Exercícios: O movimento harmónico simples

Um balanço oscila livremente após um empurrão. Cronometrando, completa $15$ oscilações completas em $30\ \text{s}$. A figura mostra o balanço em três posições da sua oscilação.

1. a) Defina, aplicando-os ao balanço, os conceitos de elongação, amplitude, período e frequência.
2. b) Calcule o período $T$ e a frequência $f$ da oscilação.

A elongação de uma massa que oscila ligada a uma mola horizontal é dada, em unidades do Sistema Internacional, por $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Quanto valem a amplitude $A$ e a frequência angular $\omega$?
2. b) Calcule o período $T$ e a frequência $f$ do movimento, lembrando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ e $f = \frac{1}{T}$.

Um oscilador descreve um movimento harmônico simples com a equação $x = 0,08 \cdot \sen(\pi \cdot t)$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Calcule a elongação no instante $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) Qual é o valor máximo que a elongação pode assumir? Em que instantes ele é atingido?

O período de um oscilador massa-mola é $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. No laboratório, um bloco de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscila preso a uma mola de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcule o período da oscilação.

O período de um pêndulo simples é $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. O lustre do átrio de um museu está suspenso por um cabo de $l = 1\ \text{m}$ de comprimento e oscila levemente após uma corrente de ar (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcule o seu período de oscilação.

Um eletrocardiograma registra um ritmo cardíaco de $75$ batimentos por minuto, perfeitamente regular. A figura representa o sinal registrado.

1. a) Calcule a frequência dos batimentos, em $\text{Hz}$.
2. b) Calcule o seu período, em segundos: quanto tempo passa entre dois batimentos consecutivos?

A tensão da rede elétrica brasileira oscila com uma frequência de $50\ \text{Hz}$. Calcule a sua frequência angular $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, em $\text{rad/s}$.

Dois osciladores idênticos vibram segundo as equações, em unidades do Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ e $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) Que grandezas os dois movimentos têm em comum?
2. b) Calcule a elongação inicial (em $t = 0$) de cada um e explique em que diferem.

A haste do pistão de um motor de combustão vibra segundo a equação $x = 0,04 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Indique o valor da amplitude $A$, da frequência angular $\omega$ e da fase inicial $\varphi_0$.
2. b) Calcule o período $T$ e a frequência $f$.
3. c) Calcule a elongação em $t = 0,1\ \text{s}$ e interprete o seu sinal.

A agulha de uma máquina de costura sobe e desce com um movimento harmônico simples de amplitude $6\ \text{cm}$ e período $0,5\ \text{s}$. No instante inicial, a agulha passa pela posição de equilíbrio movendo-se no sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcule a frequência angular $\omega$.
2. b) Escreva a equação completa da elongação, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expressando a amplitude em metros.

Um ponto do centro de uma corda de violão vibra com um movimento harmônico simples de amplitude $A = 2\ \text{mm}$ e frequência $f = 440\ \text{Hz}$ (a nota «lá» de afinação). A velocidade máxima de um oscilador é $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcule a frequência angular $\omega$ da vibração.
2. b) Expresse a amplitude em metros e calcule a velocidade máxima do ponto da corda.

Na Estação Espacial Internacional não se pode usar uma balança para medir a massa dos astronautas. Em vez disso, o astronauta senta em um assento ligado a uma mola de constante $k = 1000\ \text{N/m}$ e mede-se o período de oscilação do conjunto, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Se o período medido for $T = 1,6\ \text{s}$, isole a massa na fórmula e calcule a massa do astronauta (despreze a do assento).
2. b) Explique por que este método funciona em gravidade zero e uma balança não.

Um relógio de sala antigo funciona com um pêndulo cujo período deve ser exatamente $T = 2,0\ \text{s}$: cada oscilação completa faz avançar um dente do mecanismo (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). O pêndulo é mostrado na figura.

1. a) Isole o comprimento na fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcule o comprimento que o pêndulo deve ter.

Numa oficina, testa-se uma mola de constante $k = 250\ \text{N/m}$ prendendo-lhe uma massa de $0,4\ \text{kg}$ e fazendo-a oscilar.

1. a) Calcule o período da oscilação, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcule a frequência, em $\text{Hz}$.

Um pêndulo de $l = 1,5\ \text{m}$ de comprimento faz parte de um experimento que será instalado em uma base lunar. A aceleração da gravidade na superfície da Lua é $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ e na Terra é $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o período do pêndulo na Terra.
2. b) Calcule o período na Lua.
3. c) Quantas vezes mais lentamente ele oscila na Lua? Calcule o quociente entre os dois períodos.

