Exercícios: Covariância

Em um estudo bidimensional sobre $25$ indivíduos, foram obtidas as médias $\bar{x} = 8$ e $\bar{y} = 15$. Sabendo que a soma dos produtos das variáveis é $\sum x_i y_i = 3200$, calcule a covariância $s_{xy}$.

Dada a seguinte tabela com três pares de valores correspondentes às variáveis $X$ e $Y$:

Calcule o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ e a covariância da distribuição.

Em uma pesquisa sobre o rendimento esportivo, relaciona-se o número de horas semanais de treinamento ($X$) com o tempo em minutos que um atleta leva para completar uma corrida de $10$ km ($Y$). Que sinal você espera que a covariância $s_{xy}$ tenha? Justifique brevemente a sua resposta.

Para um conjunto de $40$ dados bidimensionais, sabe-se que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ e a covariância é $s_{xy} = -8,5$. Encontre o valor da soma dos produtos $\sum x_i y_i$.

Em um experimento de termodinâmica, a covariância entre a pressão e o volume de um gás em certas condições é $s_{xy} = -15,4$. Se, para facilitar os cálculos, o pesquisador decidir somar $2$ a todos os valores de pressão e subtrair $5$ de todos os valores de volume, qual será o novo valor da covariância?

Calcule a covariância da seguinte distribuição bidimensional expressa em uma tabela de frequências absolutas $f_i$:

Ao estudar a relação entre a quantidade de fertilizante aplicado a uma planta (em gramas) e o seu crescimento semanal (em milímetros), obtém-se uma covariância de $24,6$. O que o sinal desse parâmetro estatístico indica sobre a relação entre o fertilizante e o crescimento?

O centro de gravidade de uma distribuição bidimensional é $(5, 9)$. Se a média aritmética dos produtos dos valores de ambas as variáveis é $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determine o valor da covariância.

A partir de registros da Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) na província de Granada durante um dia de inverno, registraram-se a altitude ($X$, em centenas de metros) e a temperatura média ($Y$, em $^\circ\text{C}$) de quatro localidades: Motril $(0; 14)$, Lanjarón $(5; 10)$, Baza $(8; 7)$ e Trevélez $(15; 1)$.\na) Antes de realizar qualquer cálculo numérico, estime de forma fundamentada que sinal você espera que tenha a covariância entre a altitude e a temperatura. Explique em que você baseia a sua previsão.\nb) Com os dados fornecidos, calcule as médias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, e determine o valor exato da covariância $\sigma_{xy}$.\nc) Verifique se o sinal obtido coincide com a sua estimativa inicial e avalie se o resultado é coerente com o fenômeno físico observado nas zonas de montanha.

Num estudo escolar sobre hábitos de lazer, o Marcos anotou as horas semanais dedicadas ao estudo ($X$) e as horas dedicadas a videogames ($Y$) de $5$ colegas: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 2)$ e $(5, 3)$.\nPara calcular a covariância, o Marcos escreve no caderno dele:\n«Calculo as médias: $\bar{x} = 3$ e $\bar{y} = 4$.\nMultiplico cada par e somo: $\sum x_i y_i = 1\cdot 6 + 2\cdot 5 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2 + 5\cdot 3 = 6 + 10 + 12 + 8 + 15 = 51$.\nAplico a fórmula: $\sigma_{xy} = 51 - 3 \cdot 4 = 51 - 12 = 39$.\nComo a covariância é positiva ($\sigma_{xy} = 39 > 0$), concluo que quanto mais horas jogam videogames, mais horas estudam.»\na) Identifique e explique detalhadamente o erro matemático que o Marcos cometeu na aplicação da fórmula.\nb) Explique por que a conclusão qualitativa dele se revela claramente contraditória ao observar os dados originais da tabela.\nc) Corrija o procedimento e calcule o valor correto de $\sigma_{xy}$, interpretando adequadamente o resultado obtido.

Foram medidas a temperatura $X$ (em $^\circ\text{C}$) e a resistência $Y$ (em MPa) de um novo material plástico em $5$ ensaios diferentes, obtendo os seguintes resultados:

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional e interprete o sinal dela no contexto do problema.

Em um estudo de arquitetura, a covariância entre o comprimento de uma viga $X$ (medido em metros) e a sua deformação máxima $Y$ (medida em milímetros) é $s_{xy} = 3,5$. Se decidirmos expressar o comprimento em centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) e a deformação em micrômetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcule o novo valor da covariância.

Foi realizada uma pesquisa com $20$ famílias sobre o número de veículos que possuem ($X$) e o número de vagas de garagem de que dispõem ($Y$). Os resultados estão resumidos na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule o centro de gravidade e a covariância $s_{xy}$.

