Exercícios: Distribuições marginais

Dada a seguinte tabela de dupla entrada para as variáveis $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	3	4
1	2	5
2	4	1

Escreva a tabela da distribuição marginal da variável $X$.

Foi estudada a relação entre duas variáveis estatísticas $X$ e $Y$, obtendo-se a seguinte tabela de frequências conjuntas:

$X \setminus Y$	10	20
0	3	2
1	1	6
2	4	0

Determine a distribuição marginal da variável $Y$ e calcule o tamanho total da população $N$.

A distribuição marginal de uma variável bidimensional para o seu componente $X$ é dada pela seguinte tabela:

$x_i$	2	4	6
$n_i$	3	5	2

Calcule a média marginal $\bar{x}$.

Foram coletados os seguintes pares de valores $(x_i, y_i)$ ao observar 5 indivíduos:

$(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$

A partir destes dados, construa a tabela da distribuição marginal da variável $Y$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Na seguinte tabela de dupla entrada faltam os totais marginais (as somas das linhas e das colunas).

$X \setminus Y$	1	2	3	Total $X$
5	2	0	4	?
6	1	3	1	?
Total $Y$	?	?	?	$N = ?$

Copie a tabela e complete os valores marginais que faltam.

A distribuição marginal da variável $Y$ em um estudo estatístico é a seguinte:

$y_j$	0	1	2
$n_j$	4	4	2

Sabendo que a sua média marginal é $\bar{y} = 0,8$, calcule a variância marginal $\sigma_Y^2$.

Observe a seguinte tabela de frequências conjuntas:

$X \setminus Y$	100	200	300
1	5	8	2
2	3	1	7

Identifique o valor da frequência marginal $n_{2 \bullet}$ (o total de indivíduos com $X=2$) e o valor da frequência marginal $n_{\bullet 3}$ (o total de indivíduos com $Y=300$).

Em um grupo de 10 amigos, foi perguntado o número de irmãos ($X$) e o número de animais de estimação ($Y$). Os resultados $(X, Y)$ são:

$(1, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 0), (3, 0), (1, 1), (0, 1), (2, 0)$

Escreva a tabela da distribuição marginal do número de animais de estimação ($Y$).

Em uma pesquisa sobre mobilidade urbana do Consórcio de Transportes, perguntou-se a 50 usuários de ônibus o número de baldeações que realizam em seu trajeto habitual ($X$) e o tempo médio de espera em minutos ($Y$). Os resultados são apresentados na seguinte tabela de dupla entrada:

$X \setminus Y$	5	10	15
0	14	6	0
1	5	15	4
2	1	2	3

1. a) Construa a tabela da distribuição marginal da variável $X$ (número de baldeações), indicando os valores $x_i$ e as respectivas frequências marginais $f_{i\bullet}$.
2. b) Calcule a média marginal $\bar{x}$.
3. c) Interprete o que descreve o valor de $\bar{x}$ no contexto dos deslocamentos habituais desses cidadãos.

Um grupo de estudantes do 4.º ano do ESO recolhe dados sobre o número de irmãos ($X$) e as horas semanais dedicadas aos videojogos ($Y$) numa amostra de 30 colegas de escola:

$X \setminus Y$	2	5	8
0	5	4	3
1	4	6	2
2	2	3	1

O Marcos quer calcular a média marginal do número de irmãos ($\bar{x}$) e escreve em seu caderno:

«Os valores possíveis da variável $X$ são 0, 1 e 2 irmãos. Portanto, a média é $\bar{x} = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ irmão».

1. a) Explique com clareza qual é o erro conceitual que o Marcos cometeu e por que seu método daria sempre o mesmo resultado, independentemente do número real de alunos que tenham 0, 1 ou 2 irmãos.
2. b) Corrija o procedimento: obtenha a distribuição marginal de $X$ com suas frequências correspondentes e calcule o valor real da média marginal $\bar{x}$.

