Exercícios: Independência

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório. Sabe-se que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Determine analiticamente se os eventos $A$ e $B$ são independentes.

Em um experimento aleatório, os eventos $C$ e $D$ são independentes. Se $P(C) = 0,6$ e $P(D) = 0,3$, calcule a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos ao mesmo tempo, ou seja, determine $P(C \cap D)$.

Os eventos $E$ e $F$ são independentes. Sabendo que a probabilidade da interseção deles é $P(E \cap F) = 0,15$ e que $P(E) = 0,3$, determine a probabilidade do evento $F$.

Sabe-se que a probabilidade de ocorrer o evento $G$ é $P(G) = 0,7$ e a probabilidade de ocorrer o evento $H$ sabendo que ocorreu $G$ é $P(H|G) = 0,4$. Se $G$ e $H$ são independentes, qual é o valor de $P(H)$?

Lança-se uma moeda equilibrada duas vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de obter "cara" no primeiro lançamento e "coroa" no segundo, assumindo que os lançamentos são eventos independentes.

De um baralho espanhol de $40$ cartas, retira-se uma carta, anota-se o naipe, devolve-se ao baralho, embaralha-se e retira-se uma segunda carta. Calcule a probabilidade de as duas cartas retiradas serem do naipe de "ouros".

Observe o seguinte diagrama de árvore que modela dois experimentos independentes. Calcule a probabilidade de ocorrer o evento $\overline{A}$ na primeira etapa e o evento $B$ na segunda etapa.

Dois eventos $M$ e $N$ são incompatíveis (mutuamente exclusivos) e têm probabilidades estritamente maiores que zero. Podem ser independentes? Justifique a sua resposta utilizando a definição matemática de independência.

O Marcos está revendo probabilidades para a prova e se depara com dois eventos, $A$ e $B$, tais que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0$. No caderno dele está escrito: «Como a probabilidade da interseção é zero, significa que os dois eventos não têm nada a ver um com o outro e, portanto, são independentes». Explique detalhadamente qual é o erro conceitual do Marcos, demonstre analiticamente se esses eventos são ou não independentes calculando $P(A) \cdot P(B)$ e enuncie a regra geral sobre a relação entre eventos incompatíveis com probabilidades positivas e independência.

Um ciclista percorre diariamente uma avenida na qual deve atravessar dois semáforos cujos ciclos estão regulados de forma totalmente independente. A probabilidade de encontrar o primeiro semáforo verde é $P(S_1) = 0,7$ e a de encontrar o segundo verde é $P(S_2) = 0,6$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo, estime de forma fundamentada: a probabilidade de passar por pelo menos um dos dois semáforos verde ($P(S_1 \cup S_2)$) será maior que $0,7$, menor que $0,6$ ou estará compreendida entre $0,6$ e $0,7$? Por quê?
2. b) Utilize a fórmula da união para eventos independentes para calcular o valor exato de $P(S_1 \cup S_2)$ e verifique se a sua estimativa inicial estava correta, interpretando o resultado.

Em uma competição de tiro com arco, a arqueira Alpha tem uma probabilidade de $0,8$ de acertar o centro do alvo, enquanto o arqueiro Beta tem uma probabilidade de $0,7$. Se ambos dispararem uma flecha de forma completamente independente, calcule a probabilidade de ambos acertarem o centro do alvo.

Duas máquinas, $M_1$ e $M_2$, embalam produtos lácteos em uma fábrica e funcionam de maneira independente. A probabilidade de a máquina $M_1$ sofrer uma pane em um dia de produção é $0,05$, e a da máquina $M_2$ é $0,08$. Calcule a probabilidade de, em um determinado dia, pelo menos uma das duas máquinas sofrer uma pane.

Em uma cidade litorânea, a probabilidade de chover em um sábado é de $40\%$, e a probabilidade de chover em um domingo é de $30\%$. Supondo que o tempo do domingo seja independente do tempo do sábado, determine a probabilidade de chover durante o fim de semana (ou seja, que chova no sábado, no domingo ou em ambos os dias).

