Exercícios: Álgebra de matrizes usando determinantes

Em uma escavação arqueológica, foram registradas as coordenadas de três pontos-chave que formam um setor de busca. Para calcular a área deste setor, primeiro precisamos obter o valor do determinante da seguinte matriz de posição $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule o valor de $|A|$ utilizando a regra de Sarrus.

Uma empresa de entregas utiliza um sistema de codificação baseado em matrizes. Para que uma mensagem seja "descriptografável", a matriz utilizada $M$ deve ser invertível.

Dada a matriz $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determine para quais valores do parâmetro real $k$ a matriz não tem inversa (ou seja, é uma matriz singular).

Sem realizar o desenvolvimento completo da matriz, aplique as propriedades dos determinantes para justificar por que o seguinte determinante é igual a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Dica: Observe a relação entre a primeira e a segunda linha).

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $3$ cujo determinante é $|A| = -2$. Utilize as propriedades dos determinantes para calcular os seguintes valores:

1. a) $|A^t|$ (determinante da transposta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante da inversa).
3. c) $|3A|$ (determinante da matriz multiplicada pelo escalar $3$).

Calcule a matriz inversa $A^{-1}$ da matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilizando o método da matriz adjunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$

Siga estes passos:

1. Encontre o determinante $|A|$.

2. Calcule a matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

3. Realize a transposição e divida pelo determinante.

Determine o posto da seguinte matriz $B$ estudando seus menores:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indique, justificando, se o posto é $1$, $2$ ou $3$.

Resolva a seguinte equação matricial para encontrar a matriz incógnita $X$:

$A \cdot X = B$

Onde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Lembre-se: $X = A^{-1} \cdot B$. É necessário calcular primeiro $A^{-1}$).

Calcule o valor do determinante da seguinte matriz $4 \times 4$ desenvolvendo pelos elementos da segunda linha (aquela que tem mais zeros):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

Em uma prova de Matemática II, o Mateo resolve o seguinte exercício:

«Sabendo que $A$ é uma matriz quadrada de ordem $3$ cujo determinante é $|A| = -2$, calcule de forma fundamentada o valor de $|-2\cdot A^{-1}|$ e de $|\operatorname{Adj}(A)|$.»

O desenvolvimento que o Mateo escreve é o seguinte:

1) Para o primeiro determinante: $|-2\cdot A^{-1}| = -2\cdot |A^{-1}| = -2\cdot \frac{1}{|A|} = -2\cdot \frac{1}{-2} = 1$.

2) Para o segundo determinante: Como vale a propriedade $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$, aplicando determinantes em ambos os membros obtenho $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|\cdot |I| = -2\cdot 1 = -2$.

Realize as seguintes tarefas:

1. a) Localize e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais cometidos pelo Mateo, indicando com precisão qual propriedade dos determinantes ele aplicou de forma errada em cada item.
2. b) Corrija o desenvolvimento do Mateo e calcule os valores corretos de $|-2\cdot A^{-1}|$ e $|\operatorname{Adj}(A)|$, justificando cada passo por meio das propriedades correspondentes.
3. c) Deduza a fórmula geral que relaciona $|\operatorname{Adj}(A)|$ com $|A|$ para qualquer matriz quadrada invertível de ordem $n$, partindo da identidade fundamental $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$.

Considere a matriz de Vandermonde $V$ associada aos valores reais ordenados $x = -1$, $y = 2$ e $z = 4$:

$$V = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}$$

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, estime de forma fundamentada o sinal de $|V|$ apoiando-se na posição relativa dos três valores $x < y < z$ e na estrutura fatorada do determinante de Vandermonde $(y - x)(z - x)(z - y)$. Justifique se o determinante poderia ser nulo ou negativo sem alterar a ordem das linhas.
2. b) Calcule o valor numérico exato de $|V|$ utilizando as transformações elementares por linhas necessárias para obter zeros na primeira coluna, verificando se coincide com o resultado da expressão fatorada.
3. c) Se, a partir de $V$, for construída uma nova matriz $W$ trocando a primeira e a terceira linha e, posteriormente, multiplicando a segunda linha por $-3$: estime o sinal do novo determinante $|W|$ antes de calculá-lo e confirme a sua estimativa aplicando as propriedades dos determinantes sobre o resultado obtido no item b).