Um biólogo estuda uma espécie de anfíbio, registrando a sua massa $X$ (em kg) e o seu comprimento $Y$ (em cm). Os resultados estão agrupados na seguinte tabela de dupla entrada:

$X \setminus Y$	15	20	25
0,5	4	2	0
1,0	1	5	3
1,5	0	2	3

Calcule as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$ de ambas as variáveis.

Em um estudo de mercado sobre o preço de um produto $X$ (agrupado em intervalos de reais) e o número de vendas diárias $Y$, obtêm-se os seguintes dados:

$X \setminus Y$	10	20	30
$[10, 20)$	5	12	3
$[20, 30)$	8	15	7
$[30, 40)$	2	6	12

Obtenha a distribuição marginal de $X$ utilizando os pontos médios das classes e calcule a sua média marginal.

Em uma equipe de basquete, analisam-se o número de faltas cometidas ($X$) e os pontos marcados ($Y$) por jogo. A tabela conjunta tem uma frequência desconhecida $f$:

$X \setminus Y$	5	10	15
1	2	$f$	1
2	3	4	2

Sabendo que a média marginal dos pontos marcados é $\bar{y} = 9{,}5$, encontre o valor da frequência desconhecida $f$.

Analisam-se a duração da bateria $X$ (em horas) e o tamanho da tela $Y$ (em polegadas) de vários modelos de tablets:

$X \setminus Y$	7	8	10
6	2	5	1
8	4	8	3
10	1	4	6
12	0	2	4

Construa a distribuição marginal da duração da bateria ($X$) e calcule o seu desvio padrão marginal.

Foi registrado o número de horas de estudo semanais ($X$) e a nota obtida em um exame ($Y$) para 10 estudantes:

$(5, 6), (7, 8), (4, 5), (8, 9), (5, 5), (6, 7), (7, 7), (9, 10), (4, 6), (6, 8)$

Construa a tabela de dupla entrada de frequências absolutas. A partir dela, obtenha a distribuição marginal das notas ($Y$) e determine qual porcentagem de alunos obteve uma nota marginal superior a 6.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Em um ensaio clínico, relaciona-se a dose de um medicamento $X$ (em mg) com os dias de recuperação $Y$:

$X \setminus Y$	3	5	7
100	6	4	0
200	2	8	2
300	0	3	5

Calcule o coeficiente de variação marginal da variável $Y$ para analisar a sua dispersão relativa.

São registradas a temperatura média $X$ (em °C) e os dias de chuva mensais $Y$ em várias cidades:

$X \setminus Y$	2	4	6
15	3	5	2
20	4	7	3
25	1	4	6

Extraia as distribuições marginais de $X$ e $Y$. Verifique numericamente que a soma das frequências marginais de $X$ coincide com a soma das frequências marginais de $Y$ e que ambas equivalem ao tamanho total da amostra $N$.

Estuda-se a quantidade de fertilizante $X$ (em kg/ha) e o rendimento da colheita $Y$ (em toneladas/ha) em diferentes parcelas:

$X \setminus Y$	2	3	4
50	5	2	1
100	3	6	2
150	0	4	7

Calcule a variância marginal de $X$ e a variância marginal de $Y$. Qual das duas variáveis apresenta maior dispersão absoluta?

Uma estação meteorológica do INMET em uma região montanhosa registra, durante 40 dias de inverno, a temperatura mínima em ºC ($X$) e os centímetros de neve acumulada ($Y$):

$X \setminus Y$	0	5	10
-2	1	6	8
0	5	12	3
2	4	1	0

1. a) Estime: Sem calcular ainda a média marginal da temperatura ($\bar{x}$), observe as frequências marginais das linhas ($f_{i\bullet}$) e fundamente se você espera que $\bar{x}$ seja um número positivo, negativo ou exatamente zero. Justifique sua previsão analisando em que valor de $X$ se concentra mais peso da amostra.
2. b) Verifique: Construa a tabela da distribuição marginal de $X$ e calcule com exatidão a média $\bar{x}$ e a variância marginal $\sigma_x^2$.
3. c) Avalie: Seus cálculos exatos confirmam a estimativa feita no item a)? Explique se o resultado numérico obtido faz sentido climático para um mês de inverno em alta montanha.

