Exercícios: Distribuições condicionadas

Dada a seguinte tabela de dupla entrada que relaciona as variáveis $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$10$	$2$	$5$	$1$
$20$	$0$	$4$	$3$
$30$	$4$	$1$	$0$

Escreva a tabela de frequências da distribuição da variável $Y$ condicionada a $X = 10$ e calcule o tamanho dessa subpopulação.

A partir da distribuição conjunta das variáveis $X$ e $Y$ dada na tabela:

$X \setminus Y$	$0$	$5$
$2$	$10$	$2$
$4$	$8$	$6$
$6$	$1$	$12$

Calcule a média aritmética da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 5$, ou seja, $\bar{x}_{|y=5}$.

Em um estudo sobre duas variáveis $X$ e $Y$, foi isolada a distribuição de $Y$ condicionada a um valor específico $x_i$, obtendo-se as seguintes frequências absolutas:

$Y | X = x_i$	Frequência absoluta ($f_{j|i}$)
$100$	$4$
$200$	$12$
$300$	$4$

Calcule as frequências relativas condicionadas $h_{j|i}$ para cada valor de $Y$ e verifique que somam $1$.

Observe a seguinte tabela de contingência:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$	$40$
$1$	$1$	$8$	$2$	$0$
$2$	$5$	$3$	$9$	$1$
$3$	$2$	$2$	$4$	$7$

Determine a moda da distribuição de $Y$ condicionada a $X = 2$ e a moda da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 30$.

Foi extraída a distribuição condicional de uma variável $Y$ para um grupo específico $X = a$, resultando nos seguintes dados:

O tamanho do grupo é $N_{|x=a} = 20$.

A soma dos valores é $\sum f_{j|a} \cdot y_j = 160$.

A soma dos quadrados é $\sum f_{j|a} \cdot y_j^2 = 1400$.

Calcule a variância condicional $\sigma^2_{Y|X=a}$.

Analisa-se o número de erros de ortografia ($Y$) em um ditado segundo o ano escolar ($X$). Extraem-se as duas distribuições condicionadas para $X=3$ e $X=4$:

Distribuição $Y | X=3$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $2, 5, 2, 1$

Distribuição $Y | X=4$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $5, 3, 2, 0$

Calcule a média de erros em cada ano escolar ($\bar{y}_{|x=3}$ e $\bar{y}_{|x=4}$) e indique em qual ano escolar se cometem, em média, menos erros.

Dada a distribuição da variável $X$ condicionada a $Y = 10$:

$X | Y = 10$	$2$	$4$	$6$
$f_{i|10}$	$3$	$5$	$2$

Sabendo que a média condicionada é $\bar{x}_{|y=10} = 3,8$, calcule o desvio padrão condicionado $\sigma_{X|Y=10}$.

Em uma tabela de dupla entrada têm-se as seguintes frequências relativas condicionadas para a variável $Y$ em relação a dois valores de $X$:

Para $X = 1$: $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Para $X = 2$: $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Justifique se as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes ou dependentes baseando-se exclusivamente nestes dados.

Em uma pesquisa sobre hábitos digitais realizada em uma escola, analisa-se a relação entre a série ($X$) e as horas semanais dedicadas a jogar videogames ($Y$). Os dados de $100$ alunos estão reunidos na tabela a seguir:

Ano ($X$) \ Horas ($Y$)	$5\text{ h}$	$10\text{ h}$	$15\text{ h}$
4.º de ESO ($X=0$)	$10$	$25$	$15$
1.º de Bachillerato ($X=1$)	$5$	$20$	$25$

A Larissa quer calcular a média de horas semanais condicionada a cursar a 1ª série do Ensino Médio (ou seja, $\bar{y}_{|X=1}$) e faz a seguinte operação no caderno dela:

$$\bar{y}_{|X=1} = \frac{5 \cdot 5 + 10 \cdot 20 + 15 \cdot 25}{100} = \frac{25 + 200 + 375}{100} = \frac{600}{100} = 6\text{ horas}$$

A Larissa conclui que os alunos da 1ª série do Ensino Médio jogam em média $6$ horas por semana.

1. a) Sem fazer cálculos complexos, justifique por que um resultado de $6$ horas é incoerente, observando apenas os valores assumidos por $Y$ ($5, 10$ e $15$) e as frequências da linha da 1ª série do Ensino Médio.
2. b) Identifique o erro conceitual que a Larissa cometeu no denominador da fórmula dela ao calcular uma distribuição condicionada.
3. c) Corrija o procedimento e determine o valor real da média condicionada $\bar{y}_{|X=1}$.

