Exercícios: Método de Gauss

Resolva o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas utilizando o método de Gauss. Embora você pudesse usar outros métodos de anos anteriores, o objetivo é que pratique a transformação da matriz de coeficientes para obter uma forma escalonada:

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Para ajudar, ilustramos o processo de "zerar" abaixo do primeiro elemento da diagonal:

No método de Gauss, o passo final é a substituição regressiva. Resolva o seguinte sistema, que já está em forma escalonada (triangular):

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 3z = 11 \\ 4z = 12 \end{cases}$$

Obtenha a solução do seguinte sistema de equações lineares por meio do algoritmo de Gauss, realizando as operações elementares necessárias nas linhas para triangularizar a matriz:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$$

Classifique o seguinte sistema de acordo com o seu número de soluções após aplicar o método de Gauss. Indique se é Compatível Determinado, Compatível Indeterminado ou Incompatível com base na última linha obtida:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Um sistema Possível Indeterminado é aquele que tem infinitas soluções. Utilize o método de Gauss para verificar que o seguinte sistema o é e escreva a sua solução geral em função de um parâmetro $\lambda$ (fazendo $z = \lambda$):

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

Um estúdio de design gráfico equipa seus postos de trabalho com três pedidos ao mesmo distribuidor de componentes:

• Primeiro pedido: 1 teclado, 1 mouse e 1 mousepad por $\text{R\$}\ 55$.

• Segundo pedido: 2 teclados, 2 mouses e 1 mousepad por $\text{R\$}\ 102$.

• Terceiro pedido: 1 teclado e 2 mousepads por $\text{R\$}\ 51$.

Proponha o sistema de equações e calcule o preço unitário de cada artigo usando o método de Gauss.

Dada a seguinte matriz ampliada $(A|B)$ associada a um sistema de equações, realize as operações elementares necessárias para obter uma matriz escalonada e resolva o sistema:

$$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{array} \right)$$

Às vezes é conveniente mudar a ordem das equações para facilitar os cálculos (buscar o "1" como pivô). Reordene e resolva por Gauss o seguinte sistema:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ 2x + y + z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$

O Lucas está resolvendo, pelo método de Gauss, um sistema de três equações lineares com três incógnitas. Após aplicar operações elementares de linha sobre a matriz aumentada $(A|B)$, obtém o seguinte resultado escalonado:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$$

O Lucas afirma na prova: «Como na última linha a matriz de coeficientes só tem zeros, anula-se uma incógnita; portanto, o posto da matriz é 2, o sistema é possível e indeterminado e tem infinitas soluções que dependem de um parâmetro $\lambda$».

1. a) Identifique e explique com precisão o erro conceitual do Lucas. Qual é a diferença entre o posto da matriz de coeficientes $A$ e o posto da matriz aumentada $A^*$ nessa matriz escalonada?
2. b) Escreva a equação algébrica com incógnitas $x, y, z$ que representa a terceira linha da matriz escalonada e justifique por que essa equação demonstra a impossibilidade do sistema sem necessidade de recorrer a regras decoradas.
3. c) Corrija a conclusão do Lucas classificando o sistema segundo o teorema de Rouché-Frobenius e interprete o que acontece geometricamente com os três planos do sistema inicial.

Considere o seguinte sistema sobredeterminado de três equações com duas incógnitas:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 11 \end{cases}$$

1. a) Estime: Antes de realizar qualquer cálculo numérico, explique o que representa geometricamente cada equação no plano afim $\mathbb{R}^2$. Se você traçar três retas ao acaso em uma folha de papel, o que é mais provável: que as três coincidam exatamente em um único ponto ou que não coincidam? Baseando-se nessa intuição geométrica, faça uma estimativa fundamentada sobre se você espera que o sistema seja possível ou impossível.
2. b) Calcule: Escreva a matriz aumentada $(A|B)$ e aplique o método de Gauss para escaloná-la por linhas. Determine, a partir da matriz escalonada, as características $\operatorname{rg}(A)$ e $\operatorname{rg}(A^*)$.
3. c) Verifique: Resolva o sistema se for possível ou justifique sua impossibilidade a partir do escalonamento. Compare o resultado com a sua estimativa inicial e explique que relação geométrica particular as três retas deste exercício mantêm entre si.

Resolva pelo Método de Gauss o seguinte sistema de equações lineares. Caso o sistema seja possível e indeterminado, escreva a solução geral em função de um parâmetro $\lambda$:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 2y - z = 0 \\ x - 3y + 4z = 5 \end{cases}$$

Antes de começar, reflita sobre a escolha do "pivô" para facilitar os cálculos.

