Exercícios: Sem ordenação

Em um torneio de xadrez participam $14$ jogadores. Se cada jogador deve enfrentar uma única vez todos os outros, determine o número total de partidas que serão disputadas no torneio.

Para preparar uma salada, você dispõe de $8$ ingredientes diferentes (alface, tomate, cenoura, cebola, pepino, atum, milho e azeitonas). Calcule quantas saladas diferentes de $4$ ingredientes você pode preparar.

Uma prova consta de $10$ perguntas. O professor indica que os alunos devem escolher e responder a apenas $6$ delas. Determine de quantas formas diferentes um aluno pode selecionar as perguntas a responder.

Em uma reunião de trabalho há $12$ pessoas. Ao terminar, todas se despedem cumprimentando-se com um aperto de mão uma única vez. Calcule quantos apertos de mão ocorrem no total.

Determine o valor de $x$ na seguinte igualdade entre números combinatórios, sabendo que $x \neq 4$:

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calcule o valor da seguinte expressão utilizando as propriedades dos números combinatórios:

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

De um baralho espanhol de $40$ cartas, extraem-se simultaneamente $3$ cartas ao acaso. Determine quantos resultados diferentes podem ser obtidos.

Marcam-se $7$ pontos sobre uma circunferência. Calcule quantos segmentos diferentes podem ser traçados unindo dois desses pontos.

Para a disciplina de Língua Castelhana e Literatura do 4.º ano do ESO, os professores disponibilizam uma lista de 7 leituras recomendadas, das quais cada estudante deve escolher 3 para realizar um trabalho durante o período. Sergio afirma com segurança: «Para escolher o primeiro livro tenho 7 opções; para o segundo, 6; e para o terceiro, 5. Portanto, no total há $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ formas possíveis de escolher as minhas 3 leituras».

1. a) Identifica o erro concetual cometido por Sergio e explica por que razão o seu cálculo gera um número muito maior do que as escolhas reais.
2. b) Quantas vezes é que o Sergio está a contar cada possível grupo de 3 livros? Relaciona a tua resposta com as permutações desses 3 elementos.
3. c) Escreve a fórmula correta utilizando a notação do número combinatório $\binom{n}{k}$ e calcula quantas seleções distintas de 3 livros se podem fazer na realidade.

Numa turma de 24 estudantes do 4.º ano do ESO deve-se escolher uma delegação de convivência formada por 2 representantes para participar nas reuniões da escola.

1. a) Antes de aplicar qualquer fórmula, faz uma estimativa fundamentada sem fazer cálculos minuciosos: achas que o número de pares possíveis estará na ordem das dezenas, das centenas ou dos milhares? Argumenta a tua resposta pensando nas opções que cada estudante tem.
2. b) Modela a situação através do número combinatório adequado, realiza o cálculo e verifica se a tua estimativa inicial foi acertada.
3. c) A partir da propriedade de simetria dos números combinatórios $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, explica por que razão escolher os 2 representantes da delegação equivale matematicamente a escolher os 22 estudantes que ficam de fora, sem necessidade de calcular fatoriais adicionais.

Uma empresa precisa formar uma equipe de projeto composta por $3$ engenheiros e $2$ economistas. Se no quadro de funcionários há $8$ engenheiros e $5$ economistas disponíveis, calcule quantas equipes diferentes podem ser formadas.

Numa doceria vendem-se $6$ tipos diferentes de doces. Determine de quantas formas diferentes se podem comprar $4$ doces, levando em conta que se pode escolher vários do mesmo tipo.

Calcule o número total de diagonais que se podem traçar em um polígono regular de $10$ lados (decágono).

Resolva a seguinte equação para encontrar o valor do número natural $n$:

$C_{n, 2} = 45$

Extraem-se $5$ cartas simultaneamente de um baralho de $40$ cartas (dividido em $4$ naipes de $10$ cartas cada um). Determine em quantos dos resultados possíveis há exatamente $3$ cartas do naipe de ouros.

Um robô se desloca por uma grade do ponto $A$ até o ponto $B$. Ele só pode realizar movimentos para a direita ou para cima, avançando uma interseção a cada passo. Calcule o número de trajetórias diferentes que ele pode seguir.