A partir de uma amostra de $200$ pessoas extraída da Pesquisa sobre o Uso de Tecnologias de Informação e Comunicação nos Domicílios (IBGE), analisa-se o número de compras pela internet realizadas no último mês ($Y$: $0, 2$ ou $5$ compras) segundo a faixa etária ($X$: grupo jovem dos $18\text{ aos }35$ anos [$X=1$] e grupo idoso com mais de $65$ anos [$X=2$]):

• Grupo jovem ($X=1$, $100$ pessoas): $10$ fazem $0$ compras, $40$ fazem $2$ compras e $50$ fazem $5$ compras.

• Grupo idoso ($X=2$, $100$ pessoas): $70$ fazem $0$ compras, $25$ fazem $2$ compras e $5$ fazem $5$ compras.

1. a) Estime: Antes de fazer qualquer cálculo numérico, observe a distribuição de frequências de cada subgrupo. Estime de forma aproximada entre quais valores deve estar a média de compras de cada grupo (por exemplo, ela estará abaixo ou acima de $2$?) e argumente em qual dos dois grupos os dados estão visivelmente mais concentrados em torno de zero.
2. b) Verifique: Calcule a média de compras condicionada a ser jovem ($\bar{y}_{|X=1}$) e a média condicionada a ser idoso ($\bar{y}_{|X=2}$). Verifique se os valores obtidos confirmam a sua estimativa prévia.
3. c) Diante de ambas as distribuições condicionadas, justifique se o número de compras realizadas pela internet é independente da idade nesta amostra.

Em um estudo de nutrição relaciona-se o conteúdo de carboidratos em gramas ($X$) e o conteúdo de proteínas em gramas ($Y$) de várias barras energéticas. Os resultados estão agrupados na seguinte tabela:

$X \setminus Y$	$5$	$10$	$15$
$20$	$8$	$12$	$0$
$30$	$2$	$15$	$5$
$40$	$0$	$4$	$14$

Calcule a média e o desvio padrão do conteúdo de proteínas para as barras que têm exatamente $30\text{ g}$ de carboidratos (distribuição $Y|X=30$).

O órgão de trânsito coletou dados sobre a idade dos condutores ($X$, em anos) e o número de multas recebidas no último ano ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[18, 30)$	$15$	$25$	$10$
$[30, 50)$	$40$	$15$	$5$
$[50, 70)$	$35$	$5$	$0$

Utilizando a marca de classe para a variável $X$, calcule a idade média dos condutores que receberam exatamente $1$ multa no último ano ($\bar{x}_{|y=1}$).

Em uma propriedade agrícola analisa-se a quantidade de fertilizante aplicado por hectare ($X$, em dezenas de kg) e a produção obtida ($Y$, em toneladas).

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
$1$	$5$	$1$	$0$
$2$	$2$	$8$	$2$
$3$	$0$	$3$	$9$

Calcule a variância da produção condicionada a que foram aplicados $20\text{ kg}$ de fertilizante ($\sigma^2_{Y|X=2}$).

Realiza-se uma pesquisa em uma escola perguntando o gênero ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) e a rede social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$30$	$20$	$10$
$2$	$45$	$30$	$15$

Calcule as distribuições de frequências relativas condicionadas $Y|X=1$ e $Y|X=2$. À luz dos resultados, o gênero e a rede social preferida são independentes nesta amostra?

Em um estudo sobre jogos eletrônicos, relaciona-se o número de horas jogadas por semana ($X$) com o nível alcançado no jogo ($Y$). Para o grupo de jogadores que dedicam $10$ horas ($X=10$), tem-se a seguinte distribuição incompleta:

$Y | X = 10$	$5$	$15$	$25$
$f_{j|10}$	$4$	$k$	$2$

Sabendo que o nível médio alcançado por esse grupo é $\bar{y}_{|x=10} = 13$, elabore uma equação e determine o valor da frequência absoluta desconhecida $k$.

Em uma fábrica, duas máquinas diferentes ($X=1$ e $X=2$) produzem o mesmo tipo de peça. Analisa-se o número de defeitos por lote ($Y$).

Para a Máquina 1 ($X=1$): $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ defeitos, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ defeitos.

Para a Máquina 2 ($X=2$): $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ defeitos, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ defeitos.

