Exercícios: Eventos simples

Escreva o espaço amostral associado ao experimento aleatório que consiste em retirar uma bola de uma urna que contém $5$ bolas numeradas do $1$ ao $5$.

Em uma caixa de ferramentas há $12$ parafusos, $8$ porcas e $5$ pregos. Se for retirada uma peça ao acaso, calcule a probabilidade de ser uma porca.

Lança-se um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de $1$ a $6$. Determine os elementos que formam o evento complementar de "obter um número menor que $3$" e calcule a sua probabilidade.

De um baralho de $40$ cartas, retira-se uma carta ao acaso. Calcule a probabilidade de obter um cavalo.

No experimento de lançar um dado de $6$ faces, classifique os seguintes eventos em elementares, compostos, certos ou impossíveis:

• $A = $ "obter um $4$"

• $B = $ "obter um número maior que $6$"

• $C = $ "obter um número par"

• $D = $ "obter um número menor que $10$"

Considere o experimento de retirar uma carta de um baralho de $40$ cartas. Indique se os eventos $A = $ "retirar uma figura" e $B = $ "retirar um ouro" são compatíveis ou incompatíveis. Justifique a sua resposta.

Dado o espaço amostral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ e os eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determine os elementos que formam os eventos $A \cup B$ e $A \cap B$.

Uma roleta de feira está dividida em $8$ setores circulares iguais, numerados do $1$ ao $8$. Calcule a probabilidade de, ao girá-la, a seta parar em um número múltiplo de $3$.

O Marcos lança simultaneamente duas moedas equilibradas de $1$ real e afirma o seguinte: «O espaço amostral desta experiência é $E = \{ \text{duas caras}, \text{uma cara e uma coroa}, \text{duas coroas} \}$. Como há $3$ casos possíveis e apenas um deles é "obter uma cara e uma coroa", a regra de Laplace indica que a probabilidade de obter uma cara e uma coroa é $\frac{1}{3}$». a) Explique de forma fundamentada qual é o erro conceitual do Marcos e por que não é legítimo aplicar a regra de Laplace sobre o espaço amostral que ele propôs. b) Escreva o espaço amostral correto, formado por eventos elementares equiprováveis, e calcule a probabilidade real do evento analisado pelo Marcos.

Em um baralho espanhol de $40$ cartas (dividido em $4$ naipes de $10$ cartas cada um: ouros, copas, espadas e paus, numeradas de $1$ a $7$ mais valete, cavalo e rei), retira-se uma carta ao acaso. Considere o evento $A$: «retirar uma carta que seja uma figura (valete, cavalo ou rei) ou que tenha um número primo ($2$, $3$, $5$ ou $7$)». a) Antes de calcular, estime de forma fundamentada se $P(A)$ será maior, menor ou igual a $0,5$, analisando quantas cartas de um único naipe cumprem pelo menos uma das duas condições. b) Verifique sua estimativa calculando o valor exato de $P(A)$ por meio da regra de Laplace (expresse o resultado em forma de fração irredutível e em número decimal) e determine se a sua previsão inicial foi correta.

Lançam-se simultaneamente dois dados cúbicos equilibrados e anota-se a soma dos pontos obtidos nas faces superiores. Calcule a probabilidade de a soma ser exatamente $8$.

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, um controle de qualidade inspeciona um lote de $500$ peças. Após a revisão, foram encontradas $15$ peças defeituosas. Se um cliente escolher uma peça ao acaso desse lote, qual é a probabilidade de ela funcionar corretamente?

Sabendo que a probabilidade de ocorrer um evento $A$ é $P(A) = \frac{9}{20}$, a probabilidade de ocorrer um evento $B$ é $P(B) = \frac{3}{10}$ e a probabilidade de ocorrerem ambos ao mesmo tempo é $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcule a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos dois eventos.

Colocam-se em uma urna fichas com cada uma das letras da palavra $ESPECTACULO$. Se uma ficha for retirada ao acaso, calcule a probabilidade de a letra retirada ser uma vogal ou a letra $C$.

Um jogador de basquete lançou $80$ lances livres durante a temporada, acertando $64$ deles. Utilizando a frequência relativa como estimativa da probabilidade, qual é a probabilidade de ele errar o próximo lance livre?

Em uma turma de $30$ alunos, $18$ praticam natação, $15$ praticam tênis e $5$ não praticam nenhum dos dois esportes. Se for escolhido um aluno ao acaso, calcule a probabilidade de ele praticar ambos os esportes simultaneamente.

Em um abrigo de animais, $40\%$ dos cães são de porte grande, $35\%$ são de porte médio e o restante é de porte pequeno. Se for selecionado um cão ao acaso para um passeio, calcule a probabilidade de ele não ser de porte médio.

Três moedas equilibradas são lançadas ao mesmo tempo. Descreva o espaço amostral e calcule a probabilidade de obter exatamente duas caras.

Você está desenhando uma roleta circular para uma feira escolar dividida em setores contínuos de três cores: vermelho, azul e verde. Para ajustar os prêmios do jogo, o desenho deve verificar as seguintes condições: 1) A probabilidade de a roleta não parar na cor verde é exatamente $\frac{7}{10}$. 2) O evento «obter vermelho» tem uma probabilidade que supera em $0,1$ a do evento «obter azul». Determine a probabilidade de cada uma das três cores (eventos elementares) e calcule o ângulo em graus que deve abranger o setor de cada cor no círculo completo de $360^\circ$. Justifique os seus passos utilizando a propriedade do evento contrário e da união de eventos incompatíveis.