Você dispõe de $8$ ingressos idênticos para um show e quer distribuí-los entre os seus $4$ melhores amigos. Calcule de quantas formas você pode distribuí-los, sabendo que um amigo pode receber vários ingressos ou até nenhum.

Em um questionário de $12$ perguntas, você deve responder obrigatoriamente a um total de $8$. No entanto, as $3$ primeiras perguntas são de resposta obrigatória. Determine de quantas formas diferentes você pode completar a sua seleção de perguntas.

Em um torneio regional de padel federado em Minas Gerais, a fase prévia é disputada por grupos independentes. Em cada grupo, todas as duplas inscritas jogam exatamente uma partida contra cada uma das outras duplas do seu próprio grupo (sistema de campeonato de turno único). Ao fechar a ata da fase prévia, a organização confirma que no Grupo A foram disputadas exatamente 45 partidas no total.

1. a) Escreva uma equação combinatória utilizando a notação $\binom{n}{k}$ em que apareça o número desconhecido $n$ de duplas inscritas no Grupo A.
2. b) Desenvolva algebricamente o número combinatório para transformar a igualdade em uma equação do segundo grau na forma geral.
3. c) Resolva a equação, analise as duas soluções obtidas descartando, com fundamentação, a que não fizer sentido neste contexto e indique quantas duplas competiam no referido grupo.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) vai auditar a manutenção de uma rede de estações meteorológicas automáticas na Serra da Mantiqueira. Dispõe de 9 estações situadas em zonas de montanha e 6 estações em zonas litorâneas. O protocolo técnico estabelece que se deve selecionar uma amostra de 6 estações composta obrigatoriamente por 4 estações de montanha e 2 estações litorâneas.

1. a) Justifique matematicamente por que a seleção de cada categoria deve ser modelada por meio de combinações sem repetição e não por meio de arranjos ou permutações.
2. b) Aplique o princípio multiplicativo para calcular quantas amostras diferentes de 6 estações podem ser configuradas cumprindo a cota estabelecida.
3. c) Se, por motivos técnicos, se decidir que a estação de montanha situada no Pico da Bandeira deve fazer parte da amostra de forma obrigatória, calcule quantas amostras distintas de 6 estações (4 de montanha e 2 do litoral) podem ser selecionadas agora.

Um hospital deve formar uma equipe de plantão noturno de $5$ pessoas, selecionada de um grupo de $7$ médicos e $6$ enfermeiros. Calcule quantas equipes diferentes podem ser formadas se as normas exigirem que a equipe contenha pelo menos $3$ médicos.

Em uma grade formada por $9$ pontos distribuídos em $3$ linhas e $3$ colunas, determine quantos triângulos diferentes podem ser formados usando esses pontos como vértices. Observe que três pontos alinhados não formam um triângulo.

Encontre o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação combinatória:

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$

O jogo da Mega-Sena consiste em escolher $6$ números de um total de $49$. Se já se conhece a combinação vencedora de $6$ números, calcule quantas apostas diferentes entre as possíveis teriam exatamente $4$ acertos.

Um robô se desloca por uma grade do nó $A$ até o nó $B$, movendo-se unicamente para a direita e para cima. Ele deve passar obrigatoriamente pelo nó $C$ para recolher um pacote. Determine quantas rotas válidas existem.

Em uma sorveteria oferecem $5$ sabores diferentes. Você quer comprar $8$ potes de sorvete para uma festa, mas deseja garantir que leva pelo menos um pote de cada um dos $5$ sabores. Calcule de quantas formas diferentes você pode fazer o seu pedido.

Uma urna contém $6$ bolas vermelhas, $5$ bolas azuis e $4$ bolas verdes. Retiram-se $4$ bolas simultaneamente. Calcule quantos resultados diferentes contêm exatamente $2$ bolas vermelhas e pelo menos $1$ bola azul.

O jogo de dominó tradicional vai até o duplo seis (as pontuações vão de $0$ a $6$). Um fabricante decide criar um "superdominó" que vá até o duplo nove (as pontuações vão de $0$ a $9$). Calcule quantas peças no total terá esse novo jogo e quantas delas não serão duplas.

Um júri médico para a avaliação das provas do sistema MIR no Ministério da Saúde deve ser constituído por 6 pessoas, selecionadas de um grupo composto por 4 especialistas em Medicina de Família e Comunidade e 7 especialistas em Clínica Médica. O regulamento exige que no júri resultante figure pelo menos um especialista em Medicina de Família e Comunidade.

