Exercícios: Matriz transposta e inversa

Um analista de dados de um aplicativo de música organiza as reproduções semanais de três artistas (Artista 1, Artista 2 e Artista 3) em duas regiões distintas (Norte e Sul) por meio da matriz $A$. Cada linha corresponde a um artista e cada coluna a uma região, na ordem indicada. Os elementos $a_{ij}$ representam milhares de reproduções.

$$A = \begin{pmatrix} 45 & 12 \\ 30 & 58 \\ 10 & 25 \end{pmatrix}$$

Pede-se:

1. a) Indique a dimensão da matriz $A$ e o valor dos elementos $a_{12}$ e $a_{31}$.

1. b) Escreva a matriz transposta $A^t$ e interprete o que representam agora as suas linhas e colunas.

No design de uma fase de um videogame, as coordenadas dos obstáculos devem ser simétricas em relação a um eixo central. Para que uma matriz de design $M$ seja simétrica, deve-se cumprir que $M = M^t$.

Dada a matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & x-2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcule o valor de $x$ para que a matriz $M$ seja simétrica.

Dadas as matrizes $A$ e $B$, resolva a equação matricial para isolar a matriz $X$:

$$X - A = B^t$$

Sendo:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Verifique se a matriz $B$ é a inversa da matriz $A$ utilizando a definição de matriz inversa ($A \cdot B = I$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 2).

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Calcule o produto $A \cdot B$ multiplicando cada linha de $A$ por cada coluna de $B$, escreva o desenvolvimento de cada elemento e compare o resultado com $I$ para concluir.

Um grupo de quatro amigos (A, B, C e D) está conectado em uma rede social interna. A relação "A segue B" é representada com um 1 na matriz de adjacência $G$. Se o grafo for dirigido, a matriz não precisa ser simétrica.

Construa a matriz de adjacência $G$ a partir do seguinte grafo:

• A segue B e C.

• B segue A.

• C segue D.

• D segue C e B.

(Nota: os elementos da diagonal principal são 0 porque ninguém segue a si mesmo).

Dadas as matrizes $A$ e $B$, verifique mediante o cálculo explícito a propriedade da transposta da soma: $(A + B)^t = A^t + B^t$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$

Calcule a matriz inversa de $M$ utilizando o método que preferir (formulando um sistema de equações ou através do método de Gauss-Jordan).

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Se você escolher o método de Gauss-Jordan, o esquema é o que mostra a figura: parta da matriz ampliada $[\,M \mid I\,]$ e, mediante transformações elementares por linhas, você deve chegar a $[\,I \mid M^{-1}\,]$.

Dada a matriz quadrada $A$ de ordem 2, calcule o resultado da seguinte operação combinada:

$$3 \cdot A^t - I_2$$

Sendo $I_2$ a matriz identidade de ordem 2 e:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Para isolar a matriz $X$ na equação matricial $(A \cdot X)^t = B$, onde $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, o Lucas apresentou na sua prova o seguinte desenvolvimento:

$$\text{Passo 1: } A^t \cdot X^t = B$$ $$\text{Passo 2: } X^t = B \cdot (A^t)^{-1}$$ $$\text{Passo 3: } X = (B \cdot (A^t)^{-1})^t = A^{-1} \cdot B^t$$

Realize as seguintes tarefas:

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais cometidos pelo Lucas (um no Passo 1 e outro no Passo 2).
2. b) Isole de forma correta a matriz $X$ a partir da equação original, indicando com precisão cada uma das propriedades da matriz transposta e da matriz inversa que utilizar.
3. c) Verifique que $A$ é inversível calculando o seu determinante e determine a matriz $X$ correta a partir da expressão obtida no item anterior.