Sabendo que o determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem 3 é $|A| = -2$, utilize as propriedades dos determinantes para calcular, de forma justificada, o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) O determinante da matriz resultante de multiplicar a primeira linha de $A$ por $5$, trocar a segunda e a terceira linhas, e transpor a matriz.

Dada a matriz $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determine os valores do parâmetro real $k$ para os quais a matriz $M$ é singular (não tem inversa).

1. b) Para o valor $k = 0$, calcule a matriz inversa $M^{-1}$ usando o método da matriz adjunta.

Resolva a seguinte equação matricial $A \cdot X \cdot B = C$, onde as matrizes $A$, $B$ e $C$ são:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Justifique previamente que as matrizes $A$ e $B$ são invertíveis calculando os seus determinantes.

Considere a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcule o determinante de $A$ em função do parâmetro $m$.

1. b) Determine o posto da matriz $A$ de acordo com os valores de $m$.

Dada a matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcule:

1. a) O determinante de $A$ pela regra de Sarrus.

1. b) A matriz dos cofatores $\text{Adj}(A)$.

1. c) Verifique que vale a propriedade $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, em que $I$ é a matriz identidade de ordem 3.

Sabe-se que uma matriz quadrada $B$ satisfaz a equação $B^2 - 3B + 2I = O$, em que $I$ é a matriz identidade e $O$ é a matriz nula.

1. a) Demonstre que $B$ é uma matriz invertível (tem inversa) e expresse $B^{-1}$ em função de $B$ e $I$.

1. b) Se $B$ é de ordem 2 e o seu determinante é $|B| = 2$, qual é o determinante da matriz adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Resolva o sistema de equações matriciais para encontrar as matrizes $X$ e $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Uma vez encontradas, calcule o determinante da matriz produto $X \cdot Y$.

Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica três tipos de circuitos: $C_1$, $C_2$ e $C_3$. O custo de produção de cada circuito é determinado pelo determinante da matriz de materiais $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabendo que $x$, $y$ e $z$ representam as quantidades de silício, cobre e estanho, respectivamente, demonstre que o determinante desta matriz (Vandermonde) é $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Se para um circuito concreto as quantidades são $x=1$, $y=2$ e $z=4$, a matriz $M$ é invertível? Justifique sua resposta utilizando o resultado do item anterior.

Considera-se uma matriz quadrada invertível $A$ de ordem $3$ cujo determinante é $|A| = -2$. Deseja-se determinar o valor do determinante da matriz resultante $M = \operatorname{Adj}\big(2\cdot A^t \cdot A^{-1}\big)$.

Para resolver esta questão, dois estudantes propõem estratégias opostas:

• Caminho A (Construtivo): Propor uma matriz diagonal concreta cujo determinante seja $-2$ (por exemplo, com elementos $1$, $1$ e $-2$ na diagonal), calcular de forma explícita a transposta, a inversa, multiplicá-las por $2$, determinar os cofatores da matriz resultante para construir a sua adjunta e, por fim, calcular o seu determinante pela regra de Sarrus.

• Caminho B (Estrutural): Aplicar de forma encadeada as propriedades algébricas dos determinantes (determinante do produto, da transposta, da inversa, colocação em evidência do escalar $2$ em dimensão $3$ e a propriedade do determinante da matriz adjunta).

1. a) Analise criticamente o Caminho A: argumente por que calcular uma matriz particular não constitui uma demonstração válida para qualquer matriz $A$ e que riscos algébricos isso acarreta.
2. b) Aplique o Caminho B deduzindo a expressão simplificada de $|M|$ em função de $|A|$ e da ordem $n=3$, mostrando detalhadamente qual propriedade intervém em cada igualdade.
3. c) Obtenha o valor numérico final de $|M|$ e explique por que este resultado não depende do valor concreto $|A| = -2$, desde que $|A| \neq 0$.

