Exercícios: Núcleos atómicos e estabilidade de isótopos

O potássio das bananas contém uma pequena fração do isótopo potássio-40, cujo núcleo tem número atômico $Z = 19$ e número de massa $A = 40$.

1. a) Indique quantos prótons e quantos nêutrons tem esse núcleo.
2. b) Escreva o seu símbolo com a notação ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Quantos elétrons tem o átomo neutro de potássio-40? Justifique a resposta.

Num núcleo de hélio há dois prótons confinados numa região de cerca de $10^{-15}\ \text{m}$ de diâmetro. Como ambos têm carga positiva, repelem-se eletricamente com uma força considerável; no entanto, o núcleo não se desintegra.

1. a) Explique o que é a força nuclear forte e por que razão ela consegue manter o núcleo unido.
2. b) Justifique por que razão, mesmo existindo essa força, os núcleos com prótons demais acabam sendo instáveis.

O carbono tem três isótopos naturais: carbono-12, carbono-13 e carbono-14, todos com $Z = 6$.

1. a) Explique o que significa dois núcleos serem isótopos.
2. b) Calcule o número de nêutrons do núcleo de cada um dos três isótopos.
3. c) Os três isótopos têm as mesmas propriedades químicas? Justifique a resposta pensando nos seus elétrons.

A unidade de massa atômica (u) é definida como um doze avos da massa de um átomo de carbono-12 e equivale a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) A massa do núcleo de oxigênio-16 é de cerca de $16\ \text{u}$: expresse-a em quilogramas, em notação científica.
2. b) Justifique por que, na física nuclear, é mais conveniente trabalhar em unidades u do que em quilogramas.

Dos cerca de $3000$ nuclídeos conhecidos, apenas cerca de $250$ são estáveis; os restantes acabam decaindo mais cedo ou mais tarde.

1. a) Explique o que significa um núcleo ser estável e o que acontece com um núcleo instável.
2. b) Nos núcleos leves estáveis, o número de nêutrons $N$ e o de prótons $Z$ são quase iguais: indique quanto vale, aproximadamente, a razão $\frac{N}{Z}$ nesses núcleos.

O raio de um átomo é da ordem de $10^{-10}\ \text{m}$, enquanto o de seu núcleo é da ordem de $10^{-15}\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcule quantas vezes o raio do átomo é maior do que o do núcleo.
2. b) O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do raio: estime quantas vezes o volume do átomo é maior do que o do núcleo.
3. c) Explique, com base no resultado, por que se diz que o átomo é quase vazio.

As medições de precisão mostram que a massa de um núcleo de hélio-4 é menor do que a soma das massas dos seus dois prótons e dois nêutrons medidos separadamente.

1. a) Explique o que é o defeito de massa de um núcleo.
2. b) Em que se transformou a massa que «falta»? Mencione na sua explicação a relação de Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

A energia de ligação por núcleon é a energia média necessária para remover um núcleon de um núcleo.

1. a) Defina o que é a energia de ligação de um núcleo.
2. b) A energia de ligação por núcleon é máxima nos núcleos de massa intermediária, como o ferro, e menor nos muito leves e nos muito pesados: justifique quais núcleos serão os mais estáveis.

Considere estes cinco nuclídeos: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ e ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calcule o número de prótons e de nêutrons de cada um.
2. b) Indique quais pares são isótopos (mesmo $Z$) e qual par é isóbaro (mesmo $A$).
3. c) Identifique dois nuclídeos que tenham o mesmo número de nêutrons (isótonos).

Dados: massa do próton $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa do nêutron $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa do núcleo de hélio-4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ e $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calcule a soma das massas dos dois prótons e dos dois nêutrons que formam o núcleo de hélio-4, medidos separadamente.
2. b) Calcule o defeito de massa $\Delta m$ do núcleo, em unidades u.
3. c) Expresse esse defeito de massa em quilogramas, em notação científica.

O defeito de massa do núcleo de hélio-4 é $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, equivalente a $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Dados: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ e $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcule a energia de ligação do núcleo com a relação de Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, expressa em joules.
2. b) Converta o resultado para $\text{MeV}$ (leve em conta que $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calcule a energia de ligação por núcleon do hélio-4.

