Exercícios: Cálculo de determinantes

Um jovem streamer está analisando o crescimento do seu canal. Para comparar o impacto de dois dos seus vídeos, ele organiza os dados de "Likes" e "Compartilhamentos" em uma matriz $A$ de ordem $2 \times 2$: cada linha corresponde a um vídeo e cada coluna a um tipo de dado. Calcule o determinante da matriz $A$ para obter um índice de repercussão:

Calcule o valor do determinante da matriz $B$ utilizando a Regra de Sarrus. Esta matriz representa o inventário de componentes (chips, telas e baterias) de três depósitos de uma loja de tecnologia:

Em um videogame de estratégia, o poder de um ataque mágico é calculado resolvendo uma equação baseada em um determinante. Encontre o valor de $x$ para que o seguinte determinante seja igual a $0$:

Sem realizar cálculos complexos, justifique por que os seguintes determinantes valem $0$ utilizando as propriedades dos determinantes:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Uma empresa de logística utiliza uma matriz triangular superior para organizar suas rotas de entrega de forma eficiente. Calcule o determinante da matriz $L$ sabendo que, para este tipo de matriz, o cálculo se simplifica enormemente:

Dada a matriz $M$, calcule seu menor complementar $\alpha_{21}$ e seu cofator $A_{21}$:

Sabemos que o determinante de uma matriz $A$ de ordem $2 \times 2$ é $|A| = 5$. Se multiplicarmos todos os elementos da segunda linha por $3$, qual será o valor do novo determinante? Justifique sua resposta com base nas propriedades.

Em um programa de design gráfico, a área de um triângulo com um vértice na origem $(0,0)$ e os outros dois em $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ pode ser calculada como metade do valor absoluto do determinante formado por suas coordenadas. Calcule a área do triângulo formado pelos pontos $(0,0)$, $(4, 2)$ e $(1, 5)$.

O Mateo deve calcular o determinante da matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Para poupar tempo, observa que a segunda linha tem dois zeros e decide desenvolver por Laplace ao longo dessa linha. O desenvolvimento escrito por ele é:

Convencido do seu método, no exercício seguinte aplica exatamente a mesma regra para calcular o determinante da matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$, desenvolvendo pela terceira linha:

Ao corrigi-lo, a professora indica que o valor obtido para $|A|$ foi correto por acaso, devido à posição do elemento, mas que em $|B|$ ele cometeu um erro conceitual importante.

a) Identifique o erro conceitual cometido pelo Mateo ao calcular $|B|$, explicando, com a definição de adjunto ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$), que elemento ele omitiu.

b) Justifique por que, na matriz $A$, o procedimento dele não alterou o resultado numérico final.

c) Corrija o cálculo de $|B|$ e indique o seu valor real.

Para calcular o determinante da matriz de ordem $4 \times 4$:

propõem-se dois caminhos distintos:

• Estratégia 1: Realizar operações elementares entre linhas pelo método de Gauss até obter uma matriz triangular superior e multiplicar os elementos da diagonal principal.

• Estratégia 2: Aplicar o desenvolvimento de Laplace através dos cofatores da segunda linha, reduzindo o cálculo diretamente a um determinante de ordem 3.

a) Compare ambas as estratégias e justifique qual é notavelmente mais rápida e eficiente para esta matriz concreta em função do número de zeros que ela contém.

b) Seguindo a estratégia que você selecionou como preferencial, calcule de forma fundamentada o determinante de $M$ mostrando detalhadamente os cálculos intermediários.

Dada a matriz quadrada $A$ de ordem 3, sabe-se que seu determinante é $|A| = -2$. Utilize as propriedades dos determinantes para calcular, de forma fundamentada, o valor de:

a) $|A^3|$

b) $|3 \cdot A^t|$

c) $|A^{-1} \cdot (2A)|$

d) O determinante da matriz resultante de trocar as duas primeiras linhas de $A$ e multiplicar a terceira linha por $-5$.

