Exercícios: A equação de ondas e a sua relação com o MHS

Em um laboratório, gera-se em uma corda tensa uma onda transversal cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. A figura mostra o perfil da corda em um instante.

1. a) Indique os valores da amplitude $A$, do número de onda $k$ e da frequência angular $\omega$.
2. b) Justifique, a partir do sinal que acompanha o termo em $t$ no interior da fase, em que sentido do eixo $x$ a onda se propaga.

Um diapasão vibra e gera no ar uma onda harmônica de frequência angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcule o seu período $T$, lembrando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calcule a sua frequência $f$, em $\text{Hz}$.

Em uma cuba de ondas do laboratório, geram-se ondas na superfície da água com um número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. A figura mostra o perfil da superfície em um instante.

1. a) Calcule o comprimento de onda $\lambda$, lembrando que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Explique com as suas palavras o que o comprimento de onda representa fisicamente, observando o perfil da superfície.

O ouvido humano percebe sons entre $20\ \text{Hz}$ e $20\ \text{kHz}$, e o som viaja pelo ar a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule o comprimento de onda do som mais grave que conseguimos ouvir usando $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calcule o comprimento de onda do som mais agudo que conseguimos ouvir, expressando previamente $20\ \text{kHz}$ em hertz.
3. c) Justifique, levando em conta os resultados, como varia o comprimento de onda quando a frequência aumenta se a velocidade não se alterar.

A equação $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ descreve uma perturbação duplamente periódica: no tempo e no espaço. Os dois gráficos da figura representam essa dupla periodicidade.

1. a) Se escolhermos um ponto fixo do meio (fixamos $x$), com que período ele oscila? Expresse-o em função de $\omega$.
2. b) Se observarmos o perfil da perturbação em um instante fixo (fixamos $t$), a que distância ele se repete? Expresse-o em função de $k$.
3. c) Explique, a partir do que foi visto acima, por que se diz que o movimento ondulatório combina uma oscilação no tempo com uma periodicidade no espaço.

Por uma mola em espiral esticada se propaga uma onda longitudinal cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcule a sua frequência $f$ e o seu período $T$.
2. b) Calcule o seu comprimento de onda $\lambda$.
3. c) Calcule a sua velocidade de propagação usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Quando uma onda harmônica atravessa um meio, cada ponto do meio oscila com um movimento harmônico simples (MHS).

1. a) Indique que grandezas do MHS de cada ponto coincidem com as da onda: pense na amplitude e na frequência.
2. b) Indique que grandeza distingue a oscilação de um ponto próximo da fonte da de um ponto mais afastado.
3. c) Explique a diferença entre a velocidade de oscilação de um ponto do meio e a velocidade de propagação da onda.

Uma onda transversal se propaga ao longo de uma corda de acordo com a equação, em unidades do Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determine em que sentido do eixo $x$ a onda se propaga e justifique a partir do sinal da fase.
2. b) Calcule a velocidade de propagação dela a partir de $k$ e $\omega$.
3. c) Reescreva a equação alterando estritamente o necessário para que a onda se propagasse no sentido positivo do eixo.

Uma boia oceanográfica registra a passagem de um trem de ondas de amplitude $1,5\ \text{m}$ e período $T = 4\ \text{s}$; a distância entre duas cristas consecutivas é de $25\ \text{m}$. A figura representa o perfil das ondas.

1. a) Calcule a frequência angular $\omega$ e o número de onda $k$.
2. b) Calcule a velocidade de propagação das ondas usando $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Escreva a equação da onda assumindo fase inicial nula e propagação no sentido positivo do eixo $x$.

Ao longo de uma corda se propaga uma onda harmônica cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcule a elongação do ponto situado em $x = 0,5\ \text{m}$ no instante $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indique qual é a elongação máxima que esse ponto pode alcançar e justifique se ela depende do ponto escolhido.
3. c) Calcule o período com que esse ponto oscila.

Para estudar a fase de uma onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que se propaga no ar a $340\ \text{m/s}$, colocam-se dois microfones alinhados com o alto-falante que a emite, como mostra a figura.

1. a) Calcule o comprimento de onda do som.
2. b) Calcule a diferença de fase entre as oscilações de dois pontos separados por $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Os microfones são finalmente colocados a uma distância de $2\ \text{m}$: calcule a nova defasagem e justifique se, nesse caso, os pontos oscilam em fase ou em oposição de fase.

Numa prospecção geológica gera-se uma onda sísmica harmônica de amplitude $0,01\ \text{m}$ e frequência $f = 10\ \text{Hz}$ que se propaga pelo terreno a $6000\ \text{m/s}$ no sentido positivo do eixo $x$.

1. a) Calcule o seu comprimento de onda e o seu número de onda.
2. b) Calcule a sua frequência angular.
3. c) Escreva a sua equação de onda sabendo que a fase inicial é $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Um ponto do centro de uma corda de violino oscila com amplitude $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ quando a corda emite um lá de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcule a frequência angular da oscilação.
2. b) Sabendo que a velocidade máxima de oscilação de um MHS é $v_{max} = A \cdot \omega$, calcule a velocidade máxima desse ponto.
3. c) A onda se propaga nessa corda a $250\ \text{m/s}$: compare esse valor com o da alternativa anterior e justifique por que as duas velocidades são tão diferentes, embora sejam medidas na mesma corda.

Um gerador de ultrassom de laboratório emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagam pelo ar a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Expresse a frequência em hertz e calcule o comprimento de onda, em metros e em milímetros.
2. b) Calcule o período e expresse-o em segundos e em microssegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Justifique, sabendo que o ouvido humano percebe no máximo cerca de $20\ \text{kHz}$, por que razão ninguém ouve o tom emitido pelo gerador.

