Exercícios: Propriedades dos determinantes

Sabendo que o determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem 3 é $|A| = -4$, utilize as propriedades dos determinantes para calcular o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $|A^t|$, onde $A^t$ é a transposta de $A$.

1. b) O determinante da matriz resultante da troca entre si das duas primeiras linhas de $A$.

1. c) O determinante da matriz que se obtém ao multiplicar a terceira coluna de $A$ por $-5$.

Sem necessidade de realizar nenhuma operação nem aplicar a regra de Sarrus, justifique de forma fundamentada por que os seguintes determinantes são nulos:

1. a) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & 7 & 0 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Seja $M$ uma matriz de ordem $3 \times 3$ tal que seu determinante é $|M| = 2$. Calcule o valor do determinante da matriz $3M$. Explique qual propriedade usou e tome cuidado com a ordem da matriz.

Dadas duas matrizes quadradas $A$ e $B$ de mesma ordem, sabemos que $|A| = 3$ e $|B| = -2$. Calcule, indicando as propriedades aplicadas:

1. a) $|A \cdot B|$

1. b) $|B^2|$

1. c) $|A \cdot B^t|$

Em um videogame de estratégia, as coordenadas dos recursos são armazenadas em uma matriz $3 \times 3$ chamada $C$. Se sabemos que $|C| = 10$, qual seria o valor do determinante se duplicarmos todas as linhas da matriz (ou seja, se calcularmos $|2C|$)? Compare esse resultado com o obtido se duplicássemos apenas a primeira linha.

Demonstre, utilizando as propriedades dos determinantes, que se a uma linha de uma matriz quadrada for somada uma combinação linear das outras linhas, o valor do determinante não se altera. Para isso, verifique o que acontece com o determinante:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

se realizarmos a operação de linha $F_2 = F_2 + k \cdot F_1$.

Se $A$ é uma matriz de ordem 3 tal que $|A| = \frac{1}{2}$, calcule o determinante de sua matriz inversa $A^{-1}$ justificando a resposta mediante a propriedade do determinante do produto de matrizes.

Sabendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 6$, calcule o valor do seguinte determinante sem desenvolvê-lo:

Indique passo a passo quais propriedades foram utilizadas (troca de linhas e produto por um escalar).

A Júlia está se preparando para o vestibular e se depara com o seguinte enunciado: «Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem 3 com $|A| = 4$. Calcule $|-2A|$ e $|A + A|$». Em seu caderno ela escreve a seguinte resolução:

1) $|-2A| = -2 \cdot |A| = -2 \cdot 4 = -8$.

2) $|A + A| = |A| + |A| = 4 + 4 = 8$.

Identifique, de forma fundamentada, os dois erros conceituais cometidos pela Júlia, explique que propriedades formais dos determinantes ela ignorou ou aplicou incorretamente e redija a correção matemática rigorosa para obter os valores corretos de ambos os determinantes.

Dada uma matriz quadrada $M$ de ordem 3 com determinante conhecido $|M| = -2$, pretende-se transformá-la em uma nova matriz $P$ cujo determinante seja exatamente $|P| = 12$.

Elabore uma sequência de exatamente três transformações elementares sucessivas (operações sobre linhas ou colunas) que permitam obter $P$ a partir de $M$. Você deve especificar com clareza qual operação realiza em cada passo, justificar como varia o determinante aplicando as propriedades correspondentes e verificar que o resultado final é efetivamente 12.

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem 3 tal que seu determinante é $|A| = -2$. Utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes, calcule o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3 \cdot A^{-1}|$

1. c) $|\text{det}(A) \cdot A|$

No design de um novo videogame, a posição de um objeto no espaço 3D é definida por meio do determinante de uma matriz $M$ que representa seu volume. Sabe-se que:

$|M| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 12$

Calcule, justificando a propriedade aplicada, o valor do determinante da matriz $N$ que representa uma deformação do objeto:

$|N| = \begin{vmatrix} d & e & f \\ 2a-g & 2b-h & 2c-i \\ g & h & i \end{vmatrix}$

Sem desenvolver o determinante nem usar a regra de Sarrus, demonstre que o seguinte determinante é nulo para quaisquer valores dos parâmetros $a, b, c \in \mathbb{R}$:

$\begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix} = 0$

Indique em cada passo qual operação elementar ou propriedade você está utilizando.