Uma empresa tecnológica fabrica três modelos de placas de vídeo: GT, Pro e Ultra. Sabe-se que:

• O custo total de produzir uma unidade de cada modelo é de $\text{R\$}\ 950$.

• O custo de fabricar duas unidades do modelo GT é igual à soma dos custos de uma unidade de Pro e uma de Ultra.

• Se forem fabricadas três unidades de Ultra, o custo supera em $\text{R\$}\ 100$ o custo de fabricar uma de cada um dos outros dois modelos juntos (GT e Pro).

Proponha um sistema de equações e utilize o método de escalonamento de Gauss para determinar o custo de produção de cada modelo.

Dado o sistema dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$$

1. a) Aplique o método de Gauss para obter uma matriz escalonada.
2. b) Determine para quais valores de $k$ o sistema é possível e determinado.
3. c) Resolva-o para $k = 0$.

Interprete geometricamente a posição relativa dos três planos definidos pelas seguintes equações utilizando o método de Gauss para analisar o sistema:

$$\pi_1: x + 2y - z = 3$$ $$\pi_2: 2x - y + z = 1$$ $$\pi_3: 5x + 5y - 2z = 10$$

Eles se cortam em um ponto, em uma reta ou não têm pontos comuns? Justifique sua resposta após realizar a transformação da matriz ampliada.

Um centro de alto rendimento esportivo organiza um acampamento de férias. Contrataram um total de $45$ monitores entre especialistas em natação, atletismo e ciclismo.

• O número de monitores de natação é o dobro do de atletismo.

• Se contratassem mais $5$ monitores de atletismo, o número deles se igualaria ao de ciclismo.

Utilize o método de Gauss para encontrar quantos monitores há de cada especialidade.

Considere o seguinte sistema de equações homogêneo:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 2x - y - 4z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demonstre, mediante o escalonamento da matriz de coeficientes, que o sistema admite soluções diferentes da trivial ($x=0, y=0, z=0$).
2. b) Obtenha a solução paramétrica do sistema.

Após aplicar parcialmente o método de Gauss a um sistema de três equações com três incógnitas $(x, y, z)$, chegou-se à seguinte matriz ampliada:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & m^2-4 & | & m-2 \end{pmatrix}$$

Discuta o tipo de sistema (Possível Determinado, Possível Indeterminado ou Impossível) segundo os valores do parâmetro $m$. Existe algum valor de $m$ para o qual o sistema seja impossível?

Três amigos, Alba, Bruno e Carlos, estão economizando para uma viagem de formatura que custa $\text{R\$}\ 1200$ por pessoa.

• Entre os três, eles têm economizada metade do dinheiro necessário para a viagem dos três.

• O triplo do que a Alba tem menos o que o Carlos tem é igual ao que o Bruno tem.

• Se a Alba desse $\text{R\$}\ 100$ ao Carlos, ambos teriam a mesma quantia.

Formule o sistema e resolva-o por Gauss para saber quanto cada um tem economizado e quanto falta para poderem ir à viagem.

Uma empresa municipal de transportes urbanos de uma capital espanhola analisa as validações de bilhetes durante um dia útil. Consideram-se três tipos de bilhete: Bilhete Simples ($x$), Cartão Multiviagens de 10 viagens ($y$) e Passe Mensal Jovem ($z$), todos medidos em milhares de viagens.

O sistema técnico de controle fornece os seguintes dados:

1. O volume conjunto de viagens registradas entre as três modalidades foi de $100$ mil viagens.

2. O número de viagens realizadas com Passe Mensal Jovem superou em $20$ mil a soma das viagens com Bilhete Simples e Cartão Multiviagens.

3. As viagens validadas com Cartão Multiviagens foram exatamente o triplo das efetuadas com Bilhete Simples.

Por outro lado, a auditoria de contas audita as receitas: o Bilhete Simples custa $1,50$ reais, cada viagem de Cartão Multiviagens representa uma receita de $0,80$ reais e cada viagem com Passe Jovem computa uma receita média de $0,50$ reais. O relatório do auditor sustenta que a receita total foi de $68$ mil reais e suspeita de uma discrepância nos dados.