Calcule o coeficiente de variação condicionado para cada máquina ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) e indique qual máquina tem uma produção mais homogênea em relação ao número de defeitos.

O gráfico de bolhas a seguir representa a distribuição conjunta de duas variáveis discretas $X$ e $Y$. O tamanho da bolha e o texto adjacente indicam a frequência absoluta conjunta $f_{ij}$ de cada par de valores $(x_i, y_j)$.

Extraia a tabela de frequências da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 20$ e calcule a sua média aritmética $\bar{x}_{|y=20}$.

Em uma estação meteorológica registram-se a velocidade máxima do vento ($X$, em km/h) e a umidade relativa ($Y$, em %). Os dados são agrupados em intervalos bidimensionais:

$X \setminus Y$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
$[0, 20)$	$2$	$10$	$18$
$[20, 40)$	$5$	$15$	$6$
$[40, 60)$	$12$	$4$	$0$

Utilizando as marcas de classe, calcule a umidade relativa média nos dias em que a velocidade do vento esteve entre $40$ e $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40, 60)}$).

O Consórcio de Transportes analisa o nível de satisfação dos usuários com o serviço de ônibus intermunicipais ($Y$: $1 =\text{ Baixo}$, $2 =\text{ Médio}$, $3 =\text{ Alto}$) em função do tipo de título de transporte que utilizam ($X$: $1 =\text{ Passe Jovem}$, $2 =\text{ Bilhete Simples}$). A amostra de $300$ passageiros apresenta os seguintes dados:

Título ($X$) \ Satisfação ($Y$)	$1$ (Baixo)	$2$ (Médio)	$3$ (Alto)	Total
$X=1$ (Passe Jovem)	$20$	$50$	$30$	$100$
$X=2$ (Passagem Simples)	$40$	$100$	$60$	$200$
Total	$60$	$150$	$90$	$300$

Para averiguar se a satisfação com o serviço depende do título de transporte utilizado, dois técnicos propõem estratégias distintas:

• Método da Sofia: Calcula a média de satisfação condicionada a cada linha ($\bar{y}_{|X=1}$ e $\bar{y}_{|X=2}$) e as compara.

• Método do Matheus: Calcula a distribuição de frequências relativas condicionadas de cada linha (isto é, a porcentagem de usuários com nível $1, 2$ e $3$ dentro de cada tipo de bilhete) e as compara entre si e com a distribuição marginal de $Y$.

1. a) Aplique o método da Sofia calculando ambas as médias condicionadas.
2. b) Aplique o método do Matheus obtendo as porcentagens de cada linha.
3. c) Escolha o método: Embora neste caso ambos os métodos conduzam a uma conclusão compatível, justifique qual dos dois métodos é teoricamente o único rigoroso para demonstrar a independência estatística entre variáveis e que limitação apresenta o outro método (pense se duas distribuições com frequências muito distintas poderiam chegar a ter por coincidência a mesma média).

A comissão técnica de um time de basquete da Liga LEB Oro registra em $50$ jogos duas variáveis: o número de bolas de três pontos que o seu armador titular arremessa em um jogo ($X$, que assume os valores $2$ ou $6$ tentativas) e o número de bolas de três que ele converte ($Y$, que assume os valores $1$ ou $3$ acertos). A tabela de contingência de frequências absolutas é a seguinte:

$X \setminus Y$	$1$	$3$
$2$	$f_{11}$	$f_{12}$
$6$	$f_{21}$	$f_{22}$

Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre o desempenho do jogador:

1. Ele disputou exatamente $20$ jogos nos quais arremessou $2$ bolas de três e $30$ jogos nos quais arremessou $6$ bolas de três.

2. A média de bolas de três convertidas condicionada a ter arremessado $2$ bolas de três foi $\bar{y}_{|X=2} = 1,4$.

3. A média de bolas de três convertidas condicionada a ter arremessado $6$ bolas de três foi $\bar{y}_{|X=6} = 2,2$.

1. a) Formule um sistema de equações para a primeira linha e outro para a segunda linha, e calcule o valor das quatro frequências desconhecidas ($f_{11}, f_{12}, f_{21}$ e $f_{22}$).
2. b) Utilizando exclusivamente as médias condicionadas dadas e as dimensões de cada subgrupo, calcule a média global de bolas de três convertidas ($\bar{y}$) nos $50$ jogos, sem necessidade de somar casela a casela.

