Exercícios: Sistemas com parâmetros

Em uma plataforma de streaming, o preço de três tipos de assinaturas (Básica, Padrão e Premium) varia de acordo com uma promoção mensal representada pelo parâmetro $k$. O sistema de equações que relaciona o número de usuários de cada tipo com a receita total é:

$$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + ky + z = 12 \\ x + y + kz = 14 \end{cases}$$

Discuta a compatibilidade do sistema de acordo com os valores do parâmetro real $k$.

Determine para qual valor do parâmetro $a$ o seguinte sistema de equações lineares é impossível:

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$

Justifique sua resposta analisando a proporcionalidade dos coeficientes e dos termos independentes.

Considere o seguinte sistema de equações homogêneo, em que $m$ é um parâmetro real:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$

1. a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes $A$.
2. b) Para quais valores de $m$ o sistema tem soluções diferentes da solução trivial $(0, 0, 0)$?

Um designer de jogos eletrônicos está programando as colisões de três projéteis cujas trajetórias no espaço são definidas pelos seguintes planos, onde $\lambda$ é uma variável de ajuste de potência:

$$\pi_1: x + y + z = 2$$ $$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$$ $$\pi_3: \lambda x + 10y + 4z = 11$$

Encontre o valor de $\lambda$ para que os três projéteis coincidam em um único ponto do espaço (Sistema Compatível Determinado).

Dado o sistema de equações com parâmetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + ay + z = a \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Explique, justificando, por que este sistema nunca pode ser possível e determinado, independentemente do valor assumido por $a$.

Considere o sistema:

$$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 2 \\ x - 2y = k \end{cases}$$

Encontre o valor do parâmetro $k$ para que o sistema seja Possível e Indeterminado. Para esse valor de $k$, indique quantas soluções o sistema possui.

Sabe-se que a terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ é uma solução do seguinte sistema de equações dependente do parâmetro $b$:

$$\begin{cases} bx + y + z = 3 \\ x + by - z = 6 \\ x - y + bz = -3 \end{cases}$$

1. a) Substitua a solução nas equações para encontrar o valor de $b$.
2. b) Com o valor de $b$ obtido, discuta se a solução dada é única.

Discuta o seguinte sistema de acordo com os valores do parâmetro $t$:

$$\begin{cases} tx + y = 1 \\ x + ty = t \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Dica: Analise o que ocorre quando $t=1$ e quando $t \neq 1$ observando a relação entre as três equações.

A Lucía resolve no quadro a discussão do seguinte sistema dependente do parâmetro real $m$:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x + my - z = 2 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Após calcular o determinante da matriz de coeficientes, obtém $|A| = m - 1$ e conclui textualmente: «Como para $m = 1$ o determinante dá zero, a regra de Cramer não pode ser aplicada e, portanto, o sistema é impossível. Por outro lado, se $m \ne 1$, como $|A| \ne 0$, o sistema é possível e determinado».

1. Localize o erro conceitual na afirmação da Lucía e explique detalhadamente por que não poder aplicar a regra de Cramer não implica que um sistema não tenha solução.

2. Discuta de forma correta e rigorosa o sistema para todos os valores reais de $m$ aplicando o teorema de Rouché-Frobenius.

3. Resolva o sistema para $m = 1$ indicando claramente os graus de liberdade da solução.

Considera-se o seguinte sistema de equações lineares dependente do parâmetro real $a$:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = a \\ 3x + y + z = 1 \end{cases}$$

1. Estime: Antes de calcular qualquer determinante ou aplicar transformações de Gauss, observe com atenção os coeficientes das duas primeiras equações. É possível que este sistema seja possível e determinado para algum valor de $a$? Para que valor concreto de $a$ você estima que as duas primeiras equações não serão contraditórias entre si?

2. Verifique: Calcule de forma fundamentada o posto da matriz de coeficientes $A$ e o posto da matriz ampliada $A^*$ em função de $a$. Verifique formalmente se a sua previsão estava correta aplicando o teorema de Rouché-Frobenius.

3. Interprete geometricamente a posição relativa dos três planos definidos pelas equações do sistema nos casos $a = 6$ e $a = 0$.

Considere o seguinte sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Discuta o sistema segundo os valores do parâmetro $k$.
2. b) Resolva o sistema no caso de ele ser possível e indeterminado.