1. a) Formule um sistema de 4 equações lineares com 3 incógnitas ($x, y, z$) que reúna toda a informação disponível.
2. b) Escreva a matriz aumentada do sistema (de dimensões $4 \times 4$) e aplique o método de Gauss para escaloná-la completamente.
3. c) A partir dos postos obtidos por Gauss para a matriz de coeficientes e para a matriz aumentada, determine se o relatório do auditor é compatível ou incompatível com as validações registradas. Se existir incompatibilidade, calcule qual deveria ter sido a receita real exata para que os dados fossem consistentes.

Para resolver o seguinte sistema de equações lineares:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + y + z = 4 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}$$

propõem-se dois caminhos baseados em transformações de linhas:

• Caminho A (Gauss clássico): Reordenar as linhas para escolher um pivô ótimo, triangular a matriz aumentada fazendo zeros abaixo da diagonal principal e determinar a solução por substituição regressiva.

• Caminho B (Gauss-Jordan): Reordenar as linhas e continuar as operações de linha até fazer zeros também acima da diagonal principal, transformando a matriz de coeficientes na identidade para ler a solução diretamente.

1. a) Justifique que a troca de linhas é conveniente antes de começar a operar para evitar trabalhar com frações e compare ambos os caminhos: quantas operações de anulação de elementos o Caminho B realiza que não são realizadas no Caminho A? Em que situação prática compensa assumir o custo adicional de Gauss-Jordan em comparação com o Gauss clássico?
2. b) Aplique o Caminho A: mostre passo a passo a matriz aumentada em cada etapa do escalonamento e calcule a solução final por substituição regressiva.
3. c) Se o vetor de termos independentes do sistema fosse substituído por $(0, 0, 0)$, explique, sem resolvê-lo, se seria necessário realizar todo o processo de Gauss para classificá-lo e encontrar pelo menos uma solução.

Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

1. a) Discuta o sistema utilizando o método de Gauss segundo os diferentes valores de $k$.
2. b) No caso em que o sistema seja possível e indeterminado, determine a solução geral e encontre uma solução particular tal que a soma de suas componentes seja igual a 1.
3. c) Existe algum valor de $k$ para o qual o sistema represente três planos que se intersectam em uma reta? Justifique a resposta.

Um laboratório de engenharia aeroespacial está projetando uma nova liga utilizando três metais: Titânio ($x$), Alumínio ($y$) e Vanádio ($z$). As proporções de massa devem satisfazer o seguinte sistema, onde $\alpha$ e $\beta$ são parâmetros que dependem da temperatura de fusão:

$\begin{cases} x + y + z = \alpha \\ \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = \beta \end{cases}$

1. a) Discuta a compatibilidade do sistema em função dos valores de $\alpha$ e $\beta$.
2. b) Se $\alpha = -1$, qual valor $\beta$ deve ter para que o sistema seja compatível? Resolva-o nesse caso por meio do método de Gauss.
3. c) Interprete os resultados obtidos se o sistema fosse incompatível do ponto de vista da fabricação da liga.

Uma empresa de fintech utiliza um algoritmo para equilibrar três carteiras de investimento. O fluxo de capital entre elas é definido pelo sistema:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 5y + 4z = -1 \\ x + 3y + az = b \end{cases}$

1. a) Aplique o método de Gauss para obter uma matriz escalonada e discuta o sistema segundo os valores de $a$ e $b$.
2. b) Determine os valores de $a$ e $b$ para que as carteiras não tenham um ponto de equilíbrio comum (sistema incompatível).
3. c) Se $a = 1$ e $b = -3$, o sistema é possível e indeterminado. Encontre a solução que minimiza o valor de $x^2$.

Estude o seguinte sistema de 4 equações com 3 incógnitas pelo método de Gauss:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$

1. a) Determine para qual valor de $a$ o sistema é compatível.
2. b) Para esse valor de $a$, resolva o sistema e indique se a solução é única.
3. c) Qual é a posição relativa dos quatro planos definidos pelas equações quando o sistema é compatível?

Seja o sistema homogêneo dependente do parâmetro $m$:

$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ 2x + y + mz = 0 \end{cases}$

1. a) Utilize o método de Gauss para encontrar os valores de $m$ para os quais o sistema admite soluções distintas da trivial $(0,0,0)$.
2. b) Para o valor inteiro de $m$ encontrado no item anterior, resolva o sistema e obtenha a expressão paramétrica da solução.
3. c) Dê uma solução particular distinta da trivial em que as incógnitas sejam números inteiros.

Em uma rede elétrica inteligente, as intensidades de corrente $I_1, I_2, I_3$ e $I_4$ em quatro nós cumprem as seguintes leis de Kirchhoff, escalonadas por um fator de resistência $R$:

$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$

1. a) Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Jordan (obtendo o número máximo de zeros possível na matriz).
2. b) O sistema é compatível determinado? Justifique se é possível eliminar uma das medições sem perder informação sobre as intensidades.