Uma boia de aproveitamento de energia das ondas oscila verticalmente com as ondas segundo a equação $x = 0,1 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot t)$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Calcule o período e a frequência da oscilação.
2. b) Calcule a elongação no instante $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) Em que instante ela atinge pela primeira vez a sua altura máxima?

Em uma calha de ar sem atrito, um carrinho de $m = 0,25\ \text{kg}$ está ligado a uma mola de constante $k = 400\ \text{N/m}$. Afasta-se o carrinho $10\ \text{cm}$ da posição de equilíbrio e ele é solto do repouso no instante $t = 0$. A montagem é mostrada na figura.

1. a) Calcule a frequência angular, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, e o período da oscilação.
2. b) Considerando $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, justifique por que a fase inicial é $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: quanto vale a elongação em $t = 0$?
3. c) Escreva a equação completa da elongação, em unidades do Sistema Internacional.
4. d) Calcule a velocidade máxima do carrinho, $v_{max} = A \cdot \omega$.

A agulha registradora de um sismógrafo oscila segundo a equação $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, em unidades do Sistema Internacional. A velocidade no movimento harmônico simples é $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. O gráfico da elongação em função do tempo é o da figura.

1. a) Calcule o primeiro instante em que a elongação vale $x = 0,03\ \text{m}$ (metade da amplitude).
2. b) Calcule a velocidade da agulha nesse instante.
3. c) Em que posição a velocidade é máxima e quanto vale?

O pêndulo de Foucault instalado no Panteão de Paris tem um comprimento de $l = 67\ \text{m}$ (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcule o seu período de oscilação.
2. b) Calcule quantas oscilações completas ele realiza em uma hora.
3. c) Foucault usou uma esfera de $28\ \text{kg}$. Justifique, a partir da fórmula do período, por que a massa da esfera não influencia a medição e por que interessa construir o pêndulo o mais longo possível para observar o fenômeno com mais facilidade.

Pretende-se projetar um pêndulo de período $T = 2,00\ \text{s}$ para um experimento que será realizado na superfície de Marte, onde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o comprimento que o pêndulo deve ter em Marte.
2. b) Se esse mesmo pêndulo fosse levado de volta para a Terra ($g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$), qual seria o seu período?
3. c) Os geólogos usam pêndulos de precisão para medir $g$ em diferentes pontos da Terra e detectar anomalias do subsolo. Explique, a partir da fórmula, por que o período de um pêndulo revela o valor de $g$ e quais grandezas devem ser medidas com maior cuidado.

No laboratório são montados dois osciladores com a mesma mola, de constante $k = 100\ \text{N/m}$: o oscilador A tem uma massa de $0,1\ \text{kg}$ e o oscilador B uma massa de $0,4\ \text{kg}$. A figura mostra as duas montagens.

1. a) Calcule o período de cada oscilador e o seu quociente $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Sem repetir os cálculos, justifique com a fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ qual relação existe entre esse quociente e o quociente de massas $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) Qual constante elástica a mola do oscilador B deveria ter para oscilar com o mesmo período do A? Justifique.

Um grupo de alunos mede a aceleração da gravidade com um pêndulo. O comprimento medido é $l = 1,20\ \text{m}$ e eles cronometram $20$ oscilações completas em $44,0\ \text{s}$.

1. a) Calcule o período do pêndulo.
2. b) Isole $g$ na fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ e calcule o seu valor experimental.
3. c) Compare com o valor tabelado $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ e explique por que razão se cronometram $20$ oscilações e não apenas uma para obter o período.

Suspende-se uma massa de $m = 0,5\ \text{kg}$ em uma mola vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A montagem é mostrada na figura.

1. a) Calcule quanto a mola se estica até atingir a posição de equilíbrio, onde a força elástica $k \cdot x_0$ iguala o peso $m \cdot g$.
2. b) Afasta-se ligeiramente a massa dessa posição e solta-se. Calcule o período da oscilação vertical, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Explique por que a gravidade não altera o período em relação ao mesmo oscilador colocado na horizontal: qual é a única coisa que a gravidade altera na oscilação vertical?

Uma ponte suspensa tem uma frequência própria de oscilação de $0,5\ \text{Hz}$. O vento, ao contornar os pilares, gera vórtices que empurram lateralmente a ponte uma vez a cada $2,0\ \text{s}$. A figura mostra como a amplitude da oscilação forçada depende da frequência das forças aplicadas.

1. a) Calcule o período e a frequência angular próprios da ponte.
2. b) Calcule a frequência dos impulsos do vento e compare-a com a frequência própria da ponte.
3. c) Explique o que é a ressonância e por que ela é perigosa nesta situação, mesmo que cada impulso seja fraco.
4. d) Proponha uma alteração de projeto que evite o problema e justifique-a indicando qual grandeza física se altera.