Exercícios: Determinante de uma matriz. Regra de Sarrus

Em um software de design gráfico, uma transformação de escala é definida por uma matriz de ordem 2. Para que a imagem não se deforme completamente, é necessário calcular o determinante dessa matriz. Calcule o valor do determinante da seguinte matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Para que um sistema de controle de temperatura seja estável, o determinante de sua matriz de coeficientes deve ser diferente de zero. Dada a matriz $B$, determine para qual valor do parâmetro $x$ o determinante da matriz é igual a $10$:

$$B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & x-1 \end{pmatrix}$$

Calcule, aplicando a Regra de Sarrus, o valor do determinante da matriz $M$. Utilize o esquema visual das diagonais para organizar seus produtos:

$$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Diz-se que uma matriz quadrada é singular se seu determinante for nulo (o que implica que não tem inversa). Verifique se a seguinte matriz $C$ é singular ou regular (não singular) calculando seu determinante:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

Encontre o valor de $k$ para que a seguinte igualdade seja satisfeita, resolvendo o determinante da esquerda mediante a Regra de Sarrus:

$$\begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = 0$$

Na física de partículas, às vezes aparecem matrizes com funções trigonométricas. Demonstre que o valor do determinante da seguinte matriz $T$ é independente do valor do ângulo $\alpha$:

$$T = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

A área de um triângulo no plano, cujos vértices são $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ e $P_3(x_3, y_3)$, pode ser calculada por meio da fórmula:

$$Área = \frac{1}{2} \cdot | \det(A) |$$

onde $A$ é a matriz formada pelas coordenadas dos pontos e uma coluna de uns. Calcule a área do triângulo da figura cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(0, 5)$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcule o determinante da matriz $D$. Observe atentamente suas linhas antes de começar; você poderia prever o resultado com base na relação entre suas linhas?

$$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$$

Ao calcular o determinante da matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & -3 \end{pmatrix}$ em uma prova, o Marcos aplica a regra de Sarrus e escreve o seguinte desenvolvimento:

$$|A| = 1\cdot 2\cdot (-3) + 0\cdot 1\cdot (-1) + (-2)\cdot 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2\cdot (-2) + 4\cdot 1\cdot 1 - (-3)\cdot 3\cdot 0$$

Ele obtém como resultado $|A| = -6 + 0 - 24 - 4 + 4 - 0 = -30$, concluindo que a matriz é regular.

1. a) Identifique e explique o erro conceitual que o Marcos comete nos sinais dos produtos das diagonais ascendentes.
2. b) Corrija o raciocínio usando os parênteses de forma adequada para evitar confusões com os sinais negativos e calcule o valor correto de $|A|$.
3. c) Diante do resultado corrigido, indique se a conclusão do Marcos sobre a matriz ser regular ou singular se mantém ou muda, definindo com precisão ambos os termos.

Considere um terreno triangular em uma planta técnica cujos vértices têm coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, 2)$ e $C(3, 7)$, expressas em metros.

1. a) Antes de calcular qualquer determinante, faça uma estimativa fundamentada da área do triângulo: observe que o lado $AB$ é paralelo ao eixo horizontal, determine o seu comprimento como base, deduza a altura correspondente em relação ao vértice $C$ e calcule a área geométrica elementar esperada ($\text{Área} = \frac{\text{base}\cdot \text{altura}}{2}$).
2. b) Escreva a matriz de ordem 3 com a coluna de uns associada a esses vértices e calcule o seu determinante aplicando a regra de Sarrus para determinar a área por meio da fórmula matricial.
3. c) Verifique se o resultado coincide com a sua estimativa. Em seguida, explique que valor numérico o determinante teria assumido se as linhas tivessem sido colocadas na ordem $B$, depois $A$ e depois $C$, e justifique por que a fórmula da área incorpora obrigatoriamente um valor absoluto.

Resolva a seguinte equação igualando a zero o determinante da matriz $A$, aplicando a regra de Sarrus para obter o polinômio resultante:

$$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Encontre todas as soluções reais da equação $|A| = 0$.

Em um videogame de estratégia, a área de uma região triangular é fundamental para calcular o alcance de uma torre de defesa. Se os vértices do triângulo no mapa de coordenadas são $P(2, 1)$, $Q(6, 2)$ e $R(3, 5)$, calcule a área dessa região utilizando o valor do determinante da matriz formada por suas coordenadas:

$$Área = \frac{1}{2} \cdot \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|$$

Dada a matriz $M$ que depende do parâmetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Determine, pela regra de Sarrus, para quais valores de $k$ o determinante da matriz é nulo. Justifique se para $k = 0$ a matriz possui inversa com base no resultado obtido.

