Exercícios: Equações da reta no plano

Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto $A(3, -2)$ e tem como vetor diretor $\vec{v} = (-1, 4)$.

Dada a reta em equações paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, expresse-a na forma simétrica e na forma geral.

Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta cuja equação geral é $4x - 2y + 8 = 0$.

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $P(-1, 5)$ e $Q(2, -1)$.

Verifique se os pontos $M(4, -3)$ e $N(1, 2)$ pertencem à reta de equação contínua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Determine a equação reduzida da reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e tem coeficiente angular $m = -\frac{3}{5}$.

Escreva as equações implícitas da reta horizontal que passa pelo ponto $H(-7, 4)$ e da reta vertical que passa pelo ponto $V(3, -9)$.

Dada a equação geral $5x + 7y - 11 = 0$, indique um vetor diretor, um vetor normal e um ponto pelo qual a reta passa.

Em uma prova de Matemática, o Alejandro deve escrever a equação contínua da reta que passa pelo ponto $A(-3, 5)$ e tem vetor diretor $\vec{v} = (2, -4)$. Na folha dele, está escrito:

Ao corrigir, a professora dele assinala que a resposta contém um erro conceitual muito comum.

1. a) Identifique com precisão os dois erros de sinal que o Alejandro cometeu nos numeradores da expressão.
2. b) Explique a origem desse erro deduzindo a equação contínua passo a passo a partir das equações paramétricas: escreva primeiro $x = a_1 + t\cdot v_1$ e $y = a_2 + t\cdot v_2$ com os dados do enunciado e isole o parâmetro $t$ em cada uma para demonstrar por que os sinais devem ser os opostos aos que o Alejandro colocou.
3. c) Escreva a equação contínua correta e, a partir dela, obtenha a equação geral da reta simplificando ao máximo os coeficientes inteiros.

Desenhe a trajetória retilínea de um robô de transporte em um centro logístico cumprindo as seguintes especificações:

1. a) Escreva equações paramétricas de uma reta que passe pelo ponto $P(4, -1)$ e cujo coeficiente angular seja exatamente $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) A partir dos dados anteriores, escreva diretamente a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular tomando como referência o ponto $P$.
3. c) Uma colega afirma que outra resposta válida para as equações paramétricas da mesma reta é $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Verifique se o ponto que ela usou como base pertence à reta e se o vetor diretor dela é colinear com o seu. Conclua argumentando por que as equações paramétricas de uma reta não são únicas e quais elementos podem variar representando geometricamente a mesma reta.

Um drone de vigilância se desloca em linha reta e com velocidade constante a partir do ponto $A(10, 20)$ até o ponto $B(50, 80)$, estando as coordenadas medidas em metros. Escreva as equações paramétricas da trajetória dele e indique quais serão as coordenadas dele quando tiver percorrido exatamente a metade do trajeto.

O custo de produção de um componente eletrônico segue um modelo linear. Fabricar $100$ unidades custa $450$ reais, e fabricar $250$ unidades custa $825$ reais. Determine a equação reduzida que relaciona o custo $y$ com o número de unidades $x$, e calcule o custo fixo de produção (o custo quando são fabricadas $0$ unidades).

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $3x - ky + 5 = 0$ passe pelo ponto $P(-2, 1)$. Uma vez encontrado $k$, escreva a equação da reta na forma contínua.

No projeto de uma ponte pênsil, um dos cabos tensores de aço deve unir o ponto de ancoragem $P(0, 15)$ à base $Q(40, 0)$ (coordenadas em metros). Determine a equação geral da reta que define o cabo e determine a que altura ele se encontra quando a distância horizontal a partir do eixo $Y$ é de $16$ metros.

Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto $A(-4, 6)$ e é paralela à reta que une os pontos $B(1, 1)$ e $C(3, -5)$.

Uma tubulação subterrânea segue a trajetória dada pelas equações paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (em km). Determine em quais pontos exatos a tubulação cruza os eixos coordenados.

Calcule a área do triângulo que a reta $2x + 5y - 20 = 0$ forma com os eixos coordenados cartesianos.

Expresse a reta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ na forma vetorial e encontre três pontos distintos que pertençam a ela, onde pelo menos um tenha abscissa negativa.

Considere a reta $r$ que passa pelos pontos $A(-2, 7)$ e $B(4, -5)$.

1. a) Antes de calcular qualquer equação analítica:

• Observe como variam as coordenadas ao passar de $A$ para $B$ e estime o sinal do coeficiente angular (a reta sobe ou desce da esquerda para a direita?).

• Sabendo que o ponto $A$ tem $x = -2$ com $y = 7$ e o ponto $B$ tem $x = 4$ com $y = -5$, estime de forma fundamentada se o coeficiente linear $n$ (a interseção com o eixo $Y$, onde $x = 0$) será positivo ou negativo, e se o seu valor estará mais perto de $7$ ou de $-5$.

1. b) Escreva a equação contínua da reta $r$ e transforme-a por meio de passos algébricos claros até obter a sua equação reduzida $y = mx + n$.
2. c) A partir da equação reduzida, calcule as coordenadas exatas dos pontos de interseção com o eixo das ordenadas ($x = 0$) e com o eixo das abscissas ($y = 0$). Verifique se o valor do coeficiente linear coincide com a sua estimativa inicial e justifique geometricamente por que esse valor fica a essa altura.

Deseja-se determinar a equação geral da reta $s$ que passa pelo ponto $P(-3, 2)$ e é perpendicular à reta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Dois alunos propõem estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Isolar $y$ na reta $r$ para determinar o seu coeficiente angular $m_r$; calcular o coeficiente angular perpendicular $m_s = -\frac{1}{m_r}$; escrever a equação na forma ponto-coeficiente angular com $P(-3, 2)$ e, finalmente, eliminar os denominadores e transpor termos para chegar à equação geral.