Em um estudo estatístico sobre hábitos de leitura, foram entrevistadas $200$ pessoas. Os resultados mostram que $120$ leem habitualmente e $80$ não o fazem. Além disso, $90$ dos entrevistados têm curso superior, dos quais $54$ leem habitualmente. Verifique matematicamente se os eventos "ler habitualmente" e "ter curso superior" são independentes nesta amostra.

Há duas urnas com a composição mostrada na figura. Retira-se ao acaso uma bola da urna $A$ e, de forma independente, outra bola da urna $B$. Calcule a probabilidade de as duas bolas retiradas serem da mesma cor.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos independentes associados a um experimento aleatório. Sabe-se que a probabilidade da união é $P(A \cup B) = 0,88$ e a probabilidade de $A$ é $P(A) = 0,6$. Calcule a probabilidade do evento $B$.

Em um hospital, um paciente se submete a dois testes diagnósticos independentes para detectar uma alergia respiratória. O teste $X$ dá um falso negativo (não detecta a alergia quando o paciente tem a doença) com uma probabilidade de $0,15$. O teste $Y$ dá um falso negativo com uma probabilidade de $0,10$. Se o paciente analisado for realmente alérgico, qual é a probabilidade de nenhum dos dois testes detectar a alergia dele?

Um estudante precisa fazer uma prova do tipo teste. A probabilidade de ele saber a resposta correta de uma pergunta de História é $0,7$, e a probabilidade de ele saber a resposta de uma de Geografia é $0,8$. Se for feita uma pergunta de cada matéria e os conhecimentos dele sobre elas forem independentes, qual é a probabilidade de ele saber responder exatamente a uma das duas perguntas?

Numa residência está instalado um sistema de segurança redundante com dois sensores independentes, $A$ e $B$. O fabricante garante que o sensor $A$ tem uma probabilidade de detectar um intruso de $P(A) = 0,8$. As normas de segurança exigem que a probabilidade total de o alarme disparar (ou seja, de que pelo menos um dos dois sensores seja ativado, $P(A \cup B)$) seja exatamente $0,96$. Sabendo que ambos os dispositivos operam de forma independente, formule a equação correspondente a partir da fórmula da união e determine que probabilidade de detecção $P(B)$ o sensor $B$ deve ter, no mínimo, para cumprir a referida norma.

A partir dos registros históricos de uma estação meteorológica do sul do Brasil coletados por um órgão de meteorologia durante o outono, estima-se que num dia qualquer a probabilidade de chuva é $P(L) = 0,60$ e a probabilidade de registrar rajadas de vento forte é $P(V) = 0,40$. Além disso, os dados revelam que chove e faz vento forte simultaneamente em $30\,\%$ dos dias ($P(L \cap V) = 0,30$).

1. a) Determine de forma rigorosa, mediante a definição matemática, se os eventos «chover» e «fazer vento forte» são estatisticamente independentes na referida região.
2. b) Um vizinho afirma: «Como no outono as tempestades trazem vento e chuva juntos, os dois fenômenos não podem ser independentes». Explique se o resultado numérico obtido no item anterior apoia a afirmação do vizinho, comparando a sobreposição real com a que se esperaria se fossem independentes.

Um sistema de segurança bancária de alta tecnologia consiste em três sensores de movimento que operam de forma totalmente independente. As probabilidades de cada sensor detectar um intruso que entra no cofre são $0,90$, $0,85$ e $0,95$, respectivamente. Calcule a probabilidade de o sistema detectar um intruso (ou seja, de pelo menos um sensor ser ativado).

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um mesmo espaço amostral tais que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,8$. Demonstre analiticamente que os eventos $A$ e $B$ não são independentes e, em seguida, calcule a probabilidade condicional $P(A|B)$.

Um circuito eletrônico para um satélite de comunicações é formado por três componentes $A$, $B$ e $C$ dispostos como mostra o diagrama. O circuito funciona corretamente se o componente $A$ funcionar E, além disso, funcionar pelo menos um dos componentes $B$ ou $C$. Os três componentes falham de forma independente com probabilidades $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ e $P(F_C) = 0,1$. Calcule a probabilidade de o circuito como um todo funcionar corretamente.

