Exercícios: Razões trigonométricas da soma de dois ângulos

Calcule o valor exato de $\sin(75^\circ)$ decompondo o ângulo como a soma de dois ângulos notáveis ($45^\circ$ e $30^\circ$).

Determine o valor exato de $\cos(105^\circ)$ utilizando a fórmula do cosseno da soma, sabendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Determine o valor exato de $\tan(75^\circ)$ aplicando a fórmula da tangente da soma a partir dos ângulos de $45^\circ$ e $30^\circ$. Racionalize o resultado se necessário.

Simplifique a seguinte expressão trigonométrica a um único termo numérico exato aplicando as fórmulas de adição de forma inversa:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Reduza a seguinte expressão a um valor numérico exato:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Sabendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e que tanto $\alpha$ quanto $\beta$ são ângulos agudos (pertencentes ao primeiro quadrante), calcule o valor exato de $\sin(\alpha + \beta)$.

Dados dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ tais que $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = 2$, determine o valor exato de $\tan(\alpha + \beta)$.

Expresse $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ em função das razões trigonométricas do ângulo $x$ desenvolvendo a fórmula da soma correspondente e simplificando o resultado.

A Júlia precisa calcular o valor exato de $\cos(105^\circ)$ sem calculadora e decide decompor o ângulo como a soma de dois ângulos notáveis: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Na sua prova ela escreve o seguinte desenvolvimento:

Ao rever a prova corrigida, ela verifica que o professor deu zero ao exercício.

1. a) Sem fazer cálculos analíticos, justifique geometricamente, através da posição na circunferência trigonométrica, por que o resultado da Júlia ($\approx 0,97$) é impossível para um ângulo de $105^\circ$.
2. b) Localize e explique com precisão o erro conceitual ou de fórmula cometido na segunda igualdade do desenvolvimento dela.
3. c) Corrija o procedimento e obtenha o valor exato simplificado de $\cos(105^\circ)$.

Considerem-se dois ângulos agudos desconhecidos, $\alpha$ e $\beta$, dos quais apenas se sabe que $\tan\alpha = 2$ e $\tan\beta = 3$.

1. a) Estime: Considerando que no primeiro quadrante a tangente é uma função estritamente crescente e que $\tan(45^\circ) = 1$, fundamente em que quadrante deve estar o ângulo soma $\alpha + \beta$. A partir dessa dedução qualitativa, preveja que sinal (+ ou -) terá necessariamente $\tan(\alpha+\beta)$ antes de fazer qualquer operação.
2. b) Calcule: Aplique a fórmula da tangente da soma de ângulos para determinar o valor exato de $\tan(\alpha+\beta)$.
3. c) Verifique: Avalie se o valor numérico obtido confirma a sua previsão do sinal e determine a medida exata, em graus, do ângulo $\alpha + \beta$.

Dados os ângulos $\alpha$ e $\beta$ tais que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ com $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ e $\cos \beta = \frac{5}{13}$ com $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcule o valor exato de $\cos(\alpha + \beta)$.

Demonstre a seguinte identidade trigonométrica desenvolvendo o numerador por meio da fórmula correspondente e simplificando a fração:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

Em um projeto de engenharia solar, um painel fotovoltaico tem uma inclinação inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para otimizar a captação no inverno, um mecanismo aumenta a inclinação em um ângulo adicional de $15^\circ$. Calcule o valor exato de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sem utilizar aproximações decimais, sabendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Simplifique a expressão trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que fique em função apenas de $\cos x$ e/ou $\sin x$.

Sabendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ e que a tangente do ângulo soma é $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determine o valor exato de $\tan \beta$ montando a equação correspondente a partir da fórmula de adição.

Um canhão lança um projétil com um ângulo de elevação $\alpha$ em relação à encosta de uma montanha, de modo que $\sin \alpha = 0,6$ (sendo $\alpha$ um ângulo agudo). A própria encosta tem uma inclinação $\beta$ em relação à horizontal, com $\cos \beta = 0,96$ (sendo $\beta$ agudo). Determine o valor exato do seno do ângulo total de lançamento em relação à horizontal, ou seja, $\sin(\alpha + \beta)$.

Calcule de forma exata o valor da expressão $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utilize esse resultado geométrico para determinar a área exata de um paralelogramo cujos lados adjacentes medem $8$ cm e $10$ cm, sabendo que o ângulo que eles formam é precisamente a soma de $15^\circ$ e $30^\circ$.

Em um experimento de óptica, um feixe de luz atravessa dois prismas consecutivos que desviam a sua trajetória no mesmo plano. O primeiro prisma produz um desvio $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, e o segundo um desvio adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demonstre que o desvio total $\alpha + \beta$ é exatamente $45^\circ$ calculando a tangente do ângulo soma.

Numa instalação fotovoltaica localizada em Uberlândia, os módulos são colocados sobre uma encosta natural que tem uma inclinação ascendente de ângulo agudo $\beta$ em relação à horizontal, verificando-se que $\tan\beta = \frac{7}{24}$. Os suportes permitem inclinar as placas em um ângulo agudo adicional $\alpha$ em relação ao solo da encosta, de modo que a inclinação total sobre o plano horizontal é $\alpha + \beta$. Para otimizar a captação nos meses de inverno, o caderno de especificações exige que o ângulo total cumpra $\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$, sendo $\alpha + \beta < 90^\circ$.