Dois membros da comissão propõem métodos distintos para calcular o número de júris válidos:

• Método 1 (Direto): Dividir o problema em casos disjuntos de acordo com o número de médicos de família (1, 2, 3 ou 4), calcular as combinações de cada caso multiplicando pelos clínicos necessários e somar todos os resultados.

• Método 2 (Complementar): Calcular todos os júris possíveis de 6 pessoas que se podem formar com os 11 médicos disponíveis sem qualquer restrição e subtrair os júris não válidos (aqueles onde não há nenhum especialista em Medicina de Família e Comunidade).

1. a) Desenvolva por completo ambos os métodos, propondo seus números combinatórios, e verifique numericamente que ambos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Compare criticamente ambos os métodos: qual você considera mais eficiente em tempo e com menor risco de erro de cálculo numa situação de prova? Justifique sua escolha analisando o número de operações de cada um.
3. c) Se o regulamento mudasse e exigisse que no júri houvesse «pelo menos 3 especialistas em Medicina de Família e Comunidade», o método complementar continuaria a ser mais curto do que o direto? Justifique sua resposta raciocinando sobre a quantidade de casos favoráveis em comparação com os desfavoráveis.

No traçado ortogonal do bairro de l'Eixample de Barcelona, um entregador de encomendas de bicicleta deve se deslocar do cruzamento A até o cruzamento B. Para otimizar a rota, o entregador avança unicamente para leste ou para norte em cada cruzamento, necessitando de um trajeto exato de 5 quarteirões para leste e 3 quarteirões para norte (um total de 8 quarteirões de deslocamento).

1. a) Modele o trajeto por meio da combinatória: explique por que qualquer rota ótima de 8 quarteirões equivale a escolher as vezes de avanço em uma das duas direções e calcule quantas rotas distintas unem A a B por meio da expressão $\binom{m+p}{m}$.
2. b) A Guarda Municipal fechou por obras o cruzamento intermediário C, situado exatamente a 2 quarteirões a leste e 1 quarteirão a norte do ponto A. Modele quantas das rotas possíveis passariam necessariamente pelo cruzamento C e deduza quantas rotas alternativas livres de obras ficam disponíveis para o entregador.
3. c) Suponha que o entregador deve obrigatoriamente entregar uma encomenda urgente no cruzamento D (localizado a 4 quarteirões a leste e 2 a norte de A) e que o cruzamento C continua fechado. Proponha e calcule a expressão combinatória que determina quantas rotas distintas permitem ir de A até B passando obrigatoriamente por D, mas evitando em todo momento o cruzamento fechado C.

Desafio do tema. Como influenciam a ordem e a seleção ao formar uma comissão juvenil? Elabore uma proposta matemática baseada em dados demográficos reais.

1. Obtenção de dados: Entre no site do INE e localize os $8$ nomes mais frequentes da sua província no seu ano de nascimento.

2. Modelagem combinatória: Com esses $8$ nomes como candidatos, calcule e justifique:

3. Eleição de presidente, secretário e vogal (cargos diferenciados em que a ordem importa): arranjos $V_{8,3}$.

4. Comissão de convivência de $3$ vogais iguais (agrupamento sem ordenação): combinações $C_{8,3}$.

5. Posições possíveis para uma fotografia em fila dos $8$ membros: permutações $P_8$.

6. Planilha e relatório: Elabore uma tabela em uma planilha que calcule automaticamente $V_{n,3}$, $C_{n,3}$ e $P_n$ para valores de $n$ entre $5$ e $12$. Redija um breve relatório fundamentando por que motivo $C_{n,3}$ é sempre menor do que $V_{n,3}$ e aconselhe a sua escola sobre qual sistema (cargos diferenciados ou comissão sem cargos) é mais adequado, explicando por que razão um maior número de configurações possíveis não implica, por si só, maior diversidade na comissão.

Será valorizado:

• Rigor na obtenção de dados do INE e correção do cálculo combinatório ($V$, $P$ e $C$).

• Domínio eficaz da planilha na automatização de fórmulas.

• Argumentação clara sobre o papel da ordem na tomada de decisões.