A fotografia instantânea de uma corda mostra um perfil senoidal cujas cristas se elevam $5\ \text{cm}$ acima da posição de equilíbrio e distam entre si $80\ \text{cm}$; a perturbação avança pela corda a $2\ \text{m/s}$. A figura mostra essa fotografia instantânea.

1. a) Determine a amplitude e o comprimento de onda a partir da descrição da fotografia, expressando-os em metros.
2. b) Calcule a frequência, o período, a frequência angular e o número de onda.
3. c) Escreva a equação da onda com fase inicial nula e propagação no sentido positivo do eixo $x$, com todas as grandezas em unidades do Sistema Internacional.

Uma onda transversal de amplitude $0,04\ \text{m}$ e período $T = 0,5\ \text{s}$ propaga-se ao longo de uma corda a $8\ \text{m/s}$ no sentido negativo do eixo $x$.

1. a) Calcule a frequência angular da onda.
2. b) Calcule o comprimento de onda e o número de onda.
3. c) Escreva a equação de onda com fase inicial nula, observando o sinal da fase para que ela represente o sentido de propagação indicado.

Ao longo de uma corda de laboratório propaga-se uma onda harmônica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. Na figura está representado o perfil da onda com três pontos assinalados: P, Q e R.

1. a) Calcule o seu comprimento de onda.
2. b) Calcule a distância mínima entre dois pontos da corda que oscilam em fase e justifique o resultado.
3. c) Calcule a distância mínima entre dois pontos que oscilam em oposição de fase.
4. d) Determine a defasagem entre dois pontos separados por $3\ \text{m}$ e descreva como oscila um em relação ao outro.

Ao longo de uma corda esticada propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ uma onda transversal de amplitude $0,05\ \text{m}$, frequência angular $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ e velocidade $10\ \text{m/s}$. No instante $t = 0$ o ponto da origem atinge a sua elongação máxima positiva.

1. a) Calcule o número de onda $k$.
2. b) Determine a fase inicial $\varphi_0$ impondo a condição $y(0, 0) = A$.
3. c) Escreva a equação da onda completa.
4. d) Calcule a elongação do ponto $x = 1\ \text{m}$ no instante $t = 0,05\ \text{s}$ e justifique o sinal do resultado.

Um cabo de aço de uma bancada de ensaios de vibrações tem uma densidade linear $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ e é submetido a uma tensão $T = 40\ \text{N}$; a velocidade das ondas transversais no cabo é $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Gera-se uma onda harmônica de amplitude $0,02\ \text{m}$ e frequência $f = 100\ \text{Hz}$ que se propaga no sentido positivo do eixo $x$ com fase inicial nula.

1. a) Calcule a velocidade de propagação da onda.
2. b) Calcule o comprimento de onda, o número de onda e a frequência angular.
3. c) Escreva a equação da onda.
4. d) Se a tensão dobrasse mantendo-se a mesma frequência, calcule a nova velocidade e o novo comprimento de onda, e justifique por que essas grandezas mudam e a frequência não.

Num canal de ondas de laboratório propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ uma onda de amplitude $0,1\ \text{m}$ e velocidade $4\ \text{m/s}$. No instante $t = 0$ o perfil da superfície, com as cristas separadas por $2\ \text{m}$, é dado por $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determine $k$ e $\omega$ e escreva a equação da onda completa.
2. b) Expresse a elongação do ponto $x = 0,5\ \text{m}$ em função do tempo e justifique se imediatamente após $t = 0$ esse ponto sobe ou desce.
3. c) Verifique a elongação inicial do ponto $x = 1\ \text{m}$ e deduza em que sentido ele começa a se mover.

Em um exame de ultrassonografia, utilizam-se ultrassons de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagam pelo tecido mole a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule o comprimento de onda em metros e expresse-o em milímetros.
2. b) O eco refletido em uma estrutura interna é recebido $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ após a emissão: considerando que o pulso percorre duas vezes essa distância, calcule a profundidade da estrutura.
3. c) Justifique por que, para distinguir detalhes de poucos milímetros, é preciso trabalhar com frequências da ordem dos megahertz em vez de sons audíveis.

Uma onda harmônica de $f = 2\ \text{Hz}$ e amplitude $0,05\ \text{m}$ propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ ao longo de uma corda leve a $6\ \text{m/s}$ e passa para uma segunda corda mais densa, unida à primeira, onde a sua velocidade é de $3\ \text{m/s}$. Na mudança de meio, a frequência se conserva. Observe o esquema das duas cordas unidas:

1. a) Calcule o comprimento de onda em cada corda.
2. b) Escreva a equação de onda em cada uma das cordas, com fase inicial nula.
3. c) Indique que grandezas se conservam e quais mudam ao passar de uma corda para a outra.
4. d) Justifique, considerando a forma como oscila o ponto de união entre ambas as cordas, por que a frequência não pode mudar nesse ponto.

Numa corda esticada, observa-se que dois pontos separados por $1\ \text{m}$ oscilam sempre em fase.

1. a) Justifique que o comprimento de onda só pode assumir os valores $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, com $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Sabendo ainda que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determine todos os valores possíveis de $\lambda$.
3. c) A velocidade de propagação na corda é de $100\ \text{m/s}$: calcule a frequência correspondente a cada valor possível.
4. d) Proponha uma medição adicional que permita decidir qual dos valores é o real e justifique a sua proposta.