Um lagar de Jaén comercializa duas variedades de azeite virgem extra: Picual e Arbequina. Durante as duas primeiras semanas de safra abastece duas distribuidoras de Madrid. Os pedidos (medidos em centenas de litros) estão reunidos na matriz $C$:

$$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$

onde a linha 1 corresponde à distribuidora A e a linha 2 à distribuidora B (a primeira coluna indica a variedade Picual e a segunda a Arbequina). A matriz de receitas totais obtidas pelo lagar nessas vendas durante os meses de outubro e novembro (em centenas de reais) é:

$$F = \begin{pmatrix} 21 & 16 \\ 37 & 28 \end{pmatrix}$$

Sabendo que os pedidos, os preços unitários de cada variedade em cada mês reunidos na matriz $P$ e as receitas totais se relacionam por meio da equação matricial $C \cdot P = F$:

1. a) Justifique, por meio do cálculo do seu determinante, que a matriz de pedidos $C$ é invertível e que, portanto, existe uma única matriz de preços $P$.
2. b) Isole formalmente a matriz $P$ na equação matricial indicando qual propriedade você aplica.
3. c) Calcule a matriz inversa $C^{-1}$ por meio de determinantes e obtenha a matriz de preços unitários $P$.
4. d) Interprete o significado prático do valor obtido na posição $p_{12}$ da matriz $P$.

Dada a matriz dependente do parâmetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Determine para quais valores de $k$ a matriz $A$ não admite matriz inversa.
2. b) Para $k = 2$, calcule a matriz inversa $A^{-1}$ utilizando o método de Gauss-Jordan.
3. c) Existe algum valor de $k$ para o qual a matriz seja simétrica? Justifique sua resposta calculando $A^t$.

Uma empresa de entregas utiliza uma matriz de transmissão $T$ para organizar os envios entre três nós logísticos ($N_1, N_2, N_3$). A matriz é dada por:

$T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Para realizar uma auditoria inversa, é necessário encontrar a matriz $X$ que satisfaz a seguinte equação matricial:

$T \cdot X - T^t = I$

Onde $T^t$ é a transposta de $T$ e $I$ é a matriz identidade de ordem 3. Calcule fundamentadamente a matriz $X$ isolando-a previamente na equação.

No projeto de um filtro para um aplicativo de edição de fotos, utiliza-se uma matriz de transformação $M$ definida por:

$M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$

Sabe-se que tal matriz deve ser involutiva, ou seja, a sua própria inversa coincide com ela mesma ($M = M^{-1}$), o que equivale a dizer que $M^2 = I$.

1. a) Calcule $M^2$ em função de $a$ e $b$.
2. b) Determine os valores de $a$ e $b$ para que se cumpra a condição de matriz involutiva, sabendo que $a$ deve ser um número negativo.
3. c) Para os valores encontrados, verifique que $M \cdot M^t$ é uma matriz simétrica.

Sejam as matrizes $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcule $(A \cdot B)^t$ e $B^t \cdot A^t$. Verifique se a propriedade da transposta de um produto se confirma.
2. b) Determine as matrizes inversas $A^{-1}$ e $B^{-1}$.
3. c) Resolva a equação matricial $A \cdot X \cdot B = I$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 2.

Um sistema de criptografia de mensagens curtas utiliza uma matriz chave $K$ de ordem 2 para transformar vetores de dados. Para que o receptor possa decifrar a mensagem, a matriz $K$ tem que ser invertível. A matriz é:

$K = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\operatorname{sen} \alpha \\ \operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

1. a) Demonstre que, para qualquer valor de $\alpha$, vale que $K^t = K^{-1}$. (A este tipo de matrizes chamamos ortogonais).

1. b) Se uma mensagem chega como o vetor $E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ e sabemos que $\alpha = 90^\circ$, calcule o vetor original $V$ resolvendo $K \cdot V = E$. Na figura você tem representado o vetor recebido $E$.

Dadas as matrizes $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Determine a matriz $C = A + B^t$.
2. b) Calcule a matriz inversa $C^{-1}$.
3. c) Encontre uma matriz $X$ tal que $C \cdot X = A \cdot B$.

Considere a matriz quadrada $M$ de ordem 3:

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calcule $M^2$ e $M^3$. A matriz $M$ é invertível? Justifique a resposta com base no cálculo do seu posto ou do seu determinante.
2. b) Calcule a matriz $A = I + M + M^2$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 3.
3. c) Verifique por meio do produto de matrizes que a inversa da matriz $B = I - M$ é precisamente a matriz $A$ calculada no item anterior.