Dada a seguinte tabela de contingência com duas frequências absolutas desconhecidas, $a$ e $b$:

$X \setminus Y$	$2$	$6$
$10$	$4$	$a$
$20$	$b$	$2$

Sabe-se que a média de $Y$ condicionada a $X=10$ é $\bar{y}_{|x=10} = 5$ e que a média de $X$ condicionada a $Y=2$ é $\bar{x}_{|y=2} = 16$.

Elabore um sistema de equações e determine os valores das frequências $a$ e $b$.

Em um hospital testa-se um novo tratamento. A variável $X$ indica o tratamento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) e a variável $Y$ indica o resultado ($0=\text{No curado}$, $1=\text{Curado}$). Os pacientes são divididos em dois grupos de risco, formando duas distribuições condicionadas:

Grupo de Risco Baixo:

Tratamento Padrão: $10$ curados de $50$ pacientes.

Tratamento Novo: $2$ curados de $10$ pacientes.

Grupo de Risco Alto:

Tratamento Padrão: $6$ curados de $10$ pacientes.

Tratamento Novo: $25$ curados de $50$ pacientes.

Calcule a porcentagem de cura (que equivale à média $\bar{y}$) para cada tratamento dentro de cada grupo de risco. Depois, agrupe todos os pacientes e calcule a porcentagem de cura global para cada tratamento. Qual tratamento parece melhor nos grupos separados e qual parece melhor globalmente? (Este fenômeno é conhecido como o Paradoxo de Simpson).

Em um estudo estatístico sobre a variável $X$ (categoria profissional) e $Y$ (salário em milhares de reais), têm-se três categorias ($X=1, 2, 3$). Conhecem-se os seguintes dados das distribuições condicionais $Y|X=x_i$:

Categoria 1: $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Categoria 2: $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Categoria 3: $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calcule primeiro a média global marginal $\bar{y}$. Em seguida, calcule a variância marginal $\sigma_Y^2$ utilizando a fórmula de decomposição da variância (ou calculando a soma total de quadrados a partir dos dados fornecidos).

Uma distribuição bidimensional teórica de frequências relativas conjuntas (probabilidades) é dada pela expressão $h_{ij} = k \cdot (x_i + y_j)$, em que $X$ assume os valores $\{1, 2\}$ e $Y$ assume os valores $\{1, 2, 3\}$.

Construa a tabela de dupla entrada em função de $k$. Sabendo que a soma de todas as frequências relativas deve ser $1$, encontre o valor de $k$. Posteriormente, calcule a média da distribuição condicionada $X|Y=2$.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um analista financeiro estuda a relação entre o nível de risco de um fundo de investimento ($X$, pontuado de $1$ a $3$) e a sua rentabilidade anual ($Y$, em %).

$X \setminus Y$	$2$	$6$	$10$
$1$	$10$	$10$	$0$
$2$	$5$	$20$	$5$
$3$	$0$	$5$	$15$

O analista define a "razão de desempenho" de um nível de risco como o quociente entre a sua rentabilidade média condicionada e o seu desvio padrão condicionado: $R_i = \frac{\bar{y}_{|x=i}}{\sigma_{Y|X=i}}$.

Calcule essa razão para os níveis de risco $X=2$ e $X=3$. Qual nível de risco oferece uma melhor razão segundo esse critério?

Deseja-se reconstruir uma tabela de contingência $2 \times 2$ de frequências absolutas $f_{ij}$ para as variáveis $X \in \{0, 1\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Dispõe-se da seguinte informação sobre as distribuições marginais e condicionadas:

• Marginal de $X$: $N_{x=0} = 30$, $N_{x=1} = 20$.

• Marginal de $Y$: $N_{y=0} = 25$, $N_{y=1} = 25$.

• Média condicionada: $\bar{y}_{|x=0} = 0,3$ (lembre-se de que, como $Y$ assume os valores $0$ e $1$, a média coincide com a proporção de uns).

Calcule as quatro frequências conjuntas $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ e construa a tabela de dupla entrada completa.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um estudo de biologia marinha, relaciona-se a profundidade em que habita uma espécie ($X$, em metros) com o seu comprimento ($Y$, em cm). Os dados estão agrupados em intervalos de amplitudes diferentes:

$X \setminus Y$	$[0, 10)$	$[10, 30)$	$[30, 70)$
$[0, 50)$	$24$	$10$	$2$
$[50, 150)$	$6$	$18$	$16$

Utilizando as marcas de classe, calcule a variância do comprimento para os espécimes que habitam a zona profunda ($X \in [50, 150)$), ou seja, $\sigma^2_{Y|X \in [50, 150)}$.