Numa escola secundária, a direção de turma analisa a matrícula dos $120$ estudantes do 4.º ano do ESO nas disciplinas de opção de modalidade. Os dados oficiais mostram que $72$ alunos frequentam Biologia e Geologia, $48$ frequentam Física e Química, e $24$ frequentam ambas as disciplinas em simultâneo. Se for selecionado ao acaso um estudante do 4.º ano do ESO desta escola: a) Modela a situação definindo os acontecimentos elementares e calcula as probabilidades $P(B)$, $P(F)$ e $P(B \cap F)$. b) Aplica a fórmula da probabilidade da união para calcular a probabilidade de o estudante frequentar pelo menos uma das duas disciplinas. c) Recorrendo ao acontecimento contrário, calcula a probabilidade de não frequentar nenhuma das duas disciplinas.

Em uma urna há $x$ bolas vermelhas e $6$ bolas brancas. Sabendo que a probabilidade de retirar uma bola vermelha ao acaso é $\frac{2}{5}$, elabore uma equação e determine o número total de bolas que há na urna.

Um alvo circular é formado por três círculos concêntricos de raios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ e $30\text{ cm}$. Se um dardo atingir ao acaso qualquer ponto do alvo (garantindo que sempre acerta dentro do círculo maior), calcule a probabilidade de cair na coroa circular intermediária (a região compreendida entre o raio de $10\text{ cm}$ e o de $20\text{ cm}$).

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ e $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando as propriedades da probabilidade, calcule a probabilidade do evento complementar da interseção, ou seja, $P(\overline{A \cap B})$.

Para acessar um cofre, deve-se digitar um código numérico de $3$ algarismos (do $000$ até o $999$). Um ladrão, que não conhece a senha, tenta um número ao acaso. Calcule a probabilidade de o código digitado ter os três algarismos idênticos.

Em um sorteio, retira-se uma bola de um globo que contém $100$ bolas numeradas do $1$ ao $100$. Calcule a probabilidade de o número da bola retirada conter pelo menos um dígito $7$.

Uma pesquisa realizada com $200$ clientes de uma cafeteria revela que $120$ tomam café, $90$ comem torradas e $40$ não consomem nenhuma das duas coisas. Se um cliente for escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de ele tomar café, mas NÃO comer torradas.

Um dado de seis faces é viciado de modo que a probabilidade de sair uma face par é o dobro da probabilidade de sair uma face ímpar. Sabendo que todas as faces pares têm a mesma probabilidade entre si, e o mesmo ocorre com as faces ímpares, calcule a probabilidade exata de obter um $6$.

Têm-se dois eventos $A$ e $B$ incompatíveis de um mesmo experimento aleatório. Sabendo que a probabilidade de não ocorrer $A$ é $P(\overline{A}) = 0,7$ e a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos dois é $P(A \cup B) = 0,8$, calcule a probabilidade de ocorrer o evento $B$.

Lançam-se simultaneamente três dados cúbicos equilibrados com faces numeradas de $1$ a $6$. Deseja-se calcular a probabilidade do evento $A$: «obter pelo menos um $5$ no lançamento». Dois estudantes debatem qual caminho seguir: a Estratégia 1 (método direto) consiste em decompor $A$ na soma de três eventos incompatíveis («exatamente um $5$», «exatamente dois $5$» e «três cincos») e somar suas probabilidades; a Estratégia 2 (evento complementar) consiste em calcular a probabilidade de $\bar{A}$ («não obter nenhum $5$ em nenhum dos três dados») e aplicar $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. a) Desenvolva completamente ambos os métodos até obter o resultado em forma de fração irredutível, verificando que coincidem. b) Justifique qual das duas estratégias é mais eficiente e explique como a escolha do método seria afetada se o experimento consistisse em lançar $8$ dados equilibrados em vez de $3$.

Numa aula de Matemática, analisa-se um experimento aleatório com dois eventos, $A$ e $B$, de um mesmo espaço amostral, cujas probabilidades são $P(A) = 0,65$ e $P(B) = 0,55$. A Ana afirma: 1) «Os eventos $A$ e $B$ podem ser incompatíveis se planejarmos bem o experimento». 2) «O valor mínimo possível para a probabilidade da interseção $P(A \cap B)$ é $0$». 3) «A probabilidade da união $P(A \cup B)$ poderia ser $1,2$ se somarmos as suas probabilidades». a) Refute de forma fundamentada as três afirmações da Ana aplicando os axiomas e propriedades da probabilidade ($P(A \cup B) \le 1$ e a fórmula da união). b) Deduza o intervalo exato $[p_{\min}, p_{\max}]$ no qual necessariamente deve estar $P(A \cap B)$. c) Elabore um exemplo concreto por meio de uma urna com $20$ bolas numeradas de $1$ a $20$ em que se cumpram exatamente $P(A) = 0,65$ e $P(B) = 0,55$ e se atinja o valor mínimo $p_{\min}$ da interseção.