A operadora do sistema elétrico monitora a produção de energia solar fotovoltaica em uma usina no Nordeste durante três momentos de um dia de verão: às $t_1 = 10$ h registram-se $16\text{ MW}$, às $t_2 = 13$ h atingem-se $25\text{ MW}$ (pico de radiação) e às $t_3 = 16$ h a produção desce para $16\text{ MW}$. Para ajustar uma curva contínua de previsão quadrática da forma $P(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c$:

1. a) Formule o modelo na forma de sistema matricial $M\cdot X = Y$, em que o vetor de incógnitas é $X = \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix}$, o vetor de termos independentes é $Y = \begin{pmatrix} 16 \\ 25 \\ 16 \end{pmatrix}$ e a matriz de coeficientes $M$ tem linhas da forma $(1, t_i, t_i^2)$.
2. b) Demonstre que $M$ é uma matriz de Vandermonde e calcule o seu determinante $|M|$ por meio de transformações elementares por linhas (subtraindo de cada linha a anterior), sem desenvolver diretamente pela regra de Sarrus.
3. c) Interprete o significado matemático de que $|M| \neq 0$: o que garante esse fato sobre a existência e a unicidade da parábola de previsão? O que aconteceria com a invertibilidade de $M$ se uma falha no sensor duplicasse a coleta de dados na mesma hora ($t_2 = t_1$)?

Considere a matriz de ordem 4 dependente do parâmetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilizando exclusivamente as propriedades dos determinantes, realize as seguintes tarefas:

1. a) Encontre o valor do determinante de $M$ em função de $k$, apresentando o resultado de forma fatorada.

1. b) Determine os valores de $k$ para os quais a matriz $M$ não tem inversa.

1. c) Para o caso $k = 2$, calcule o valor do determinante da matriz adjunta de $M$, isto é, $|Adj(M)|$, sem calcular explicitamente os elementos de tal matriz adjunta.

Uma empresa de logística utiliza um algoritmo de criptografia baseado na álgebra matricial para proteger suas rotas. A chave de segurança é uma matriz $X$ que satisfaz a seguinte equação:

$$A \cdot X \cdot A^t = B - 2I$$

onde $I$ é a matriz identidade de ordem 2 e as matrizes $A$ e $B$ são:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifique, utilizando determinantes, que a matriz $A$ é inversível.

1. b) Isole a matriz $X$ na equação anterior.

1. c) Calcule explicitamente a matriz $X$.

Dada a matriz quadrada de ordem $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Para o caso $n = 3$, demonstre que o determinante da matriz é $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generalize o resultado anterior para uma matriz de ordem $n$ e deduza a expressão de $|D_n|$ em função de $x, a$ e $n$.

1. c) Se $x = 5$ e $a = 2$, para quais valores de $n$ a matriz $D_n$ seria singular?

Estude a característica da matriz $A$ segundo os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Para realizar o estudo, utilize o método dos menores orlados e justifique detalhadamente sob quais condições o posto é 1, 2 ou 3.

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas de ordem 3 tais que $|A| = 2$ e $|B| = -1$. Calcule, justificando cada passo com as propriedades dos determinantes, o valor dos seguintes determinantes:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Se sabemos que uma matriz $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriz idempotente), demonstre que o seu determinante só pode ser 0 ou 1.

Considere a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determine os valores do parâmetro $m$ para os quais a matriz $A$ possui inversa.

1. b) Para $m = 2$, resolva a equação matricial $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, onde $Adj(A)$ é a matriz adjunta de $A$ e $I$ é a matriz identidade.

Sugestão: Utilize a relação fundamental entre uma matriz e a sua adjunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

Em um sistema de controle de tráfego aéreo, a posição de três drones em um dado instante é definida pelas colunas de uma matriz $P$. No modelo simplificado utilizado, considera-se que a configuração é segura apenas se o determinante de $P$ não se anular. Dada a matriz:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcule os valores de $k$ para os quais os drones estariam em uma configuração "crítica" (determinante nulo).

1. b) Para $k = 0$, verifique se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, encontre a sua inversa $P^{-1}$ pelo método da matriz adjunta.

1. c) Demonstre que, para qualquer valor de $k \neq 1$ e $k \neq -2$, vale que $P(k)$ é inversível.

Resolva o seguinte sistema de equações matriciais para as matrizes incógnitas $X$ e $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

onde as matrizes de coeficientes são:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Uma vez encontradas $X$ e $Y$:

1. a) Calcule $|X \cdot Y|$ e $|X + Y|$.
2. b) Determine se a matriz produto $X \cdot Y$ é inversível utilizando o seu determinante.