Nas tabelas de nuclídeos lê-se que a energia de ligação por núcleon do ferro-56 vale $8,8\ \text{MeV}$ e a do urânio-235, $7,6\ \text{MeV}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcule a energia de ligação total de cada um desses dois núcleos.
2. b) Explique por que razão o ferro-56 é mais estável do que o urânio-235, embora a sua energia de ligação total seja menor.
3. c) Relacione o resultado com o fato de o urânio-235 liberar energia ao sofrer fissão.

A razão $\frac{N}{Z}$ dos núcleos estáveis vale aproximadamente $1$ nos leves e cresce até cerca de $1,5$ nos mais pesados, como mostra a figura.

Calcule a razão $\frac{N}{Z}$ de cada um destes nuclídeos e preveja, comparando com essa tendência, se é de esperar que sejam estáveis ou instáveis:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie isolou o rádio em $1898$, e durante décadas a atividade de $1\ \text{g}$ de rádio-226 serviu como unidade de medida, o curie. Dados: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ e massa molar do rádio-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calcule quantos núcleos de rádio-226 existem em uma amostra de $1\ \text{mg}$.
2. b) Calcule quantos núcleos existem em $1\ \text{g}$, a quantidade que definia o curie.

Em física nuclear usa-se a equivalência entre massa e energia $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) O defeito de massa do deutério (núcleo de hidrogênio-2) é $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: calcule a sua energia de ligação em $\text{MeV}$.
2. b) Calcule a sua energia de ligação por núcleon e compare-a com a do ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por núcleon): fundamente qual dos dois núcleos é mais estável.

Dados: massa do próton $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa do nêutron $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa do núcleo de ferro-56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ e $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) O ferro-56 tem $Z = 26$: indique quantos prótons e quantos nêutrons contém o seu núcleo.
2. b) Calcule o seu defeito de massa, em unidades u.
3. c) Calcule a sua energia de ligação total e a sua energia de ligação por núcleon, em $\text{MeV}$.
4. d) Sabendo que a energia de ligação por núcleon do carbono-12 é de $7,7\ \text{MeV}$, fundamente qual dos dois núcleos é mais estável e que processo, fusão ou fissão, poderia liberar energia a partir de cada um.

A curva de energia de ligação por núcleon em função do número de massa $A$ cresce rapidamente a partir dos núcleos mais leves, atinge um máximo em torno do ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ por núcleon) e desce depois suavemente até cerca de $7,6\ \text{MeV}$ no urânio-235.

1. a) Esboce no seu caderno essa curva, assinalando o máximo e as zonas de núcleos leves e pesados.
2. b) Explique, a partir da forma da curva, por que a fusão de núcleos leves libera energia.
3. c) Explique, com o mesmo argumento, por que a fissão de núcleos muito pesados também libera energia.
4. d) Justifique por que não é possível obter energia nem por fusão nem por fissão de núcleos de ferro.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A energia de ligação total do trítio (núcleo de hidrogênio-3) é de $8,48\ \text{MeV}$. Dados: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ e $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calcule o defeito de massa do trítio, em unidades u.
2. b) Sabendo que o trítio tem um próton e dois nêutrons, calcule a massa do seu núcleo.
3. c) Calcule a sua energia de ligação por núcleon e, comparando-a com a do hélio-4 ($7,1\ \text{MeV}$), justifique por que razão a fusão de deutério e trítio para formar hélio libera energia.

O oxigênio só tem três isótopos estáveis: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ e ${}^{18}_{8}\text{O}$. Os isótopos com excesso de nêutrons tendem a se desintegrar por emissão beta menos ($\beta^{-}$: um nêutron se converte em próton), e os que têm déficit de nêutrons, por emissão beta mais ($\beta^{+}$: um próton se converte em nêutron).

1. a) Calcule a razão $\frac{N}{Z}$ do ${}^{14}_{8}\text{O}$ e do ${}^{21}_{8}\text{O}$ e compare-a com a do ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Preveja que tipo de decaimento cada um desses dois isótopos instáveis sofrerá, justificando a resposta.
3. c) Escreva a equação de cada processo e identifique o nuclídeo filho que se forma em cada caso.