Deseja-se construir um sistema de três equações com três incógnitas que cumpra simultaneamente:

1. Seja possível e indeterminado.

2. Uma das suas soluções seja $(1, 0, 2)$.

3. Ao aplicar o método de Gauss, a última linha da matriz escalonada seja nula.

1. a) Proponha um sistema original que cumpra estas condições.
2. b) Explique passo a passo o processo de "escalonamento" do sistema proposto para demonstrar que, de fato, é possível e indeterminado.

Considere o sistema de equações:

$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$

1. a) Discuta o sistema para os diferentes valores de $a$ real.

1. b) Se $a = 1$, descreva geometricamente a solução.

1. c) Se $a = -2$, demonstre mediante Gauss que o sistema é incompatível. Que configuração geométrica os três planos formam neste caso? Justifique a sua resposta com as posições relativas dos planos (por exemplo, estudando seus vetores normais) e ajude-se de um esquema feito por você.

Modele um sistema de três equações lineares com três incógnitas ($x, y, z$) que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. Nenhum dos coeficientes das três incógnitas na primeira equação pode ser igual a 0, e o seu termo independente deve ser $2$.

2. Ao aplicar o método de Gauss sobre a matriz aumentada $(A|B)$, utilizando o coeficiente $a_{11}$ como primeiro pivô para anular a primeira coluna, a segunda linha resultante deve ser exatamente $(0, 1, -2 \mid 1)$.

3. O sistema deve ser possível e indeterminado com um grau de liberdade (característica 2), de modo a representar geometricamente três planos que se intersectam em uma reta $r$.

4. A reta solução $r$ deve ter como vetor diretor $\vec{v} = (3, 2, 1)$.

1. a) Deduza fundamentadamente os coeficientes da primeira equação a partir da ortogonalidade entre o vetor normal do plano e a direção de $\vec{v}$, respeitando as restrições numéricas impostas.
2. b) Construa as outras duas equações originais do sistema de modo que, ao aplicar as operações elementares de Gauss, se obtenha na segunda linha o resultado indicado e a terceira linha se anule por completo.
3. c) Escreva a matriz aumentada inicial do sistema que você formulou, aplique o método de Gauss passo a passo para verificar que se alcançam as linhas exigidas e obtenha as equações paramétricas da reta solução, comprovando que o seu vetor diretor coincide com $\vec{v}$.

Considera-se o sistema de equações dependente do parâmetro real $a$:

$$\begin{cases} x + a y + z = 1 \\ a x + y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}$$

Para discutir o sistema por meio do método de Gauss, o Marcos escreve a matriz aumentada e realiza as seguintes operações elementares:

$$\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ a & 1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & a & | & a^2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_2 \leftarrow F_2 - a F_1 \\ F_3 \leftarrow F_3 - F_1}} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 - a^2 & 1 - a & | & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & a^2 - 1 \end{pmatrix}$$

Em seguida, o Marcos percebe que na segunda e na terceira linha se pode colocar em evidência o fator $(1 - a)$, e efetua:

$$F_2 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_2, \quad F_3 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_3 \implies \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 + a & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -(a + 1) \end{pmatrix}$$

Depois disso, troca $F_2 \leftrightarrow F_3$, elimina a incógnita na última linha e conclui: «O único valor singular é $a = -2$, em que o último pivô se anula; para $a = 1$ não há nenhum inconveniente porque a linha foi simplificada e o sistema é possível e determinado».

1. a) Localize e argumente os dois erros conceituais cometidos pelo Marcos na utilização do método de Gauss com parâmetros (um relativo à validade algébrica da operação realizada e outro à conclusão obtida para $a = 1$).
2. b) Explique por que dividir uma linha por uma expressão que depende de um parâmetro pode destruir a equivalência de sistemas e que efeito isso produz sobre as soluções.
3. c) Realize a discussão correta e completa do sistema por meio do método de Gauss, escalonando a matriz sem dividir por fatores que contenham o parâmetro (ou distinguindo os casos prévios pertinentes), determinando $\operatorname{rg}(A)$ e $\operatorname{rg}(A^*)$ para cada $a \in \mathbb{R}$.
4. d) Para o caso $a = 1$, encontre a solução a partir da matriz escalonada correta e interprete geometricamente a posição relativa dos três planos originais.