Resolva a seguinte equação para $x \in \mathbb{R}$ aplicando as propriedades dos determinantes para simplificar a expressão antes de calcular seu valor:

$\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+1 & x \\ x & x & x+1 \end{vmatrix} = 0$

Dada a matriz $B$ de ordem 3, sabe-se que o determinante de sua matriz adjunta é $|\text{Adj}(B)| = 64$. Calcule de forma fundamentada os possíveis valores do determinante da matriz $B$. Posteriormente, calcule o determinante da matriz $2B^t$.

Um sistema de criptografia utiliza uma matriz $A$ de ordem 3 para codificar mensagens. Se o determinante da matriz é $|A| = k$, justifique como varia o determinante se forem realizadas as seguintes modificações de segurança:

1. Troca-se a primeira com a terceira linha para aumentar a entropia.

2. Multiplica-se a segunda coluna por $-1$ para alterar a polaridade dos bits.

3. Soma-se à primeira linha o triplo da segunda.

Qual seria o valor final do determinante em função de $k$?

Dada a matriz $A = (a_{ij})$ de ordem 3, cujos elementos são dados pela expressão $a_{ij} = i + j$, isto é,

Demonstre, utilizando propriedades de linhas (filas ou colunas) dos determinantes e sem desenvolvê-lo pela regra de Sarrus, que o seu determinante é $|A| = 0$.

Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas de ordem 2 tais que $|A| = 3$ e $|B| = -1$, calcule o valor do determinante da matriz $X$ obtida a partir da seguinte equação matricial:

$X = (A \cdot B)^t \cdot (2A)^{-1}$

Aplique as propriedades da transposição, da inversão e do produto para simplificar a expressão antes de substituir os valores numéricos.

Pretende-se calcular a expressão completamente fatorada do determinante da seguinte matriz de ordem 3:

Para abordá-lo, propõem-se dois procedimentos:

• Método 1 (Regra de Sarrus e fatoração algébrica posterior): Desenvolver diretamente os seis produtos diagonais e depois agrupar termos no polinômio resultante para extrair fatores comuns por tentativas.

• Método 2 (Propriedades das linhas e desenvolvimento por cofatores): Realizar as transformações elementares $F_2 \to F_2 - F_1$ e $F_3 \to F_3 - F_1$, aplicar as propriedades de extração de escalares por linhas e desenvolver pela primeira coluna.

Compare criticamente ambos os métodos, analisando o seu custo operacional e o risco de erro algébrico. Justifique qual dos dois é mais adequado e aplique-o passo a passo, enunciando cada propriedade dos determinantes que utilizar até obter o polinômio totalmente fatorado.

O Instituto Nacional de Estadística (INE) estuda as transições laborais anuais entre três setores econômicos em Espanha (Agricultura, Indústria e Serviços) mediante uma matriz estocástica por colunas $P$, de dimensão $3 \times 3$, onde cada coeficiente $p_{ij}$ representa a proporção de empregados que passam do setor $j$ para o setor $i$. Devido ao fato de a soma das proporções de cada coluna ser sempre 1, na matriz $P - I$ (onde $I$ é a matriz identidade de ordem 3) a soma dos elementos de cada coluna é igual a 0.

1. a) Utilizando as propriedades do determinante da matriz transposta e a anulação de determinantes quando existe uma combinação linear entre linhas ou colunas, demonstre formalmente que $|P - I| = 0$.
2. b) Se os registros do levantamento indicarem que $|P| = 0,25$, calcule fundamentadamente o determinante da matriz $Q = 3 \cdot P^2 \cdot (P^t)^{-1}$ indicando cada propriedade empregada, e interprete se a matriz de transição $P$ admite matriz inversa neste modelo demográfico.

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $n=4$ cujo determinante é $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes, calcule de forma fundamentada o valor do determinante da matriz $B$, definida como:

$B = (2A)^{-1} \cdot A^t \cdot Adj(A)$

Onde $A^t$ é a transposta de $A$ e $Adj(A)$ é sua matriz adjunta.

Demonstre, sem desenvolver o determinante pela regra de Sarrus nem pelos elementos de uma linha, que o seguinte determinante é nulo para qualquer valor dos parâmetros $x, y, z$ tais que $x+y+z=0$:

Dica: Tente realizar operações elementares entre colunas e linhas para obter fatores comuns ou linhas proporcionais.

No design de filtros para sinais de áudio, utiliza-se uma matriz de transferência $M$ que depende de uma frequência angular $\omega$. A matriz é dada por:

$M(\omega) = \begin{pmatrix} 1 & \cos(\omega) & \cos(2\omega) \\ \cos(\omega) & \cos(2\omega) & \cos(3\omega) \\ \cos(2\omega) & \cos(3\omega) & \cos(4\omega) \end{pmatrix}$

Calcule o determinante de $M(\omega)$ simplificando o resultado ao máximo por meio de identidades trigonométricas e propriedades dos determinantes.