Um conjunto de $10$ pares de dados bidimensionais tem como médias $\bar{x} = 6$ e $\bar{y} = 8$, e sua covariância é $s_{xy} = 4$. Se for descoberto que falta incluir um décimo primeiro par de dados que coincide exatamente com o centro de gravidade, ou seja, o par $(6, 8)$, calcule a nova covariância do conjunto de $11$ dados.

Observe o seguinte gráfico de dispersão que representa quatro observações obtidas em um experimento de laboratório:

A partir das coordenadas inteiras dos pontos mostrados no gráfico, determine a tabela de valores e calcule a covariância da distribuição.

Em um estudo sobre o tempo de uso de telas, a idade dos entrevistados ($X$) foi agrupada em intervalos, relacionando-a com o número de dispositivos inteligentes que possuem ($Y$):

Utilizando as marcas de classe para a variável $X$, calcule a covariância da distribuição.

De uma variável estatística bidimensional $(X,Y)$ composta por $8$ observações, conhecem-se os seguintes dados:

$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$ e $\sum x_i y_i = 280$.

Calcule o centro de gravidade e a covariância.

Em um estudo econômico sobre a relação entre a taxa de inflação ($X$, em $\%$) e a taxa de desemprego ($Y$, em $\%$) de um país durante $5$ anos consecutivos, foram registrados os seguintes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcule a covariância e indique se os resultados apoiam uma relação direta ou inversa entre ambas as taxas.

A partir de dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre equipamento e consumo nos lares, analisa-se a temperatura média exterior durante o mês de julho ($X$, em $^\circ\text{C}$) e o consumo elétrico mensal por habitação ($Y$, em $\text{kWh}$) em cinco capitais de província espanholas: Santander $(19, 170)$, A Coruña $(20, 180)$, Zaragoza $(26, 290)$, Madrid $(26, 300)$ e Sevilla $(29, 360)$.\na) Modele a relação entre ambas as variáveis calculando a covariância $\sigma_{xy}$. Que tipo de tendência conjunta o sinal obtido reflete em relação ao uso de sistemas de climatização?\nb) Se uma distribuidora elétrica preferir registrar o consumo em megawatt-hora por meio da mudança de variável $Y' = 0,001 \cdot Y$, calcule a nova covariância $\sigma_{xy'}$ aplicando as propriedades algébricas da covariância, sem recalcular os produtos ponto a ponto.\nc) Explique por que a mudança de unidade de medida altera o valor numérico da covariância, mas não modifica em nada a sua interpretação qualitativa.

Numa fábrica de conservas vegetais de Minas Gerais controla-se a relação entre o tempo de esterilização térmica ($X$, em minutos) e a contagem microbiana residual ($Y$, em colônias por grama). Em quatro lotes analisados obtiveram-se os pares $(15, 80)$, $(20, 50)$, $(25, 30)$ e $(30, k)$, mas o valor $k$ do quarto lote foi apagado acidentalmente do registro de controle.\nO relatório técnico de qualidade conservado indica que a covariância da amostra foi exatamente $\sigma_{xy} = -125$.\na) Expresse a média marginal $\bar{y}$ e a média dos produtos $\dfrac{\sum x_i y_i}{4}$ em função da incógnita $k$.\nb) Formule uma equação a partir da fórmula da covariância e determine o valor exato que $k$ deve ter.\nc) Justifique que significado prático tem para a segurança alimentar da fábrica o fato de a covariância ser negativa, e o que teria indicado sobre o processo térmico se tivesse sido obtida uma covariância próxima de $0$.

Foi testado um novo medicamento em um grupo de pacientes. A variável $X$ representa a dose administrada (em mg) e a variável $Y$ a redução da pressão arterial (em mmHg). Os resultados são mostrados na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule a covariância desta distribuição e explique o que o resultado sugere sobre a eficácia do medicamento.

Analisa-se a trajetória de um objeto por meio de $5$ pontos cujas coordenadas $(X,Y)$ são: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 4)$.

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional. Diante do resultado, pode-se afirmar que as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes? Justifique a sua resposta relacionando-a com o gráfico.

Em uma distribuição bidimensional de $3$ pares de valores, conhecem-se dois deles: $(1, 2)$ e $(4, 6)$. O terceiro par é $(2, a)$, em que $a$ é um valor desconhecido. Se você sabe que a covariância da distribuição é $s_{xy} = 2$, elabore uma equação e encontre o valor de $a$.

Dada uma variável bidimensional $(X,Y)$, sabe-se que existe uma relação funcional linear exata dada pela equação $y_i = -3x_i + 5$ para todos os pares da distribuição. Sabendo que a variância da variável $X$ é $s_x^2 = 4$, demonstre analiticamente e calcule o valor numérico da covariância $s_{xy}$.