Dado o sistema de equações:

$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ax + y - z = 1 \\ 2x + y + az = 2 \end{cases}$

1. a) Determine para quais valores de $a$ o sistema é possível e determinado.
2. b) Existe algum valor de $a$ para o qual o sistema represente três planos que se interceptam em uma mesma reta? Justifique sua resposta utilizando o conceito de posto.

Uma empresa de logística organiza envios de três tipos de contêineres: A, B e C. O custo de envio depende de um imposto variável $m$ aplicado à gestão. O sistema que relaciona o número de contêineres com o orçamento total é:

$\begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases}$

Discuta se é possível que, para algum valor de $m$, a empresa não possa determinar de forma única quantos contêineres de cada tipo foram enviados (ou seja, que o sistema não seja compatível determinado).

Estude a compatibilidade do seguinte sistema homogêneo em função do parâmetro $a$:

$\begin{cases} x + y + az = 0 \\ ax + y + z = 0 \\ 2x + ay + 2z = 0 \end{cases}$

Calcule todas as suas soluções para o valor de $a$ que o torna compatível indeterminado.

Considere os três planos definidos pelas seguintes equações:

$\pi_1: x - y + z = 2$

$\pi_2: 2x + y - z = 1$

$\pi_3: x + 2y + kz = -1$

1. a) Encontre o valor de $k$ para que os três planos tenham infinitos pontos em comum.
2. b) Para $k = -2$, determine a posição relativa dos três planos.

Seja a matriz dos coeficientes $A$ e a matriz dos termos independentes $B$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. a) Para quais valores de $a$ não existe a matriz inversa $A^{-1}$?
2. b) Para os valores encontrados no item anterior, discuta o sistema $A \cdot X = B$.
3. c) Resolva o sistema para $a = 2$ utilizando a Regra de Cramer.

Sabe-se que o seguinte sistema tem infinitas soluções para um determinado valor de $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + ay + 2z = 3 \\ x - y + 3z = a \end{cases}$

1. a) Encontre o referido valor de $a$.
2. b) Sem fazer mais cálculos, explique de forma fundamentada se o sistema poderia ser incompatível para algum outro valor de $a$.

Estude o seguinte sistema de equações lineares em função dos parâmetros $a$ e $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + y + bz = a \end{cases}$

1. a) Explique por que o sistema nunca pode ser compatível determinado.
2. b) Se $a = 1$, que condição deve cumprir $b$ para que o sistema seja compatível indeterminado?
3. c) Interprete geometricamente o que representam estas duas equações no espaço.

Uma estação de reciclagem em uma cidade do estado de São Paulo processa diariamente três tipos de resíduos urbanos: Plástico ($x$), Vidro ($y$) e Papel/Papelão ($z$), medidos em toneladas. Devido à regulamentação estadual sobre emissões, o balanço de processamento diário é modelado pelo seguinte sistema de equações lineares, em que $\lambda$ representa um coeficiente regulamentar de ajuste:

$$\begin{cases} x + y + z = 150 \\ 2x + 3y + z = 260 \\ 3x + 4y + \lambda z = 410 \end{cases}$$

1. Expresse o sistema na forma matricial e discuta sua compatibilidade segundo os diferentes valores do parâmetro regulamentar $\lambda \in \mathbb{R}$.

2. Se a administração fixar o coeficiente em $\lambda = 2$, é possível saber com certeza quantas toneladas exatas de cada resíduo são processadas por dia? Se em um dia com $\lambda = 2$ a balança registrar exatamente $40$ toneladas de vidro, determine as toneladas de plástico e de papel que foram tratadas.

3. Existe algum valor de $\lambda$ para o qual as três condições regulamentares sejam incompatíveis entre si? Justifique sua resposta analisando a combinação linear das equações.

Para discutir o sistema de equações dependente do parâmetro real $a$:

$$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + y - az = 2 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

dois estudantes propõem estratégias distintas:

• O Sergio propõe aplicar o método de Gauss desde o primeiro passo, triangularizando a matriz ampliada por meio de operações entre linhas com o parâmetro $a$.

• A Elena propõe calcular primeiro o determinante da matriz de coeficientes $|A|$, encontrar os valores críticos de $a$, e reservar o estudo por características ou a triangularização unicamente para esses valores isolados.

