Exercícios: Inversa de uma matriz usando determinantes

Em uma pequena empresa de logística, registra-se a quantidade de paletes de três tipos de produtos em três armazéns distintos por meio da seguinte matriz $A$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule o determinante da matriz $A$ utilizando a regra de Sarrus para verificar a consistência dos dados de inventário.

Um engenheiro está projetando um sistema de controle automático. Para que o sistema seja estável, a matriz de coeficientes $M$ não deve ser singular (o seu determinante deve ser diferente de zero). Dada a matriz:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determine para quais valores do parâmetro real $m$ a matriz $M$ é singular e, portanto, o sistema não teria inversa.

Dada a matriz de ordem 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcule justificadamente, aplicando as propriedades dos determinantes:

• a) O valor de $|A|$.

• b) O valor do determinante da sua transposta, $|A^t|$.

• c) O valor de $|2A|$.

Em um jogo eletrônico de estratégia, as coordenadas de transformação de uma unidade são gerenciadas por meio da matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Encontre a matriz adjunta, $Adj(B)$, e verifique se a matriz $B$ admite matriz inversa calculando previamente o seu determinante.

Calcule a matriz inversa $A^{-1}$ da seguinte matriz utilizando o método dos determinantes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Lembre-se de que a fórmula é $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Sabe-se que o determinante de uma matriz quadrada $X$ de ordem 3 é $|X| = -4$. Sem calcular os elementos das matrizes, obtenha o valor dos seguintes determinantes:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Resolva a equação matricial $A \cdot X = B$, onde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Para isso, calcule primeiro a inversa de $A$ por meio de determinantes e isole a matriz $X$.

Uma das aplicações mais interessantes dos determinantes em geometria é o cálculo de áreas. A área de um triângulo cujos vértices são $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ é dada pela fórmula:

$Area = \frac{1}{2} \cdot | \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} |$

Calcule a área do triângulo representado no gráfico a seguir cujos vértices são $P(1, 1)$, $Q(5, 2)$ e $R(2, 4)$.

O Hugo deve resolver a equação matricial $A \cdot X + B = C$, onde:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Na prova, o Hugo escreve o seguinte desenvolvimento:

1. Isola a equação como $A \cdot X = C - B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

2. Determina $|A| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1 \ne 0$, deduzindo que existe matriz inversa $A^{-1}$.

3. Calcula os adjuntos de $A$: $A_{11}=3$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-2$, $A_{22}=1$, e escreve diretamente $\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

4. Afirma que $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot \operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Finalmente, calcula a solução como $X = (C - B) \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$.

Realize as seguintes tarefas:

1. a) Localize e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais cometidos pelo Hugo (um na obtenção de $A^{-1}$ e outro no isolamento de $X$).
2. b) Corrija ambos os erros: calcule a matriz inversa $A^{-1}$ correta por meio da fórmula dos adjuntos e determine a matriz $X$ que satisfaz a equação original.

Dada a matriz quadrada de ordem $3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Antes de calcular qualquer matriz adjunta ou inversa, deduza de forma fundamentada o sinal e o valor exato de $|A^{-1}|$ e de $|\operatorname{Adj}(A)|$ utilizando exclusivamente o determinante $|A|$ e as propriedades teóricas dos determinantes.
2. b) Calcule passo a passo os 9 cofatores de $A$, construa a matriz de cofatores $\operatorname{Adj}(A)$ e obtenha a matriz inversa $A^{-1}$ aplicando a fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Verifique a coerência das suas deduções calculando diretamente o determinante da matriz $\operatorname{Adj}(A)$ que você obteve no item b), e confirmando que o produto matricial $A \cdot A^{-1}$ tem como resultado a matriz identidade $I_3$.

Dada a matriz $A$ dependente do parâmetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determine de forma justificada para quais valores de $k$ a matriz $A$ não possui matriz inversa.
2. b) Para o caso $k = 0$, calcule a matriz inversa $A^{-1}$ utilizando o método dos cofatores (adjuntos).

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas de ordem 3 tais que $|A| = 2$ e $|B| = -3$. Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Lembre-se da relação entre uma matriz, a sua adjunta e o seu determinante).

Resolva a seguinte equação matricial $X \cdot A + B = C$, onde:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifique previamente por que é possível encontrar a matriz inversa de $A$ e isole a incógnita $X$ antes de realizar os cálculos numéricos.

No desenho de um filtro digital para sinais de áudio, utiliza-se uma matriz de transferência $H$ definida como:

$$H(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

1. a) Determine os valores do parâmetro real $x$ para os quais o determinante da matriz é nulo.