Uma companhia aérea de baixo custo opera rotas entre quatro aeroportos ($A, B, C, D$). A matriz de adjacência $M$ representa as conexões diretas (um $1$ na posição $ij$ significa que há voo direto do aeroporto $i$ para o aeroporto $j$):

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calcule a matriz transposta $M^t$ e interprete qual informação ela fornece em relação à direção das rotas.
2. b) Determine se a matriz $S = M + M^t$ é simétrica. O que representa o valor dos elementos da diagonal principal de $S$?
3. c) Se for definida uma matriz de "assimetria de rotas" como $K = M - M^t$, demonstre que $K$ é uma matriz antissimétrica verificando que $K^t = -K$.

Deseja-se resolver a equação matricial $A \cdot X \cdot B = I$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 3 e as matrizes $A$ e $B$ são dadas por:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Dois estudantes debatem sobre a forma mais rápida e segura de resolvê-la:

• O Marcos propõe isolar diretamente $X = A^{-1} \cdot B^{-1}$, o que requer calcular por determinantes $A^{-1}$, depois $B^{-1}$, e finalmente multiplicar ambas as matrizes.

• A Júlia propõe a equivalência $X = (B \cdot A)^{-1}$, calculando primeiro o produto $M = B \cdot A$ e realizando em seguida uma única inversão matricial com determinantes.

1. a) Demonstre algebricamente, aplicando com rigor as propriedades do elemento neutro, da associatividade e da inversa do produto de matrizes, que a expressão da Júlia $X = (B \cdot A)^{-1}$ é formalmente correta e equivalente à do Marcos.
2. b) Compare ambos os procedimentos em termos de custo operacional (número de determinantes e adjuntas a calcular) e justifique de forma fundamentada por que o método da Júlia reduz notavelmente a probabilidade de cometer erros de cálculo.
3. c) Aplique o método da Júlia para calcular o produto $M = B \cdot A$ e obter a matriz $X$ por meio de determinantes.

Considere a matriz $A$ dependente do parâmetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Observe com atenção a primeira e a terceira linhas. Sem desenvolver nenhum determinante, estime de forma fundamentada para que valor concreto de $k$ essas linhas ficam linearmente dependentes (proporcionais) e explique por que, para esse valor, a matriz $A$ não pode ser invertível.
2. b) Verifique a sua estimativa calculando o determinante de $A$ em função de $k$ pela regra de Sarrus ou pelo desenvolvimento por menores. Determine o posto de $A$ segundo os valores de $k$ e indique para quais valores de $k$ existe a matriz inversa $A^{-1}$.
3. c) Para $k = 0$, faça uma estimativa prévia do valor de $\det(A^{-1})$ a partir das propriedades dos determinantes antes de operar. Em seguida, calcule a matriz $A^{-1}$ por meio de determinantes e verifique se o seu resultado é coerente, confirmando que o produto da primeira linha de $A$ pela primeira coluna de $A^{-1}$ é igual a 1.

Dada a matriz $A$ que depende de um parâmetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 1 & k-1 \end{pmatrix}$

Pede-se:

1. Determinar para quais valores de $k$ a matriz $A$ não admite matriz inversa.

2. Para o caso $k = 1$, resolver a equação matricial $A \cdot X \cdot A^t = I$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 3. Utilize as propriedades da matriz transposta e inversa para simplificar o processo antes de operar.

Em um sistema de mensagens instantâneas, a segurança das mensagens baseia-se na criptografia matricial. Suponhamos que uma mensagem seja representada por uma matriz $M$ e cifrada utilizando uma matriz chave $K$ mediante a operação $C = K \cdot M$. Para descriptografá-la, o receptor deve calcular $M = K^{-1} \cdot C$.

Conhece-se a matriz chave $K$:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Demonstre que a matriz chave $K$ é invertível calculando a sua inversa mediante o método de Gauss-Jordan.

2. Se a mensagem recebida for a mensagem cifrada $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, determine a mensagem original $M$.