• Analise os inconvenientes e riscos de cálculo que o caminho escolhido pelo Sergio acarreta (que precauções algébricas obrigatórias a escolha de pivôs com parâmetros em Gauss exige para não perder soluções ou dividir por zero?).

• Desenvolva a estratégia da Elena: calcule e fatore $|A|$, e discuta a compatibilidade do sistema para todos os casos possíveis por meio do teorema de Rouché-Frobenius.

• Justifique qual dos dois métodos se revela mais seguro e eficiente neste caso particular. Para que valor de $a$ você poderia resolver o sistema pela regra de Cramer com menor esforço de cálculo?

Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

Pede-se:

1. Discuta o sistema segundo os diferentes valores do parâmetro $k$.

2. Resolva o sistema nos casos em que ele seja possível e indeterminado, expressando a solução de forma paramétrica.

3. No caso de o sistema ser possível e determinado, existe algum valor de $k$ para o qual a solução seja $(x, y, z) = (1, 1, 1)$? Justifique sua resposta.

Três planos no espaço $\mathbb{R}^3$ são dados pelas seguintes equações, onde $a$ é um parâmetro real:

$\pi_1: ax + y + z = 1$

$\pi_2: x + ay + z = a$

$\pi_3: x + y + az = a^2$

Analise a posição relativa dos três planos em função dos valores de $a$. Em particular, determine para quais valores de $a$ os planos se cortam em uma única reta e para quais valores os três não têm nenhum ponto em comum simultaneamente.

Uma empresa de logística de última milha utiliza três tipos de veículos: vans elétricas ($F$), triciclos de carga ($T$) e drones de entrega ($D$). O consumo energético por quilômetro, o custo de manutenção e a capacidade de carga são definidos pelo seguinte sistema, onde $m$ representa um coeficiente de eficiência energética que varia conforme a temperatura externa:

$\begin{cases} mF + T + D = 10 \\ F + mT + D = m + 9 \\ F + T + mD = 24 - 14m \end{cases}$

1. Discuta a viabilidade do sistema (possibilidade) em função de $m$.

2. Se, para um dia especialmente frio ($m=-2$), sabe-se que o sistema é impossível, explique o que isso significa do ponto de vista do problema real.

3. Determine se existe algum valor de $m$ para o qual seja possível realizar a entrega utilizando unicamente drones ($F=0, T=0$).

Considere o sistema de equações lineares dependente de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ 2x + 4y + az = b \\ x + y + z = a \end{cases}$

1. Discuta o sistema em função dos parâmetros $a$ e $b$.

2. Para o valor de $a$ que torna o sistema possível e indeterminado, encontre o valor de $b$ necessário e resolva o sistema.

3. Existe algum valor de $a$ para o qual o sistema seja impossível independentemente do valor de $b$?

Dado o sistema homogêneo:

$\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. Determine os valores de $a$ para os quais o sistema admite soluções diferentes da trivial.

2. Para o maior valor de $a$ encontrado no item anterior, obtenha a solução geral e encontre uma solução particular tal que a soma das suas componentes seja $10$.

3. Se $a=0$, descreva geometricamente o conjunto de soluções.

Sejam a matriz $A$ e o vetor $B$ definidos por:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ m \end{pmatrix}$

1. Determine os valores de $m$ para os quais a matriz $A$ não tem inversa.

2. Para os valores de $m$ nos quais $A$ é invertível, resolva a equação matricial $AX = B$ utilizando a regra de Cramer.

3. Para $m=3$, estude se o sistema $AX=B$ é compatível ou incompatível sem calcular a inversa.

Deseja-se estudar a interseção de quatro planos no espaço, cujas equações são:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y - 3z = 8 \\ ax - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$

1. Utilize o Teorema de Rouché-Frobenius para determinar se existe algum valor de $a$ para o qual os quatro planos coincidam em um único ponto.

2. Em caso afirmativo, calcule as coordenadas de tal ponto.

3. Se alterarmos a terceira equação para $ax - y - z = b$, que relação devem cumprir $a$ e $b$ para que o sistema continue tendo solução?

Seja o sistema de equações com parâmetros $k$ e $t$:

$\begin{cases} x + y + z = t \\ kx + 2y + z = 0 \\ x + ky + z = 0 \end{cases}$

1. Discuta o sistema de acordo com os valores de $k$ e $t$.

2. Para $k=1$, que condição $t$ deve satisfazer para que o sistema tenha solução? Interprete o resultado considerando que as equações representam planos.