Considere a família de matrizes quadradas de ordem $3$ dependentes de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$

1. a) Utilizando exclusivamente propriedades dos determinantes, obtenha a expressão completamente fatorada de $|M(a, b)|$. Determine as equações das retas do plano cartesiano $(a, b)$ que formam o conjunto de pontos em que a matriz $M(a, b)$ não é invertível.
2. b) PROBLEMA INVERSO: Encontre todos os pares de números reais $(a, b)$ que satisfazem simultaneamente as três condições seguintes:

1. Verifica-se a ordenação estrita $a < b < 3$.

2. A distância entre ambos os parâmetros é unitária: $b - a = 1$.

3. A matriz satisfaz a equação com determinantes $|2\cdot (M(a, b))^{-1}| = \frac{4}{3}$.

1. c) Para a matriz concreta $M$ que resulta do par de valores obtido na alínea anterior, calcule, justificando, o determinante da sua matriz adjunta, $|\operatorname{Adj}(M)|$, e o determinante da matriz inversa da sua transposta, $|(M^t)^{-1}|$.

Dada a matriz dependente de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Para classificar a característica e a invertibilidade de $M(a, b)$ no plano real $(a, b)$, dois estudantes contrastam os seus métodos de trabalho:

• Método da Alba: Aplicar o algoritmo de eliminação de Gauss mediante operações elementares por linhas ($L_2 \to L_2 - L_1$, $L_3 \to L_3 - a\cdot L_1$) para escalonar a matriz e contar o número de pivôs não nulos.

• Método do Bruno: Calcular e fatorar o determinante de maior ordem $|M(a, b)|$ mediante propriedades para delimitar as regiões de característica 3, e estudar posteriormente os lugares geométricos onde $|M(a, b)| = 0$ analisando menores de ordem inferior.

1. a) Compare criticamente ambos os métodos: explique que inconvenientes e riscos de bifurcação com parâmetros nos denominadores o método da Alba apresenta em comparação com a robustez do método do Bruno.
2. b) Aplicando o método do Bruno, demonstre que o determinante se fatora como $|M(a, b)| = (1 - a)\cdot [b\cdot(a + 1) - 2]$. Identifique geometricamente no plano $(a, b)$ a reta e a hipérbole que formam a fronteira onde a matriz não tem inversa.
3. c) Demonstre que em quase todos os pontos da referida fronteira a característica da matriz é $2$, mas existe um único ponto singular $(a_0, b_0)$ em todo o plano onde a característica diminui para $1$. Determine esse ponto justificando a sua resposta com o valor de todos os seus menores de ordem 2.

Desafio do tema. É viável modelar e prever a distribuição da matriz energética nacional?

1. Obtenção de dados: Acesse o site do Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS) ou do IBGE e extraia a produção diária (em GWh) de três fontes renováveis durante 3 dias consecutivos para construir uma matriz quadrada $A_{3\times 3}$.

2. Estudo analítico: Calcule $|A|$ aplicando a regra de Sarrus e determine o posto de $A$ por meio de menores. Incorpore um parâmetro de previsão climática $t$ em uma das linhas ($A(t)$); aplique as propriedades dos determinantes e calcule o limite $\lim_{t \to 1} |A(t)|$ para identificar se o sistema fica bloqueado por dependência linear.

3. Álgebra matricial: Construa um vetor de demanda diária $B$ (em GWh) como demanda esperada: atribua probabilidades a diferentes cenários de consumo (por exemplo, probabilidade $p = 0,35$ de pico no verão) e pondere a demanda de cada cenário pela sua probabilidade. Justifique a existência de $A^{-1}$ por meio de determinantes, calcule-a com a matriz adjunta e resolva em uma planilha a equação $A \cdot X = B$ para encontrar os fatores de ponderação $X$ (um por fonte, ou seja, por coluna de $A$, de modo que a produção ponderada cubra a demanda $B$).

4. Proposta final: Redija um relatório de uma página que exponha a robustez do modelo diante de flutuações reais da rede.

Será avaliado:

• Correção e destreza no cálculo de $|A|$, $\text{rg}(A)$ e $A^{-1}$ por meio de determinantes e Sarrus.

• Aplicação rigorosa da álgebra matricial, limites e propriedades de determinantes.

• Extração fidedigna de dados oficiais e justificativa matemática das conclusões.