Sem desenvolver o determinante por completo, use as propriedades e a regra de Sarrus para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:

$$\begin{vmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ c & c+1 & c+2 \end{vmatrix} = 0$$

Explique qual relação linear existe entre suas colunas que justifique o resultado de forma imediata.

Considere uma matriz de rotação no plano $R$ definida por:

$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcule seu determinante utilizando a regra de Sarrus e simplifique a expressão utilizando a identidade fundamental da trigonometria. O valor do determinante depende do ângulo de rotação $\alpha$?

Sabe-se que o determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem 3 é $|A| = -4$. Calcule, justificando cada passo e mencionando as propriedades dos determinantes utilizadas, o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $\det(2A)$
2. b) $\det(A^3)$
3. c) $\det(A \cdot A^t)$

Um sistema de criptografia utiliza uma matriz $3 \times 3$ como chave. Para que a mensagem seja recuperável, o determinante da matriz chave deve ser exatamente $1$. Determine o valor de $x$ para que a seguinte matriz seja uma chave válida:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & 2 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Dadas as matrizes $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcule o determinante da matriz produto $C = A \cdot B$ de duas formas distintas:

1. Realizando primeiro o produto das matrizes e aplicando Sarrus ao resultado.

2. Utilizando a propriedade do determinante do produto de matrizes.

Verifique que ambos os resultados coincidem.

Uma cooperativa agrícola de Ribeirão Preto consulta a cartografia do CAR para delimitar uma nova plantação de laranjais de forma triangular. No sistema de coordenadas locais (onde cada unidade equivale a $100\text{ m}$, de forma que $1\text{ unidade}^2 = 1\text{ hectare} = 10\,000\text{ m}^2$), os vértices da propriedade são $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ e $C(2, k)$, onde a cota $k$ é um parâmetro real fixado pelo traçado de um caminho.

1. a) Escreva o determinante de ordem 3 que modela o cálculo da área da propriedade em função de $k$ e obtenha a sua expressão polinomial simplificada por meio da regra de Sarrus.
2. b) O relatório pericial exige que a superfície total seja exatamente de $4{,}5\text{ hectares}$. Formule a equação com valor absoluto correspondente e calcule todos os valores reais possíveis de $k$.
3. c) Encontre o valor de $k$ que faz com que o determinante seja igual a $0$. Explique o que acontece geometricamente com a parcela nesse caso e por que razão ela carece de viabilidade física para o cultivo.

Deseja-se construir uma matriz quadrada $A$ de ordem $3$ que cumpra simultaneamente as quatro condições a seguir:

1. Todos os seus elementos pertencem ao conjunto $\{-1, 0, 1\}$.

2. Os elementos da sua diagonal principal são todos iguais a um ($a_{11} = a_{22} = a_{33} = 1$).

3. A matriz é simétrica ($a_{ij} = a_{ji}$ para todo $i, j$).

4. O seu determinante é $|A| = 0$ (é uma matriz singular).

1. a) Escreva a forma geral de uma matriz que cumpra as condições 2 e 3 usando três variáveis ($x, y, z$) e aplique a regra de Sarrus para obter uma expressão algébrica do seu determinante em função dessas variáveis.
2. b) Encontre uma atribuição de valores $x, y, z \in \{-1, 0, 1\}$ que verifique $|A| = 0$. Escreva a matriz numérica resultante e verifique o seu determinante desenvolvendo por Sarrus passo a passo.
3. c) Analise se é possível encontrar uma matriz com as condições 1, 2 e 3 cujo determinante seja exatamente $|A| = -1$. Se for possível, construa-a; se não for, justifique a impossibilidade a partir da expressão algébrica encontrada no item a).

No estudo das oscilações harmônicas de um sistema físico, surge a necessidade de calcular o determinante da seguinte matriz de coeficientes trigonométricos. Utilize a Regra de Sarrus para simplificar a expressão e demonstre que o valor do determinante é independente do valor da variável $\alpha$:

$A = \begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \cos^2 \alpha & 1 \\ \cos^2 \alpha & \sin^2 \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determine todos os valores reais de $x$ para os quais o determinante da matriz $M$ é igual a zero. Para resolver a equação resultante, lembre-se das propriedades das funções exponenciais:

$M = \begin{pmatrix} 2^x & 4^x & 1 \\ 1 & 2^x & 8^x \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Sabe-se que o volume de um paralelepípedo definido por três vetores $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ que partem de um mesmo vértice é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz formada por suas componentes.