Em uma academia de idiomas, são oferecidas aulas de Francês e Alemão. $60\%$ dos alunos estudam Francês. Sabe-se que os eventos "estudar Francês" e "estudar Alemão" são totalmente independentes. Se a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não estudar nenhum dos dois idiomas é de $12\%$, determine qual porcentagem dos alunos da academia estuda Alemão.

Uma caixa contém $3$ fichas verdes (V) e $2$ fichas laranja (N). Serão realizadas duas retiradas consecutivas. Analise os diagramas de árvore correspondentes à realização do experimento com reposição (Painel A) e sem reposição (Painel B). Calcule a probabilidade de retirar uma ficha verde na segunda retirada em ambos os casos e explique matematicamente em qual dos dois cenários o resultado da segunda retirada é independente do resultado da primeira.

Demonstre analiticamente que, se dois eventos $A$ e $B$ são independentes, então seus eventos contrários $\overline{A}$ e $\overline{B}$ também são independentes. Utilize para isso as propriedades algébricas da probabilidade e a definição fundamental de independência.

Em um cruzamento genético mendeliano, a cor da semente (amarela dominante, verde recessiva) e a sua textura (lisa dominante, rugosa recessiva) são herdadas de forma absolutamente independente. Se forem cruzadas duas plantas heterozigotas para ambas as características, a probabilidade de herdar o alelo recessivo de cada progenitor para um único gene é de $0,5$. Calcule a probabilidade de que uma planta descendente escolhida ao acaso tenha sementes verdes e rugosas simultaneamente.

Duas amigas, Carmen e Daniela, lançam alternadamente um dado equilibrado de seis faces em um jogo. Ganha a partida a primeira jogadora que obtiver um $6$. Se Carmen tem o primeiro turno e lançam de forma independente, calcule a probabilidade exata de que Carmen ganhe o jogo em seu primeiro ou em seu segundo lançamento.

O serviço de informática de uma secretaria de educação dispõe de 4 servidores de reserva idênticos e independentes para gerenciar os pedidos de matrícula online. Durante o dia de abertura, a probabilidade de um servidor específico colapsar por sobrecarga é $p = 0,15$. O sistema geral permanece acessível desde que «pelo menos um dos quatro servidores continue operacional».

Para calcular a probabilidade de o sistema se manter acessível, dois técnicos propõem métodos distintos:

• Isabela sugere calcular separadamente e somar as probabilidades de funcionarem exatamente 1, exatamente 2, exatamente 3 e os 4 servidores.

• Carlos propõe calcular a probabilidade de falharem os 4 servidores simultaneamente e subtrair esse valor de $1$.

1. a) Compare de forma fundamentada ambos os métodos, explicando qual é mais vantajoso e por quê neste caso.
2. b) Aplique a estratégia mais eficiente para calcular a probabilidade exata (com quatro casas decimais) de o sistema de informática não cair.

Em um laboratório farmacêutico, avaliam-se dois testes analíticos independentes, $T_1$ e $T_2$, para identificar um composto químico em uma amostra. O teste $T_1$ tem uma probabilidade de detecção de $70\,\%$ ($P(T_1) = 0,7$), enquanto o teste $T_2$ tem uma probabilidade desconhecida $p = P(T_2)$.

O pesquisador Diego afirma em seu relatório preliminar: «Para conseguir que a probabilidade de detectar o composto com pelo menos um dos dois testes seja de $95\,\%$, basta que $T_2$ tenha uma probabilidade de detecção de $0,25$, já que $0,70 + 0,25 = 0,95$».

1. a) Localize e fundamente o erro conceitual que Diego comete ao ignorar a independência dos testes.
2. b) Formule a equação correta sob a condição de independência e isole o valor exato da probabilidade $p = P(T_2)$ de que realmente se precisa para atingir esses $95\,\%$ de eficácia combinada.
3. c) Se o fabricante do teste $T_2$ comercializa apenas uma versão padrão com $P(T_2) = 0,80$, calcule qual é a probabilidade real máxima de detecção combinada ($P(T_1 \cup T_2)$) que se pode atingir utilizando ambas as análises ao mesmo tempo.