende-se decompor em fatores irredutíveis em $\mathbb{R}$ o polinômio de grau seis $P(x) = x^6 - 9x^3 + 8$.

Na aula propõem-se dois caminhos de resolução:

• Método A (Marcos): Tratá-lo como um polinômio geral de grau 6 e aplicar de forma sucessiva a regra de Ruffini procurando raízes inteiras entre os divisores de $8$.

• Método B (Sara): Tratá-lo como um polinômio redutível ao segundo grau mediante a mudança de variável $t = x^3$, decompor a equação quadrática em $t$ e, finalmente, fatorar cada fator cúbico resultante usando produtos notáveis (em concreto, a diferença de cubos: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$).

1. a) Analise a proposta do Marcos: demonstre em que ponto exato ficaria bloqueado este método se o Marcos apenas procurasse raízes inteiras através de Ruffini e por que razão este algoritmo é incapaz, por si só, de decompor fatores quadráticos irredutíveis em $\mathbb{R}$.
2. b) Desenvolva de forma completa o Método B da Sara até obter a fatoração de $P(x)$ como produto de fatores de grau 1 e grau 2.
3. c) Demonstre formalmente, analisando o discriminante de cada fator de segundo grau obtido, que estes fatores são irredutíveis em $\mathbb{R}$ e que, portanto, a fatoração não pode prosseguir.