1. b) Para $x = 2$, calcule a matriz inversa $H^{-1}$. Que significado tem o fato de o determinante ser muito próximo de zero em aplicações de engenharia?

Considere a matriz $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 1 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcule $|M|$ em função de $a$.
2. b) Determine o posto da matriz $M$ segundo os valores de $a$.
3. c) Para $a = 1$, resolva a equação matricial $M \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Sabendo que o determinante de uma matriz $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{pmatrix}$ é igual a $5$, utilize as propriedades dos determinantes para calcular, sem desenvolver por Sarrus, o valor do determinante da seguinte matriz $B$:

$$B = \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \end{pmatrix}$$

Indique detalhadamente qual propriedade é aplicada em cada passo da simplificação.

Diz-se que uma matriz quadrada $A$ é ortogonal se satisfaz a condição $A \cdot A^t = I$, onde $A^t$ é a transposta e $I$ a identidade.

1. a) Demonstre que, se $A$ é ortogonal, então o seu determinante só pode ser $1$ ou $-1$.
2. b) Verifique se a matriz $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ é ortogonal e encontre a sua inversa $A^{-1}$ em função de $\alpha$.

Um sistema de criptografia básico utiliza uma matriz $K$ para transformar mensagens em forma de vetor. Para que a mensagem possa ser descriptografada, a matriz $K$ deve ser invertível. Dada a matriz:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ m & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Encontre os valores de $m$ que fazem com que o sistema de criptografia seja inseguro (a matriz não seja invertível).
2. b) Se $m = 1$, calcule a matriz de descriptografia $K^{-1}$.

Considere a matriz de ordem $3$ dependente do parâmetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Propõem-se duas tarefas independentes:

1. Determinar para quais valores de $k$ a matriz $M$ é invertível (possui inversa).

2. Para o valor $k = 1$, calcular unicamente o elemento que ocupa a linha 3 e coluna 2 da matriz inversa, isto é, $(M^{-1})_{32}$.

1. a) Para a tarefa 1, compare a estratégia de escalonar a matriz pelo método de Gauss com o cálculo do seu determinante $|M|$. Justifique qual dos dois caminhos é mais conveniente neste caso e use-o para dar a resposta.
2. b) Para a tarefa 2, uma alternativa consiste em calcular a matriz inversa completa $M^{-1}$ e depois selecionar esse elemento; outra alternativa consiste em usar a fórmula $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \cdot (\operatorname{Adj}(M))^t$ para calcular unicamente o cofator necessário. Justifique qual dos dois caminhos requer menor custo de cálculo, deduza com precisão qual cofator $M_{ij}$ intervém (justificando o papel da transposição) e calcule o valor de $(M^{-1})_{32}$.

Uma empresa de consultoria tecnológica sediada em Salvador desloca suas três equipes de auditoria de ônibus intermunicipal durante um trimestre, adquirindo passagens de três tarifas distintas: Premium ($x$ reais), Conforto ($y$ reais) e Básico ($z$ reais). Na contabilidade do trimestre constam os seguintes dados de compra:

• Em outubro adquiriram 1 passagem Premium, 1 Conforto e 1 Básico, com um gasto total de $180$ reais.

• Em novembro adquiriram 2 passagens Premium, 1 Conforto e 2 Básicos, somando um gasto total de $300$ reais.

• Em dezembro adquiriram 1 passagem Premium, 3 Conforto e 2 Básicos, com um custo total de $330$ reais.

1. a) Modele a situação por meio de uma equação matricial da forma $A \cdot X = B$, indicando com clareza as matrizes $A$, $X$ e $B$ juntamente com suas dimensões.
2. b) Demonstre que a matriz de coeficientes $A$ é invertível calculando seu determinante $|A|$ e determine sua matriz inversa $A^{-1}$ aplicando o método da matriz adjunta transposta.
3. c) Isole algebricamente o vetor incógnita $X$ justificando a ordem da multiplicação matricial, realize o produto $A^{-1} \cdot B$ e determine o preço unitário exato de cada uma das três tarifas.

Determine os valores do parâmetro real $a$ para os quais o seguinte determinante de ordem 4 se anula. Para resolvê-lo, utilize exclusivamente as propriedades dos determinantes para simplificar a expressão antes de desenvolver pelos elementos de uma linha:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & 2 & -1 & 3 \\ a^2 & 4 & 1 & 9 \\ a^3 & 8 & -1 & 27 \end{vmatrix} $$

(Dica: Observe que se trata de uma estrutura similar a um determinante de Vandermonde).