Dadas duas matrizes $A$ e $B$ de ordem 3 tais que $|A| = 3$ e $|B| = -2$, calcule o valor do determinante da matriz $X$ que satisfaz a seguinte equação matricial:

$A \cdot X \cdot B^{-1} = (A^t \cdot Adj(A))^{-1}$

Justifique cada propriedade utilizada no processo (determinante do produto, da inversa, da transposta e relação entre uma matriz e sua adjunta).

Seja a matriz $A$ de ordem $n \times n$:

$A = \begin{pmatrix} 1+x & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1+x & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1+x & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1+x \end{pmatrix}$

Obtenha a expressão geral do seu determinante $|A|$ em função de $n$ e $x$. Aplique o resultado para encontrar o determinante de uma matriz de ordem 10 onde $x=2$.

Um algoritmo de visão computacional para reconhecer gestos utiliza uma matriz de transformação $T$ de ordem 3. Sabe-se que essa matriz é antissimétrica ($T^t = -T$).

1. a) Demonstre de forma fundamentada, usando as propriedades dos determinantes, que o determinante de qualquer matriz antissimétrica de ordem ímpar é sempre 0.

1. b) Se a matriz for modificada para ser $M = I + T$ (onde $I$ é a matriz identidade), o que você poderia afirmar sobre a invertibilidade de $M$ se sabemos que todos os autovalores de $T$ são imaginários puros?

(Nota para o aluno: Concentre-se na parte a) como núcleo do problema de determinantes).

Resolva a seguinte equação para $x \in \mathbb{R}$ sem realizar a expansão completa do polinômio, utilizando as propriedades das linhas para simplificar:

Sugestão: Observe a soma dos elementos de cada linha ou coluna.

Seja $A$ uma matriz de ordem 3 tal que seus elementos são $a_{ij} = i + j$. Seja $B$ outra matriz de ordem 3 tal que seus elementos são $b_{ij} = (-1)^{i+j}$.

1. a) Calcule $|A|$ e $|B|$ aplicando propriedades de combinação linear de linhas ou colunas.

1. b) Calcule o determinante da matriz $C = 2A^2 \cdot B^t$.

1. c) É possível encontrar uma matriz $D$ tal que $A \cdot D = I$? Raciocine a resposta com base no valor do determinante de $A$.

Considere uma matriz quadrada $A$ de ordem $n = 4$ cujo determinante é $|A| = -2$. A partir dela define-se a matriz $B = -A^3 \cdot (2A^t)^{-1}$.

1. a) Estime: Sem efetuar operações numéricas detalhadas, antecipe de forma qualitativa:

1. O sinal de $|B|$ será positivo ou negativo? Justifique sua hipótese considerando o sinal de $|A|$, o efeito da potência cúbica, o sinal negativo global e a inversão matricial.

2. O valor absoluto de $|B|$ será estritamente maior, igual ou menor do que 1? Argumente sua conjectura comparando mentalmente a magnitude das potências de base 2 que intervirão no numerador e no denominador.

1. b) Calcule: Obtenha o valor numérico exato de $|B|$ deduzindo cada passo a partir das propriedades do determinante do produto, da potência de matrizes, do produto por um escalar em ordem 4, da transposta e da inversa.
2. c) Verifique e reflita: Compare o resultado com suas estimativas iniciais e analise quais são os dois erros conceituais mais frequentes que se costumam cometer com o sinal $(-1)$ e com a constante 2 em matrizes de dimensão par.

Diz-se que uma matriz quadrada $A$ de dimensão $n$ é antissimétrica se coincide com a oposta da sua transposta, isto é, se verifica a igualdade matricial $A^t = -A$.

1. a) Apoiando-se de forma rigorosa nas propriedades $|A^t| = |A|$ e $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, demonstre formalmente que o determinante de qualquer matriz antissimétrica de ordem ímpar $n$ é obrigatoriamente nulo.
2. b) Problema inverso: Procura-se determinar se é possível encontrar uma matriz antissimétrica $A$ de ordem $n \in \{2, 3, 4, 5\}$ cujo determinante seja exatamente $|A| = 16$.

1. Deduza que dimensões do conjunto dado ficam automaticamente descartadas e por quê.

2. Para a menor ordem admissível, esquematize a estrutura algébrica geral com coeficientes reais da referida matriz antissimétrica, calcule simbolicamente o seu determinante e encontre um exemplo numérico concreto cujos elementos cumpram a condição $|A| = 16$.