1. a) A partir de $\tan\beta = \frac{7}{24}$, obtenha os valores exatos de $\sin\beta$ e $\cos\beta$ justificando o sinal de acordo com o quadrante.
2. b) Determine o valor exato de $\cos(\alpha + \beta)$ e calcule a partir dele a fração exata que representa $\tan(\alpha + \beta)$.
3. c) Utilize a fórmula da tangente da soma para propor uma equação de primeiro grau e calcule o valor exato de $\tan\alpha$. A partir desse dado, fundamente se o ajuste mecânico $\alpha$ sobre o terreno deve ser maior ou menor do que $45^\circ$.

Deseja-se construir dois ângulos agudos $\alpha$ e $\beta$ pertencentes ao primeiro quadrante, $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$, que cumpram simultaneamente estas duas condições:

1) $\cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta = 0$

2) $\tan\alpha = 3\cdot\tan\beta$

1. a) Reconheça a fórmula trigonométrica correspondente ao membro esquerdo da condição (1) e deduza, de maneira fundamentada, que relação de complementaridade existe entre $\alpha$ e $\beta$.
2. b) Com essa relação, expresse $\tan\beta$ exclusivamente em função de $\tan\alpha$ por meio das razões trigonométricas de ângulos complementares.
3. c) Substitua o resultado anterior na condição (2), resolva a equação obtida para determinar o valor exato de $\tan\alpha$ e determine as medidas exatas em graus dos dois ângulos $\alpha$ e $\beta$.

Resolva a equação trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para o intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresse as soluções de forma exata em graus.

Encontre todas as soluções exatas da equação $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ no intervalo $[0, 2\pi)$.

Desenvolva a expressão $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ em função exclusiva dos senos e cossenos dos ângulos simples $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Agrupe os termos adequadamente.

Um braço robótico planar é composto por dois elos. O primeiro elo forma um ângulo $\alpha$ com a horizontal, onde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando no primeiro quadrante). O segundo elo forma um ângulo $\beta$ de rotação relativa em relação ao prolongamento do primeiro elo. Se para alcançar uma peça crítica é necessário que a inclinação total do segundo elo em relação à horizontal seja tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcule o valor exato de $\tan \beta$.

Em qualquer triângulo não retângulo $ABC$, sabendo que a soma dos seus ângulos internos é $A+B+C = 180^\circ$, demonstre matematicamente a seguinte relação fundamental:

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

Um topógrafo observa a cobertura de um edifício com um ângulo de elevação $\alpha$, sendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Atrás desse edifício, na mesma linha de visão, há uma torre de telecomunicações. O ângulo adicional de elevação desde a cobertura do edifício até o topo da torre, medido a partir da linha de visão anterior, é $\beta$, com $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabendo que ambos os ângulos são agudos, calcule o valor exato do cosseno do ângulo total de elevação $\alpha + \beta$ em direção ao topo da torre.

Resolva o seguinte sistema de equações trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ e dê os valores exatos de $x$ e $y$ em radianos:

$\sin(x+y) = 1$

$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$

Um avião de reconhecimento voa inicialmente com um rumo que forma um ângulo $\alpha$ ao norte do leste, verificando-se que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Uma forte corrente de vento lateral desvia sua trajetória em um ângulo adicional $\beta$ para o norte, de modo que o rumo efetivo sobre o solo forma um ângulo $\alpha + \beta$ com o leste. Se a torre de controle mede que a tangente do rumo efetivo é $\frac{12}{5}$, determine os valores exatos de $\sin \beta$ e $\cos \beta$ sem recorrer ao cálculo dos ângulos com calculadora.

Para resolver no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ a equação trigonométrica:

dois estudantes propõem métodos de resolução distintos:

• Método da Sara: Aplica diretamente as fórmulas de adição para o seno e o cosseno da soma no membro esquerdo, agrupa os termos semelhantes e resolve a equação simples resultante.

• Método do Marcos: Realiza a mudança $u = x + 45^\circ$, eleva ao quadrado ambos os membros da equação $\sin u + \cos u = 1$ para obter $(\sin u + \cos u)^2 = 1$, e utiliza a identidade fundamental para isolar $u$ e depois $x$.

1. a) Desenvolva completamente o método da Sara e determine todas as soluções exatas da equação no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Desenvolva o método do Marcos até encontrar as soluções aparentes para $x$. Explique detalhadamente por que razão elevar ao quadrado introduz soluções falsas (estranhas) neste contexto e localize quais são, verificando-as na equação original.
3. c) Justifique por que razão o método da Sara baseado nas fórmulas de adição é conceitualmente superior e mais seguro do que recorrer a potências.

Em qualquer triângulo não retângulo $ABC$, as medidas dos seus ângulos internos satisfazem que $A + B + C = 180^\circ$. Em um caso concreto, conhecem-se as tangentes de dois dos seus ângulos: $\tan A = 2$ e $\tan B = 3$.

1. a) Sabendo que $C = 180^\circ - (A + B)$, aplique as propriedades dos ângulos suplementares para demonstrar a relação que existe entre $\tan C$ e $\tan(A + B)$.
2. b) Aplique a fórmula da adição da tangente para calcular o valor exato de $\tan(A+B)$ e deduza o valor numérico de $\tan C$. A partir dele, determine a medida exata em graus do ângulo $C$ e justifique se o triângulo é acutângulo ou obtusângulo.
3. c) Verifique numericamente se, para este triângulo, vale a igualdade $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$. Em seguida, demonstre algebricamente que esta relação é uma identidade válida para qualquer triângulo não retângulo, partindo da igualdade $\tan(A+B) = -\tan C$.