Encontre todos os valores reais de $x$ para os quais se satisfaz a seguinte igualdade entre determinantes:

Calcule o valor do determinante da matriz $M$ de ordem 4 transformando-a previamente em uma matriz triangular superior pelo método de Gauss (obtendo zeros abaixo da diagonal principal):

Sabendo que o determinante de uma matriz quadrada $B$ de ordem 3 é:

Calcule, sem desenvolver por Sarrus, o valor do determinante da matriz $C$:

Determine para quais valores do parâmetro real $k$ a matriz $A$ não tem inversa. Para isso, iguale seu determinante a zero e resolva a equação resultante:

No desenvolvimento de um videogame de estratégia, a posição de três unidades no mapa é dada pelas linhas de uma matriz. O determinante dessa matriz indica a área de influência do batalhão. Calcule o valor de $a$ para que a área de influência seja nula (unidades alinhadas ou linearmente dependentes) no seguinte sistema:

Nota: Este é um determinante do tipo Vandermonde. Tente simplificá-lo usando propriedades das colunas antes de calculá-lo.

Calcule o valor do seguinte determinante de ordem 4, desenvolvendo pelos elementos da linha ou coluna que considerar mais adequada (Teorema de Laplace):

Resolva a equação matricial $|X| = 0$, onde $X = A - \lambda I$, sendo $A$ a matriz dada e $I$ a matriz identidade de ordem 3. Encontre os valores de $\lambda$ que anulam o determinante (autovalores):

Deseja-se construir uma matriz $A = (a_{ij})$ de ordem $3 \times 3$ com coeficientes inteiros não negativos ($a_{ij} \in \{0, 1, 2, \dots\}$) destinada a um algoritmo de criptografia, sujeita às seguintes condições simultâneas:

1. A matriz $A$ é triangular superior (isto é, $a_{ij} = 0$ sempre que $i > j$).

2. A soma dos três elementos da sua diagonal principal é igual a $7$.

3. O seu determinante vale exatamente $|A| = 12$.

4. O cofator do elemento $a_{11}$ vale $A_{11} = 6$.

a) Deduza, de forma fundamentada, o valor único de $a_{11}$ a partir das propriedades do determinante de uma matriz triangular e do menor complementar associado.

b) Determine os possíveis valores dos demais elementos diagonais $a_{22}$ e $a_{33}$.

c) Escreva uma matriz concreta $A$ que cumpra todas as condições exigidas e verifique explicitamente, por meio do produto da sua diagonal e do cálculo de $A_{11}$, que os resultados coincidem com os dados fixados.

Uma equipe técnica da empresa pública Tragsa está elaborando um relatório para o Cadastro sobre uma parcela de olival na província de Jaén. No mapa topográfico oficial, os limites da fazenda determinam um triângulo cujos três vértices têm coordenadas $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ e $C(3, 8)$ (medidas em hectômetros, $\text{hm}$).

Em cartografia, a área de uma região triangular plana com vértices $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ calcula-se pela expressão:

a) Para calcular $|M|$ de forma eficiente sem recorrer à regra de Sarrus, aplique operações elementares entre linhas ($F_2 \to F_2 - F_1$ e $F_3 \to F_3 - F_1$) para gerar dois zeros na terceira coluna e desenvolva depois pelos cofatores dessa coluna.

b) Calcule a área resultante da parcela e interprete o resultado expressando-o em hectares ($1\text{ hm}^2 = 1\text{ ha}$).

c) O proprietário vizinho sustenta que uma casa de irrigação situada nas coordenadas $D(5, 2)$ está alinhada exatamente sobre o limite reto que une $A$ e $B$. Formule o determinante correspondente para verificar o alinhamento e conclua, de forma fundamentada, se a afirmação é verdadeira ou falsa, sem desenhar os pontos.

Seja a matriz $A = (a_{ij})$ de ordem $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = i + j$. Considere também uma matriz $B$ tal que seu determinante é $|B| = 2$. Utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes, calcule de forma raciocinada o valor do determinante da matriz $M$, sendo:

Argumente se o resultado obtido permite afirmar que a matriz $M$ tem inversa.

No projeto de um componente aeronáutico, a estabilidade estrutural é dada pelo determinante de uma matriz de tensões $T$. Sabe-se que o determinante da seguinte matriz depende de um parâmetro de carga $k$:

1. a) Calcule o valor do determinante em função de $k$ utilizando as propriedades dos determinantes para simplificar o cálculo (evite o desenvolvimento direto por Sarrus).
2. b) Determine para quais valores de $k$ o componente é instável ($|T| = 0$).
3. c) Se $k=3$, qual relação existe entre as linhas da matriz?