Uma empresa de entregas expressas analisa uma frota de $N = 20$ vans de acordo com duas variáveis: o número de bairros atribuídos ($X$, que só assume os valores 10 ou 20 bairros) e o turno de distribuição ($Y$, em que 1 representa o turno da manhã e 2 o da tarde).

Os dados individuais da tabela conjunta foram extraviados, mas conhecem-se duas condições marginais:

1) A média marginal do número de bairros atribuídos é $\bar{x} = 14$.

2) O número total de vans atribuídas ao turno da manhã ($Y = 1$) é exatamente o triplo das atribuídas ao turno da tarde ($Y = 2$).

1. a) Apresente as equações necessárias para deduzir as frequências marginais de $X$ ($f_{1\bullet}$ e $f_{2\bullet}$) e as frequências marginais de $Y$ ($f_{\bullet 1}$ e $f_{\bullet 2}$).
2. b) Crie uma tabela de dupla entrada de dimensão $2 \times 2$ com frequências conjuntas internas não nulas que cumpra rigorosamente todas as frequências marginais que você calculou.

Em uma fábrica, analisam-se o número de defeitos $X$ e o tempo de revisão $Y$ (em minutos) de um lote de peças. A tabela de frequências conjuntas contém dois parâmetros $a$ e $b$:

$X \setminus Y$	2	4	6
0	10	5	2
1	4	$a$	3
2	1	2	$b$

Sabe-se que o tamanho total da amostra é $N = 40$ e que a média marginal do número de defeitos é $\bar{x} = 0,8$. Determine os valores das frequências $a$ e $b$.

Em um experimento termodinâmico mede-se a pressão $X$ (em atm) e o volume $Y$ (em litros), agrupando os dados em intervalos:

$X \setminus Y$	$[1, 3)$	$[3, 5)$	$[5, 7)$
$[10, 20)$	12	8	0
$[20, 30)$	5	15	6
$[30, 40)$	0	4	10

Extraia as distribuições marginais utilizando as marcas de classe. Calcule os desvios padrão marginais e determine qual variável tem maior dispersão relativa por meio do cálculo do coeficiente de variação marginal.

Um estudo relaciona o nível de renda $X$ (em milhares de reais) e o índice de satisfação $Y$ (de 1 a 3). Em vez de frequências absolutas, são fornecidas as frequências relativas conjuntas $h_{ij}$:

$X \setminus Y$	1	2	3
15	0,10	0,15	0,05
25	0,05	0,25	0,10
35	0,00	0,10	0,20

Calcule as distribuições marginais relativas e, a partir delas, obtenha as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Avalia-se a resistência à tração $X$ (em MPa) e a porcentagem de carbono $Y$ em ligas de aço. A tabela está incompleta, mas os totais marginais são conhecidos:

$X \setminus Y$	0,2	0,4	0,6	Total $X$
400	8	?	2	15
500	?	13	?	25
600	1	?	5	10
Total $Y$	12	22	16	$N=50$

Reconstrua a tabela de dupla entrada completa. Em seguida, calcule a variância marginal de $Y$.

O gráfico de bolhas a seguir representa a distribuição bidimensional do Nível de Risco ($X$) e do Retorno esperado ($Y$) de um conjunto de carteiras de investimento. O número dentro de cada bolha indica a frequência conjunta.

A partir do gráfico, extraia as distribuições marginais de ambas as variáveis e calcule a média marginal do Retorno ($\bar{y}$).