Demonstre numericamente uma propriedade fundamental da independência estatística. Dada a seguinte tabela em que $X$ e $Y$ são independentes (suas frequências relativas conjuntas são o produto das marginais):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	Total
$1$	$10$	$30$	$40$
$2$	$15$	$45$	$60$
Total	$25$	$75$	$100$

Calcule a média marginal $\bar{y}$ e as médias condicionais $\bar{y}_{|x=1}$ e $\bar{y}_{|x=2}$. Verifique que, por serem independentes, vale a igualdade $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.

A Secretaria de Saúde de um estado analisa a eficácia de dois tratamentos ($A$ e $B$) contra uma doença respiratória sazonal. A variável $Y$ indica o resultado clínico ($1 =\text{ Curado}$, $0 =\text{ Não curado}$). O estudo é estratificado em dois grupos populacionais de acordo com a idade (Jovens e Idosos), obtendo-se os seguintes resultados:

• Grupo de pacientes jovens ($120$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $80$.

• Com o Tratamento $B$: de $20$ tratados, curam-se $18$.

• Grupo de pacientes idosos ($300$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $20$.

• Com o Tratamento $B$: de $200$ tratados, curam-se $50$.

1. a) Para o grupo de jovens, calcule a média de cura condicionada ao tratamento $A$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, A}$) e ao tratamento $B$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, B}$). Faça o mesmo para o grupo de idosos. Que tratamento obtém melhor taxa de sucesso em cada um dos dois grupos separadamente?
2. b) Agrupe os dados somando as pessoas de ambos os grupos etários para construir a tabela global de dupla entrada entre Tratamento ($A$ ou $B$) e Resultado ($0$ ou $1$). Calcule a média global de cura para cada tratamento ($\bar{y}_{|A}$ e $\bar{y}_{|B}$).
3. c) Compare os resultados obtidos no item (a) com os do item (b). Que fenômeno paradoxal você observa? Apoiando-se no conceito de distribuição condicionada e nas dimensões dos subgrupos aos quais foi administrado cada tratamento, explique por que ocorre essa aparente contradição (Paradoxo de Simpson) e fundamente que recomendação clínica deveria ser dada.

A partir de uma amostra representativa de $200$ pessoas empregadas no setor de serviços na Espanha, um estudo sociológico analisa a relação entre a modalidade de horário de trabalho ($X$: $1 =\text{ Presencial}$, $2 =\text{ Teletrabalho}$) e as horas semanais dedicadas em casa ao cuidado de familiares e às tarefas domésticas ($Y$: $5, 15$ ou $25\text{ horas}$). Sabe-se que $120$ pessoas trabalham de forma presencial e $80$ em teletrabalho.

No grupo de trabalho presencial ($X=1$), a distribuição de horas dedicadas é a seguinte: $36$ pessoas dedicam $5\text{ h}$, $60$ dedicam $15\text{ h}$ e $24$ dedicam $25\text{ h}$.

1. a) Modelo sob a hipótese de independência: Se a modalidade de trabalho e as horas de dedicação ao lar fossem variáveis estatisticamente independentes, quantas pessoas do grupo de teletrabalho ($N_{|X=2} = 80$) deveriam registrar exatamente $5, 15$ e $25$ horas domésticas? Justifique como você obtém essas frequências esperadas a partir das frequências relativas do grupo presencial.
2. b) Dados reais e cálculo: Os dados reais coletados na pesquisa para o grupo de teletrabalho ($X=2$) foram: $8$ pessoas dedicam $5\text{ h}$, $32$ pessoas dedicam $15\text{ h}$ e $40$ pessoas dedicam $25\text{ h}$. Calcule a média e a variância da distribuição de horas condicionada a cada modalidade: $(\bar{y}_{|X=1}, \sigma^2_{Y|X=1})$ e $(\bar{y}_{|X=2}, \sigma^2_{Y|X=2})$.
3. c) Interpretação sociológica e estatística: Tendo em conta os resultados do item (a) e os parâmetros calculados no item (b), conclua de forma fundamentada se as variáveis são dependentes ou independentes. Interprete o que revela a alteração na distribuição condicionada sobre o impacto do teletrabalho na assunção de tarefas domésticas.