Um sistema de posicionamento GPS utiliza quatro satélites para triangular uma posição no espaço. O volume do tetraedro formado pelos quatro satélites está relacionado com o valor absoluto do determinante da matriz de suas coordenadas. Calcule de forma fundamentada o valor do seguinte determinante de ordem 4, que representa uma configuração específica desses satélites:

Expresse o resultado como um polinômio em $a$ simplificado ao máximo.

Dada a matriz dependente de um parâmetro real $\lambda$:

1. a) Encontre os valores de $\lambda$ para os quais a matriz $A(\lambda)$ não tem inversa.
2. b) Para $\lambda = 0$, resolva a equação matricial $A \cdot X \cdot A^t = I$, onde $I$ é a matriz identidade de ordem 3. Calcule $|X|$ de forma indireta antes de encontrar a matriz $X$.

Sejam $C_1, C_2, C_3$ as três colunas de uma matriz quadrada $M$ de ordem 3, tais que seu determinante é $|M| = -5$. Calcule, justificando cada passo com a propriedade correspondente, o valor do determinante da matriz cujas colunas são:

Em uma rede de telecomunicações, a capacidade de fluxo é modelada por meio do determinante da matriz de adjacência $W$. Define-se $W$ como:

1. a) Demonstre, sem desenvolver o determinante pela regra de Sarrus, que $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Se os nós $a, b, c$ representam frequências de transmissão, que condição devem cumprir para que o determinante seja diferente de zero? Justifique a importância dessa condição para a independência dos sinais.

Resolva a seguinte equação de terceiro grau utilizando as propriedades dos determinantes para fatorar o polinômio resultante:

Indique passo a passo as operações elementares realizadas sobre as linhas ou colunas.

Estude o posto da seguinte matriz $A$ em função dos valores dos parâmetros reais $m$ e $n$:

Para o caso em que $m=1$ e $n=2$, calcule o determinante da matriz adjunta de $A$, ou seja, $|Adj(A)|$, sem calcular previamente os elementos da matriz adjunta. (Dica: utilize a relação entre uma matriz, sua adjunta e seu determinante).

Considere a matriz simétrica de ordem $4 \times 4$:

a) Estime: Se todos os elementos fora da diagonal principal fossem zeros, a matriz resultante seria diagonal e o seu determinante valeria $4^4 = 256$. Justifique conceitualmente se você espera que o determinante real $|C|$ seja maior ou menor do que $256$, considerando que a presença de valores positivos fora da diagonal faz com que as linhas sejam "mais dependentes" entre si.

b) Calcule: Para triangularizar a matriz sem introduzir frações:

1. Substitua a primeira linha pela soma das quatro linhas ($F_1 \to F_1 + F_2 + F_3 + F_4$) e extraia para fora do determinante o fator comum resultante.

2. Na matriz restante, subtraia a primeira linha de cada uma das outras ($F_i \to F_i - F_1$ para $i = 2, 3, 4$) para obter uma matriz triangular superior.

3. Obtenha o valor numérico exato de $|C|$ multiplicando os elementos da diagonal.

c) Verifique e generalize: Compare o valor exato com a sua estimativa inicial. Em seguida, generalize o raciocínio para deduzir uma fórmula fechada para o determinante de uma matriz de ordem $n \times n$ que tenha o valor $k$ em toda a diagonal principal e o valor $1$ em todas as demais posições.

Considera-se a matriz de ordem $4 \times 4$ dependente do parâmetro real $k$:

Dois alunos discutem a melhor estratégia para calcular $|A(k)|$ e analisar para que valores de $k$ a matriz não tem inversa:

• O Lucas propõe triangularizar por Gauss dividindo a primeira linha por $k$ para eliminar os uns da primeira coluna.

• A Beatriz defende que dividir por $k$ é problemático se não se analisar o caso $k = 0$ separadamente, e sustenta que desenvolver por Laplace por linhas ou colunas com zeros (ou subtrair linhas entre si) evita qualquer divisão pelo parâmetro.

a) Justifique por que razão a proposta do Lucas é metodologicamente incompleta se não distinguir casos, explicando o risco algébrico de realizar operações elementares que impliquem dividir por uma expressão paramétrica.

b) Seguindo a estratégia da Beatriz, calcule $|A(k)|$ mediante o método de Laplace ou combinações de linhas que não exijam dividir, detalhando os menores adjuntos calculados até obter o polinômio fatorado em função de $k$.

c) Determine todos os valores reais de $k$ para os quais a matriz $A(k)$ não é invertível, analisando o que acontece com o posto da matriz quando $k = 0$.