Se os vetores são $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, k)$, calcule por meio da regra de Sarrus o valor de $k$ para que o paralelepípedo se "achate" (seu volume seja zero) e justifique a relação deste resultado com a dependência linear dos vetores.

Dada a matriz $B$ cujos elementos envolvem logaritmos decimais, utilize a Regra de Sarrus e as propriedades dos logaritmos para encontrar o valor exato do seu determinante sem usar a calculadora:

$B = \begin{pmatrix} \log 2 & \log 5 & 1 \\ \log 4 & \log 25 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

No campo dos números complexos, as operações matriciais seguem as mesmas regras. Calcule o valor do determinante da matriz $Z$ e expresse o resultado na forma binômica ($a + bi$):

$Z = \begin{pmatrix} i & 1-i & 0 \\ 2 & i & 1 \\ 1+i & 0 & -i \end{pmatrix}$

(Nota: $i$ é a unidade imaginária tal que $i^2 = -1$)

Considere a matriz $A$ de ordem 3 cujos elementos seguem a lei de formação $a_{ij} = x^{i+j}$ (onde $i$ é a linha e $j$ a coluna, começando por 1).

$A = \begin{pmatrix} x^2 & x^3 & x^4 \\ x^3 & x^4 & x^5 \\ x^4 & x^5 & x^6 \end{pmatrix}$

Calcule seu determinante utilizando a Regra de Sarrus e justifique, com base nas propriedades das linhas de um determinante, por que o resultado é o que você obtém para qualquer valor de $x \in \mathbb{R}$.

Um sistema de segurança da informação utiliza uma matriz $K$ para criptografar dados. Para que o código seja reversível, o determinante da matriz não pode ser nulo. Analise por meio da regra de Sarrus para quais valores do parâmetro $m$ o sistema de criptografia falharia:

$K = \begin{pmatrix} m & m+1 & m-1 \\ 1 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}$

No plano cartesiano consideram-se os pontos $A(1, 2)$, $B(4, 5)$ e $C(m, 2m - 1)$, onde $m$ é um parâmetro real. Deseja-se descobrir para que valor de $m$ os três pontos estão alinhados (não formam triângulo). Dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Método 1 (Sarrus direto em ordem 3): Montar a condição $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ m & 2m - 1 & 1 \end{pmatrix} = 0$ e resolver a equação após desenvolver os seis produtos diagonais.

• Método 2 (Translação para a origem e ordem 2): Tomar $A$ como origem, calcular os vetores $\vec{u} = \vec{AB}$ e $\vec{v} = \vec{AC}$, e exigir que o determinante de ordem 2 formado por ambos os vetores se anule: $\det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix} = 0$.

1. a) Desenvolva por completo o Método 1 aplicando a regra de Sarrus e determine o valor de $m$.
2. b) Desenvolva o Método 2 calculando as componentes de ambos os vetores e resolvendo o determinante de ordem 2.
3. c) Compare ambos os procedimentos: verifique se conduzem à mesma solução, analise qual dos dois é mais eficiente e tem menor risco de erro algébrico, e justifique a equivalência teórica entre ambos recorrendo à interpretação geométrica do determinante.

Considere a matriz de ordem 3 dependente da variável real $x$:

$$A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{pmatrix}$$

onde $a$ e $b$ são duas constantes reais fixadas e distintas entre si ($a \ne b$).

1. a) Aplique a regra de Sarrus para calcular $|A(x)|$. Agrupe os termos segundo as potências de $x$ e fatore o polinômio resultante até demonstrar que $|A(x)| = (b - a)(x - a)(x - b)$.
2. b) A partir da forma fatorada, determine de forma justificada para que valores de $x$ a matriz $A(x)$ é singular e para quais é regular.
3. c) Observe que as linhas de $A(x)$ contêm as coordenadas de três pontos do plano situados sobre a parábola $y = x^2$: $P(x, x^2)$, $Q(a, a^2)$ e $R(b, b^2)$, juntamente com uma coluna de uns. Utilizando a relação entre o determinante e a área de um triângulo, demonstre que três pontos distintos sobre o gráfico de $y = x^2$ nunca podem estar alinhados.