Em uma empresa, estuda-se a relação entre os anos de tempo de serviço dos funcionários ($X$) e o seu salário mensal em centenas de reais ($Y$). Conhecem-se os seguintes dados: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, a variância do tempo de serviço é $s_x^2 = 16$ e a covariância é $s_{xy} = 24$. Decide-se criar um índice de "avaliação total" definido como $Z = X + Y$. Calcule a covariância entre o tempo de serviço ($X$) e esse novo índice ($Z$).

Uma equipe de biólogos mediu o peso $X$ (em kg) e o comprimento $Y$ (em cm) de uma espécie de réptil, obtendo uma covariância $s_{xy} = 45$. Para uma publicação internacional, decidem transformar os dados: o peso será expresso em libras ($1\text{ kg} = 2,2\text{ lb}$) e o comprimento em metros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$). Além disso, por um ajuste do equipamento de medição, subtraem $0,5\text{ m}$ de todos os comprimentos. Qual será o valor da covariância com as novas unidades?

Um departamento de marketing analisa o gasto com publicidade $X$ (em milhares de reais) e as vendas geradas $Y$ (em milhares de reais) em $10$ campanhas distintas. Têm-se as seguintes somas:

$\sum x_i = 150$, $\sum y_i = 800$, $\sum x_i^2 = 2500$, $\sum y_i^2 = 70000$, $\sum x_i y_i = 12500$.

Calcule a covariância original. Se para o próximo ano for decidido que todos os gastos com publicidade aumentarão $10\%$ e as vendas esperadas aumentarão $20\%$, qual será a covariância estimada dos dados transformados?

Um conjunto de dados bidimensionais consiste nos seguintes $5$ pontos fortemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; e um ponto atípico: $(13, 15)$.

Calcule a covariância do conjunto completo dos $6$ pontos. Em seguida, calcule a covariância excluindo o ponto atípico e compare os resultados para explicar a sensibilidade da covariância a valores extremos.

Uma empresa de entregas audita quatro vans da sua frota registrando o seu ano de emplacamento ($X$) e os quilômetros totais acumulados ($Y$): Van 1 $(2018; 120\,000)$, Van 2 $(2019; 95\,000)$, Van 3 $(2021; 50\,000)$ e Van 4 $(2022; 15\,000)$.\nDois analistas debatem que caminho seguir para calcular a covariância:\n- Método A (Sérgio): Aplicar diretamente a fórmula sobre os dados originais, calculando $\bar{x}$, $\bar{y}$ e os produtos na ordem dos milhões como $2018 \cdot 120\,000$.\n- Método B (Marta): Definir uma mudança de origem e escala por meio de $X' = X - 2020$ (anos decorridos em relação a 2020) e $Y' = \dfrac{Y}{1000}$ (quilômetros em milhares), calcular $\sigma_{x'y'}$ e transpor o resultado para a covariância original.\na) Compare ambos os métodos e justifique por que a proposta da Marta minimiza drasticamente o risco de cometer erros de cálculo.\nb) Aplique o Método B: verifique que $\bar{x}' = 0$, calcule de forma simples $\sigma_{x'y'}$ e, aplicando as propriedades das transformações lineares, deduza o valor exato da covariância original $\sigma_{xy}$.\nc) A partir deste caso, justifique de forma fundamentada por que somar uma constante a uma variável não altera a covariância, enquanto multiplicá-la por uma constante a modifica.

Um relatório ambiental analisa a relação entre o número de alojamentos rurais registrados ($X$, em dezenas) e os resíduos sólidos coletados em agosto ($Y$, em toneladas) em cinco microrregiões de um estado. Em quatro microrregiões de perfil plenamente rural os dados são: Microrregião A $(2, 10)$, Microrregião B $(3, 15)$, Microrregião C $(4, 20)$ e Microrregião D $(5, 25)$. No entanto, a Microrregião E apresenta um perfil atípico devido à presença de um grande parque industrial e muito pouco turismo rural, registrando $(1, 80)$.\na) Modele a relação calculando a covariância $\sigma_{xy}$ considerando apenas as quatro microrregiões rurais típicas (A, B, C e D). Interprete o sinal obtido em termos de atividade turística e produção de resíduos.\nb) Incorpore a Microrregião E no estudo ($N = 5$) e calcule a nova covariância para o total das cinco microrregiões.\nc) Compare ambos os resultados e explique que fenômeno provocou a mudança radical de sinal na covariância. Tendo isso em conta, fundamente criticamente por que razão um gestor público cometeria um erro grave se utilizasse a covariância global das cinco microrregiões para afirmar que «fomentar o turismo rural ajuda a reduzir a quantidade de resíduos gerados».