Uma empresa de robótica está projetando o sistema de controle de um braço mecânico. A relação entre os sensores e os atuadores é dada pela equação matricial $A \cdot X \cdot A = B$, onde $A$ é uma matriz que depende da sensibilidade $k$ do sensor:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & k & 1 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Estude para quais valores de $k \in \mathbb{R}$ a matriz $A$ é invertível.
2. b) Para $k = 2$, isole a matriz $X$ na equação e calcule-a utilizando o método da matriz adjunta para encontrar as inversas necessárias.

No desenvolvimento de um novo jogo eletrônico de naves espaciais, as coordenadas dos objetos no espaço 3D são transformadas por meio de uma matriz de rotação e escala $M$. Para que o motor gráfico possa "desfazer" a transformação, a matriz deve ter inversa.

$$M = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^a \end{pmatrix}$$

1. a) Demonstre que o determinante de $M$ é $|M| = e^a$ para qualquer valor do ângulo $\alpha$.
2. b) Calcule a matriz inversa $M^{-1}$ em função de $\alpha$ e $a$ utilizando determinantes.
3. c) Se um objeto termina na posição $(1, 1, 1)$ após aplicar $M$ com $\alpha = \frac{\pi}{2}$ e $a = 0$, quais eram as coordenadas originais dele?

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem 3 tal que o seu determinante é $|A| = \frac{1}{2}$. Sem calcular explicitamente os elementos da matriz, utilize as propriedades dos determinantes para encontrar, justificando, o valor de:

1. a) $|A^{-1} \cdot (2A)^t|$
2. b) $|Adj(A)|$, onde $Adj(A)$ é a matriz formada pelos cofatores dos elementos de $A$.
3. c) O determinante da matriz $B$ se for sabido que $A \cdot B = Adj(A)$.

Um sistema de criptografia utiliza uma matriz $C$ para transformar blocos de mensagens. Para que a mensagem seja recuperável, o posto da matriz deve ser máximo. Estude o posto da seguinte matriz em função dos parâmetros reais $m$ e $n$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 & 1 \\ n & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & m \end{pmatrix}$$

Determine para quais valores de $m$ e $n$ o posto de $C$ é igual a 2.

Considere a matriz $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Encontre o polinômio $P(x) = |A|$.
2. b) Determine os valores de $x$ para os quais $A$ não tem inversa.
3. c) Para os valores de $x$ nos quais $A$ é inversível, encontre a expressão de $A^{-1}$ em função de $x$.
4. d) Verifique que, para $x=0$, vale que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Sabe-se que uma matriz quadrada $A$ verifica a seguinte igualdade: $A^2 - 5A + 6I = O$, onde $I$ é a matriz identidade e $O$ é a matriz nula.

1. a) Demonstre fundamentadamente que a matriz $A$ é invertível.
2. b) Expresse a matriz inversa $A^{-1}$ como uma combinação linear das matrizes $A$ e $I$.
3. c) Se $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, verifique que ela satisfaz a equação inicial e determine a sua inversa utilizando o resultado do item (b).

Dada a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$, pede-se:

1. a) Calcule $|A|$ e fatore o resultado.
2. b) Se $a=1, b=2, c=3$, calcule a matriz inversa $A^{-1}$ pelo método dos cofatores.
3. c) Resolva o sistema de equações $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ utilizando a matriz inversa encontrada no item anterior.

Uma matriz quadrada $A$ de ordem $3$ com coeficientes reais tem como matriz adjunta:

$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Sabendo que para qualquer matriz de ordem $n$ invertível vale $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$, deduza os possíveis valores do determinante $|A|$ sem calcular previamente os elementos da matriz $A$.
2. b) A partir da identidade fundamental $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, isole, com justificativa, a matriz $A$ em função de $|A|$ e da matriz inversa de $(\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Determine de forma explícita todas as matrizes $A$ compatíveis com a matriz adjunta dada e justifique algebricamente por que existem exatamente duas soluções distintas.

Seja $A$ uma matriz quadrada invertível de ordem $3$ cujo determinante é $|A| = 2$.

1. a) A partir da relação $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ e da propriedade do determinante da inversa, demonstre formalmente que $|\operatorname{Adj}(A^{-1})| = \dfrac{1}{|\operatorname{Adj}(A)|}$ e calcule o seu valor numérico exato para a matriz $A$.
2. b) Define-se a matriz $B = 2 \cdot A^t \cdot A^{-1}$. Justifique de forma fundamentada se a matriz $B$ é invertível, calculando previamente o valor do seu determinante $|B|$.
3. c) Considere a equação matricial $(\operatorname{Adj}(A))^t \cdot X = A^2$, em que $X$ é uma matriz quadrada incógnita de ordem $3$. Utilizando a propriedade $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, isole a matriz $X$ em função de $A$ e demonstre que o determinante de $X$ é independente dos elementos numéricos que constituem a matriz $A$, calculando o seu valor exato.