• Método da Irene: Obter diretamente dos coeficientes de $r$ o seu vetor normal $\vec{n}_r = (2, -5)$; deduzir que esse vetor é um vetor diretor da reta perpendicular $s$; extrair daí um vetor normal para $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; e formular a equação $5x + 2y + C = 0$, calculando $C$ ao substituir as coordenadas de $P$.

1. a) Compare os dois caminhos analisando suas vantagens e desvantagens: número de passos, aparecimento de frações intermediárias e probabilidade de cometer erros operatórios com os sinais.
2. b) Justifique qual dos dois métodos é mais eficiente e direto para este exercício.
3. c) Aplique o método que você escolheu como preferível para determinar a equação geral de $s$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a reta dada na forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente a mesma reta que a equação geral $4x + 3y - 10 = 0$.

Um raio laser parte do ponto $A(2, 5)$, incide sobre um espelho plano situado ao longo do eixo das abscissas, reflete-se e passa pelo ponto $B(8, 3)$. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, determine as equações das retas que contêm o raio incidente e o raio refletido, e o ponto exato de reflexão no espelho.

Os lados de um triângulo estão contidos nas retas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ e $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcule as coordenadas dos seus três vértices e decida, calculando os comprimentos dos seus lados, que tipo de triângulo é esse.

Demonstre que se uma reta intersecta os eixos coordenados nos pontos $(a, 0)$ e $(0, b)$, com $a \neq 0$ e $b \neq 0$, sua equação pode ser escrita na forma segmentária $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utilize este resultado para determinar a equação de uma reta que forma com os eixos cartesianos um triângulo de área $12 \text{ u}^2$ sabendo que $a = 2b$ e que ambas as interseções com os eixos são positivas.

Dois aviões se movem no plano de um radar. O avião $A$ segue a trajetória $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, e o avião $B$ segue a trajetória $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (onde $t$ é o tempo em minutos e as coordenadas estão em km). Determine o ponto exato onde as trajetórias deles se cruzam e verifique se os aviões chegam a colidir (ou seja, se passam por esse ponto no mesmo instante $t$).

Determine a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas $r: 2x - y + 5 = 0$ e $s: x + 3y - 1 = 0$, e que forma com os semieixos negativos de coordenadas um triângulo isósceles.

Dado o ponto $P(3, 4)$ e a reta $r: 2x + y - 5 = 0$, determine as coordenadas de um ponto $Q$ situado sobre o eixo das ordenadas de modo que a reta que une $P$ e $Q$ tenha o mesmo coeficiente linear que a reta $r$.

Considere o feixe de retas determinado pela equação $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Determine o centro do feixe (o ponto pelo qual passam todas as retas, independentemente do valor de $k$) e determine o valor de $k$ para o qual a reta do feixe tem um coeficiente angular de $\frac{3}{5}$.

Num estudo meteorológico do INMET no Parque Nacional da Serra do Cipó (Minas Gerais), analisa-se a variação da temperatura com a altitude durante um dia de inverno com alta pressão. Na estação de Pradollano (cota $x_1 = 2100\text{ m}$) mede-se ao meio-dia uma temperatura de $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, enquanto na estação próxima do cume do Veleta (cota $x_2 = 3100\text{ m}$) o termômetro marca simultaneamente $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. Assume-se um comportamento linear entre a altitude $x$ (em metros) e a temperatura $y$ (em $^\circ\text{C}$).

1. a) Escreva a equação contínua que modela essa relação linear, tomando como ponto de referência Pradollano e um vetor diretor cujas componentes reflitam a variação de temperatura a cada $1000\text{ m}$ de subida.
2. b) Transforme essa equação para a forma reduzida $y = mx + n$. Interprete com rigor físico o significado do coeficiente angular $m$ (gradiente térmico vertical) e do coeficiente linear $n$. O valor numérico de $n$ faz sentido físico se comparado com uma temperatura verossímil ao nível do mar ($x = 0$) no litoral do Nordeste brasileiro?
3. c) Utilize o modelo linear para calcular a altitude da cota de neve (isoterma de zero grau: altitude em que a temperatura desce até os $0\ ^\circ\text{C}$). A partir desse dado, justifique se um alpinista que atinja o cume do Mulhacén ($3479\text{ m}$) registrará temperaturas positivas ou negativas nesse mesmo instante.

Uma reta $r$ de coeficiente angular negativo passa pelo ponto $A(2, 3)$ e intersecta a parte positiva dos eixos coordenados nos pontos $P(p, 0)$ e $Q(0, q)$, determinando com a origem das coordenadas um triângulo retângulo situado no primeiro quadrante cuja área mede exatamente $12\text{ u}^2$.

1. a) Deduza passo a passo que a equação contínua da reta que passa por $(p, 0)$ e $(0, q)$ pode ser reescrita na forma segmentária $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sabendo que o ponto $A(2, 3)$ pertence à reta e que a área do triângulo é $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, formule um sistema de duas equações algébricas com incógnitas $p$ e $q$.
3. c) Resolva o sistema e demonstre que existe unicamente um par de valores reais $(p, q)$ que cumpre ambas as condições simultaneamente. Com esses valores, escreva a equação geral da reta.
4. d) Analise algebricamente por que razão o discriminante da equação do segundo grau que surge ao resolver o sistema resulta ser exatamente zero para uma área de $12\text{ u}^2$, e interprete geometricamente o que aconteceria com a existência de retas que passem por $A(2,3)$ se tivéssemos exigido que a área do triângulo fosse menor, por exemplo de $10\text{ u}^2$.