Dada a matriz quadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$:

1. Calcule $A^2$ e $A^3$.

2. Com base nos resultados anteriores, formule uma conjectura para $A^n$ e demonstre-a pelo método de indução matemática.

3. Utilize o resultado anterior para calcular a matriz inversa $(A^n)^{-1}$ expressando-a em função de $n$.

Uma rede social analisa a influência entre 4 "influencers" ($V_1, V_2, V_3, V_4$). A relação de influência direta representa-se por meio da matriz de adjacência $G$, onde $g_{ij} = 1$ se o influencer $i$ influencia diretamente o $j$, e $0$ no caso contrário.

$$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. a) Desenhe o grafo dirigido correspondente a esta matriz.

1. b) Diz-se que uma matriz é ortogonal se $G \cdot G^t = I$. Verifique se $G$ é ortogonal. Em caso negativo, explique de forma fundamentada o que significaria geometricamente que uma matriz de adjacência fosse ortogonal.

1. c) Calcule $(G^t + I)^{-1}$ se existir.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere as matrizes $A$ e $B$ de ordem 3 tais que $|A| \neq 0$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Sem calcular os elementos de $A$, resolva a seguinte equação matricial para a matriz $X$:

$$(A \cdot X \cdot B)^t = B^{-1}$$

Expresse $X$ em função de $A$, $B$ e de suas transpostas e inversas. Uma vez obtida a expressão algébrica, calcule os elementos de $X$ sabendo que $A = I$ (matriz identidade).

Seja $M$ uma matriz quadrada de ordem $n$ que satisfaz a propriedade de ser involutiva, ou seja, $M^2 = I$.

1. Demonstre que para qualquer matriz involutiva vale que $M = M^{-1}$.

2. Se temos a matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ -3 & -a \end{pmatrix}$, calcule os valores de $a$ para que $A$ seja involutiva.

3. Para os valores de $a$ encontrados, resolva a equação $(A^t + I) \cdot X = A$.

Toda matriz quadrada $M$ pode ser decomposta de forma única como a soma de uma matriz simétrica $S$ (onde $S = S^t$) e uma matriz antissimétrica $N$ (onde $N = -N^t$), mediante as fórmulas:

$S = \frac{1}{2}(M + M^t)$ e $N = \frac{1}{2}(M - M^t)$

Dada a matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$:

1. Determine a decomposição dela em $S$ e $N$.

2. Calcule a inversa da parte simétrica $S^{-1}$.

3. Justifique se é possível que a parte antissimétrica $N$ de uma matriz de ordem 3 seja invertível.

No estudo de computação gráfica, as transformações são realizadas mediante matrizes. Uma matriz de rotação no plano $\mathbb{R}^2$ é dada por:

$$R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$

1. Demonstre analiticamente que a matriz transposta de $R(\alpha)$ coincide com a sua matriz inversa, ou seja, $R(\alpha)^t = R(\alpha)^{-1}$.

2. Seja $A = R(45^\circ)$. Calcule a matriz $X$ que satisfaz a equação:

$$A^t \cdot X - I = A^{-1}$$

onde $I$ é a matriz identidade de ordem 2.

Um sistema criptográfico requer uma matriz de codificação $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ que seja involutiva (isto é, que cumpra $M = M^{-1}$, o que equivale a $M^2 = I_2$), de modo que o mesmo processo matricial sirva tanto para cifrar quanto para decifrar uma mensagem.

1. a) Demonstre que, se uma matriz $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ não trivial ($M \neq \pm I_2$) é involutiva, deve necessariamente cumprir que o seu traço seja nulo ($d = -a$) e que o seu determinante seja $\det(M) = -1$, o que conduz à condição $a^2 + b \cdot c = 1$.
2. b) Construa um exemplo concreto de matriz involutiva $M$ cujos quatro elementos sejam números inteiros não nulos e todos distintos de $\pm 1$. Verifique explicitamente por meio do produto de matrizes que $M^2 = I_2$.
3. c) Para a matriz $M$ que você construiu, obtenha a sua decomposição canônica única $M = S + N$, em que $S = \frac{1}{2}(M + M^t)$ é simétrica e $N = \frac{1}{2}(M - M^t)$ é antissimétrica.
4. d) Demonstre de forma geral (sem recorrer apenas ao seu exemplo numérico) que qualquer matriz antissimétrica de ordem 2 não nula tem determinante estritamente positivo e, portanto, é sempre invertível. Demonstre ainda que a sua inversa $N^{-1}$ também é uma matriz antissimétrica, utilizando as propriedades $(N^t)^{-1} = (N^{-1})^t$.