Analisa-se a idade $X$ (em intervalos) e o número de filhos $Y$ de um grupo de famílias:

$X \setminus Y$	0	1	2	3
$[20, 30)$	15	10	2	0
$[30, 40)$	8	18	12	4
$[40, 50)$	3	7	15	6

Calcule a média e a variância marginal da Idade ($X$) usando as marcas de classe. Se, por um erro de registro, for necessário aplicar um fator de correção somando 2 anos a cada marca de classe, quais serão a nova média e a nova variância marginais de $X$ sem a necessidade de recalcular toda a tabela? Justifique a sua resposta com base nas propriedades da média e da variância.

Uma loja registra o preço base $X$ (em reais) e o número de unidades vendidas $Y$ de diferentes artigos. A distribuição marginal dos preços base $X$ obtida da tabela bidimensional é:

$x_i$	10	20	30	40
$n_i$	25	40	20	15

Sabendo que o preço final de venda ao público ($X'$) é calculado aplicando um imposto fixo de 5 reais mais um acréscimo de 20% sobre o preço base (ou seja, $X' = 1,20X + 5$), calcule a média e o desvio padrão marginal dos preços finais $X'$ sem precisar transformar cada um dos valores individualmente.

Um ecologista mede a quantidade de luz solar $X$ e o crescimento de uma planta $Y$. Os dados estão resumidos na seguinte tabela:

$X \setminus Y$	10	20
5	2	3
8	4	1

Demonstre numericamente que o cálculo da média marginal de $X$ utilizando a fórmula completa bidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ dá exatamente o mesmo resultado que se primeiro for extraída a distribuição marginal de $X$ e aplicada a fórmula unidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Mostre o desenvolvimento passo a passo de ambos os métodos.

Numa fábrica de componentes mecânicos controla-se o comprimento em centímetros ($X$) de uma peça e a sua resistência ao desgaste ($Y$). A partir da distribuição marginal de $X$, o departamento de qualidade já obteve que a média é $\bar{x} = 12\text{ cm}$ e o seu desvio padrão é $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (portanto a sua variância é $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Para adaptar os projetos a uma norma internacional, exige-se expressar o comprimento em milímetros e adicionar uma margem fixa de montagem de 5 mm, aplicando a transformação linear $X' = 10 \cdot X + 5$.

Para determinar a nova média marginal $\bar{x}'$ e a nova variância marginal $\sigma_{x'}^2$, propõem-se dois métodos:

• Método 1: Transformar cada valor individual original $x_i$ calculando $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refazer toda a tabela de frequências marginais e aplicar desde o início as fórmulas gerais com somatórios.

• Método 2: Utilizar diretamente as propriedades algébricas das mudanças de origem e de escala sobre os parâmetros já conhecidos: $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ e $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Aplique o Método 2 para calcular numericamente $\bar{x}'$ e $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Compare ambos os métodos e justifique qual é o mais eficiente quando se trabalha com bases de dados reais de milhares de registros. Ambos os caminhos chegam exatamente ao mesmo resultado?
3. c) Explique detalhadamente por que razão a parcela $+5$ altera o valor da média, mas não produz qualquer alteração no cálculo da variância marginal.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) estuda em uma amostra de 100 propriedades agrícolas a área de cultivo em hectares ($X$) e o volume anual de água de irrigação utilizado em milhares de metros cúbicos ($Y$):

$X \setminus Y$	4	8	12
2	30	10	0
5	10	25	5
10	0	5	15

1. a) Obtenha separadamente as distribuições marginais de $X$ e de $Y$, e calcule para cada uma delas a sua média e a sua variância marginal: $\bar{x}$, $\sigma_x^2$, $\bar{y}$ e $\sigma_y^2$.
2. b) Um relatório técnico preliminar conclui: «Como a variância da água de irrigação ($\sigma_y^2$) é numericamente superior à variância da área ($\sigma_x^2$), as propriedades são mais heterogêneas e dispersas no consumo hídrico do que no tamanho do terreno». Justifique de forma fundamentada por que motivo essa comparação direta entre variâncias não é estatisticamente válida.
3. c) Calcule o coeficiente de variação de cada variável ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$) e determine, com base nesse indicador adimensional, qual das duas variáveis apresenta, na realidade, maior dispersão relativa.