3. Para $k=2$, resolva o sistema em função de $t$ e determine o valor de $t$ para o qual a solução satisfaz $x + y = z$.

Considere o seguinte sistema de três equações com três incógnitas dependente de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + ay + 2z = 2 \\ 3x + 3y + az = b \end{cases}$$

1. Faça uma análise inversa: determine que valor o parâmetro $a$ deve tomar necessariamente para que o sistema seja possível e indeterminado qualquer que seja o valor que $b$ tome. Justifique o seu raciocínio demonstrando a dependência linear das linhas da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.

2. Encontre a relação exata entre $a$ e $b$ para que o sistema seja impossível. Existe alguma combinação de valores de $a$ e $b$ para a qual a solução geral dependa de dois parâmetros livres (dois graus de liberdade)? Demonstre por que é ou não possível a partir do posto máximo da matriz $A$.

3. Se fixarmos $b = 3$, determine para que valor de $a$ a terna $(0, 0, 1)$ faz parte do conjunto de soluções, e classifique o sistema resultante.

Considera-se o sistema de quatro equações com três incógnitas dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ x + z = k \\ x + 3y + kz = 5 \end{cases}$$

1. Estime: Sem calcular determinantes de ordem 4 nem condensar o sistema completo, responda justificando conceitualmente:

a) Pode este sistema ser possível e indeterminado para algum valor de $k$? Justifique a sua resposta analisando o posto da matriz formada unicamente pelas três primeiras equações.

b) Tendo em conta que as três primeiras equações determinam uma solução única $(x, y, z)$ em função linear de $k$, e que ao substituí-la na quarta equação se obtém uma expressão em $k$, quantos valores de $k$, no máximo, você esperaria que tornassem o sistema possível?

1. Verifique:

a) Resolva o subsistema formado pelas três primeiras equações para encontrar $(x, y, z)$ em função de $k$. Substitua as expressões obtidas na quarta equação e deduza os valores de $k$ para os quais o sistema completo tem solução.

b) Escreva a matriz ampliada $A^*$ de dimensão $4 \times 4$. Calcule fundamentadamente o seu determinante $|A^*|$, fatore-o e classifique o sistema completo para todo $k \in \mathbb{R}$ aplicando o teorema de Rouché-Capelli.

1. Contraste os resultados do item 2 com as suas estimativas do item 1 e explique que posição geométrica ocupam os quatro planos quando $k = 2$.

Desafio do tema. De que forma a regulação fiscal afeta a transição energética? Imagine que você presta consultoria a uma empresa de energia e deve analisar a viabilidade do mix de produção elétrica.

1. Obtenção de dados: Acesse o site do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS, seção de dados da operação) e colete a produção em MWh de três fontes durante uma hora de pico recente: eólica ($x$), solar ($y$) e ciclo combinado ($z$), além da demanda total.

2. Modelagem paramétrica: Formule um sistema $3 \times 3$. A primeira equação representará a cobertura total da demanda ($x + y + z = D$). A segunda modelará a proporção observada entre renováveis ($x - 1,5y = 0$). A terceira avaliará o custo global atribuindo um parâmetro fiscal $k$ sobre as emissões do gás: $20x + 15y + kz = C$.

3. Análise algébrica: Aplique o Teorema de Rouché-Frobenius para classificar o sistema segundo os valores de $k$. Resolva-o pela regra de Cramer para o caso possível determinado e confirme o resultado pelo método de Gauss.

4. Simulação e relatório: Represente ou resolva o sistema no GeoGebra ou em uma planilha, atribuindo um valor real plausível a $k$ (por exemplo, $k = 45,5$). Redija um relatório fundamentado (no máximo uma página) avaliando se os resultados fazem sentido físico e econômico.

Será avaliado:

• Rigor na discussão formal com Rouché-Frobenius e precisão na resolução algébrica (Gauss e Cramer).

• Correta extração de dados do ONS e coerência na formulação do modelo.

• Utilização efetiva do GeoGebra ou de software de cálculo como ferramenta de verificação.

• Qualidade analítica e justificativa fundamentada nas conclusões do relatório.