A análise input-output de Leontief permite modelar as relações de interdependência entre setores econômicos. Num estudo sobre a economia espanhola, consideram-se dois setores-chave: o setor Agroalimentar ($S_1$) e o setor Turístico e de Serviços ($S_2$). A matriz de coeficientes técnicos de consumo interno é:

$$A = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 \end{pmatrix}$$

onde cada elemento $a_{ij}$ representa a proporção de produção do setor $i$ que é absorvida pelo setor $j$ por cada unidade monetária produzida. A produção total bruta $X$ (em bilhões de reais) necessária para satisfazer uma demanda final externa $D$ satisfaz a equação matricial:

$$X - A \cdot X = D \iff (I_2 - A) \cdot X = D$$

O Ministério da Economia projeta dois cenários de demanda externa para o próximo exercício:

$$\text{Cenário 1: } D_1 = \begin{pmatrix} 15 \\ 25 \end{pmatrix}, \qquad \text{Cenário 2: } D_2 = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifique mediante o cálculo do seu determinante que a matriz de Leontief $M = I_2 - A$ é invertível e fundamente por que, tendo de avaliar dois cenários distintos, é mais vantajoso calcular a matriz inversa $(I_2 - A)^{-1}$ do que resolver dois sistemas lineares separadamente.
2. b) Calcule a matriz inversa $(I_2 - A)^{-1}$ utilizando a fórmula dos determinantes e a matriz adjunta.
3. c) Calcule os vetores de produção total $X_1$ e $X_2$ para cada um dos dois cenários projetados.
4. d) Suponha que uma grave crise energética e de inflação aumenta os custos de modo que todos os coeficientes técnicos da matriz dobram, passando a ser $A' = 2A$. Verifique se a nova matriz do sistema $(I_2 - A')$ continua sendo invertível calculando o seu determinante e o seu posto, e interprete a viabilidade econômica do modelo nessa situação de crise.

Desafio do tema. Auditoria energética e projeção de consumos. Imagine que você presta consultoria a uma pequena empresa para otimizar o seu gasto elétrico.

1. Coleta de dados: Acesse o site da concessionária de energia da sua região ou consulte contas de luz reais. Selecione $3$ dias e $3$ períodos horários (ponta, intermediário, fora de ponta) para registrar consumos em kWh, definindo a matriz $C \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$. Atribua preços unitários (ex. $0,18$ reais/kWh) em um vetor coluna $P$.

2. Operações e Gauss: Realize o produto $C \cdot P$ para encontrar o gasto diário. Formule um sistema $C \cdot X = B$ fixando um orçamento objetivo $B$ e resolva-o por meio do método de Gauss para encontrar os preços unitários $X$ (R$/kWh) que ajustariam o gasto a esse orçamento, avaliando se são viáveis.

3. Inversa e potências: Em uma planilha ou no GeoGebra, calcule $C^{-1}$ aplicando determinantes e a matriz adjunta para determinar os preços unitários necessários diante de variações do orçamento ($X = C^{-1} \cdot B$). Em seguida, desenhe uma matriz de transferência de hábitos $T$ e obtenha a sua potência $T^3$ para projetar a distribuição energética daqui a três meses.

4. Proposta fundamentada: Elabore um relatório breve (uma página) com as matrizes calculadas e conclusões práticas de economia.

Será avaliado:

• Rigor no cálculo de $C^{-1}$ por determinantes e na aplicação do método de Gauss.

• Formulação correta de operações matriciais e potências em planilha.

• Qualidade da análise crítica e viabilidade das conclusões com dados reais.