Exercícios: Sequências de números reais

Observe as seguintes listas ordenadas de números. Sua tarefa é identificar a regra lógica que cada uma segue e escrever os três termos que dão continuidade à sequência:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

Em matemática, utilizamos fórmulas para definir o valor de qualquer posição em uma sequência sem ter que escrever toda a lista. Isso é chamado de termo geral ($a_n$).

Calcule os quatro primeiros termos ($a_1, a_2, a_3, a_4$) e o termo que ocupa a posição 10 ($a_{10}$) para as seguintes sequências definidas por seu termo geral:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

As sequências muitas vezes surgem de padrões geométricos. Observe a imagem a seguir, que mostra como cresce um triângulo formado por pontos.

Conte o número de pontos de cada figura para formar uma sequência numérica.

1. Escreva os 4 primeiros termos dessa sequência.

2. Quantos pontos terá a figura 5?

3. Sem desenhar, é possível dizer quantos pontos são adicionados para passar da figura 4 para a figura 5?

Imagine que você está treinando para uma corrida de longa distância. O treinador anota os quilômetros corridos a cada semana para acompanhar o seu progresso. A lista das últimas 6 semanas é a seguinte:

Considerando essa lista como uma sequência numérica ($a_n$):

1. Qual é o valor do termo $a_1$? O que ele representa no contexto do treinamento?

2. Qual é o valor do termo $a_4$?

3. Se você mantiver o mesmo ritmo de aumento, quantos quilômetros correrá na semana 7 ($a_7$)?

Relacione em seu caderno cada uma das seguintes sequências com o seu termo geral correto. Considere que $n$ representa a posição (1, 2, 3...).

Sequências:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Termos gerais:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

Às vezes, para saber o valor de um termo, precisamos conhecer o anterior. Isso se chama lei de recorrência.

Dada uma sequência em que o primeiro termo é $a_1 = 5$ e a regra para obter os seguintes é:

(Isso significa: "o termo atual é igual ao termo anterior mais 3").

Calcule os termos $a_2, a_3, a_4$ e $a_5$.

Um "streamer" de videogames decide começar a poupar para comprar um novo equipamento.

No primeiro mês poupa 50 reais, no segundo mês poupa 100 reais, no terceiro mês poupa 200 reais e no quarto mês poupa 400 reais.

1. Escreva a sequência formada pelo dinheiro poupado a cada mês.

2. Você observa alguma regularidade? Que operação você faz para passar de um mês para o seguinte?

3. Calcule quanto será poupado no mês 5 e no mês 6 se essa tendência se mantiver.

Nem todas as sequências são formadas por números inteiros (como 1, 2, 3...). Elas também podem ter frações ou números decimais. Observe a seguinte sequência de números reais:

1. Escreva os três termos seguintes.

2. Qual você acha que é o termo geral $a_n$? Escolha a opção correta:

   • Opção A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opção B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opção C: $a_n = n + 1$

A Marta quer descobrir se o número 39 faz parte da sequência cujo termo geral é $a_n = 5n - 6$. Na sua prova escreve o seguinte:

«Para verificar, calculo $a_{39} = 5 \cdot 39 - 6 = 195 - 6 = 189$. Como a operação dá um resultado exato, concluo que o número 39 pertence sim à sequência e ocupa a posição 189».

1) Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual que a Marta cometeu ao confundir o índice de posição $n$ com o valor do termo $a_n$.

2) Formule e resolva a equação adequada para determinar se o número 39 pertence realmente à sequência, indicando que posição ocupa se a resposta for afirmativa.

3) Justifique se o número 50 pertence ou não a esta mesma sequência, tendo em conta que tipo de números devem ser obrigatoriamente os índices de posição $n$.

Defina o termo geral $a_n$ de uma sequência de números reais que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. O primeiro termo é uma fração concreta: $a_1 = \frac{1}{2}$.

2. Todos os termos são estritamente positivos e cada termo é menor do que o anterior (ou seja, $a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$).

3. À medida que a posição $n$ se torna muito grande, os termos se aproximam cada vez mais de 0, mas sem nunca chegar a ser zero nem tomar valores negativos.

Escreva a expressão algébrica do seu termo geral $a_n$, verifique que ele cumpre as condições calculando de forma explícita os termos $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$, e justifique brevemente por que nenhum termo da sua fórmula poderá jamais ser igual a 0.

Dada a sequência cujo termo geral é dado pela expressão algébrica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcule os quatro primeiros termos e o termo que ocupa a posição 15. Observa-se alguma curiosidade ao simplificar a expressão algébrica inicial?

A seguir, são apresentadas várias sequências numéricas que seguem um padrão lógico. Sua tarefa consiste em identificar a regra de formação e escrever os três termos seguintes para cada uma:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

Observe a seguinte construção geométrica formada por palitos de fósforo.

1. Desenhe em seu caderno a Figura 4 seguindo a mesma lógica de construção.

2. Escreva a sequência numérica que representa o número total de palitos de fósforo necessários para construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Descreva com suas próprias palavras como aumenta o número de palitos de fósforo ao passar de uma figura para a seguinte.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Uma sequência é definida por uma lei de recorrência quando seus termos são obtidos operando com os anteriores. Considere a sequência definida da seguinte maneira:

• O primeiro termo é $a_1 = 2$.

• O segundo termo é $a_2 = 3$.

• Qualquer termo seguinte é calculado multiplicando os dois termos imediatamente anteriores: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcule os termos $a_3, a_4, a_5$ e $a_6$. Você acha que essa sequência cresce rápido ou devagar?

Em um supermercado, um funcionário está empilhando latas de conserva formando uma estrutura triangular para uma promoção.

• Na fileira superior (fileira 1), coloca 1 lata.

• Na fileira imediatamente inferior (fileira 2), coloca 3 latas.

• Na fileira 3, coloca 5 latas.

• Na fileira 4, coloca 7 latas.

Escreva a sequência que representa o número de latas por fileira e encontre uma fórmula geral ($a_n$) que permita saber quantas latas haverá na fileira $n$ sem ter que contá-las uma a uma.

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes sequências. Considere que algumas podem ser aritméticas, geométricas ou de quadrados perfeitos:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

Maria está treinando para uma maratona. No primeiro dia, ela corre durante 15 minutos. Seu treinador preparou um plano em que cada dia ela deve correr 4 minutos a mais do que no dia anterior.

1. Escreva a sequência que representa os minutos que Maria corre durante os primeiros 5 dias.

2. Se mantiver esse plano de treinamento, quantos minutos terá que correr no dia número 20? Utilize o termo geral para calcular.

Temos uma sequência cujo termo geral é $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcule os 5 primeiros termos.

2. Existe algum termo da sequência que valha 0? Se sim, que posição ou posições ele ocupa? Justifique sua resposta resolvendo a equação correspondente.

Numa cidade brasileira, o serviço municipal de aluguel de bicicletas elétricas aplica a seguinte tarifa para usuários não assinantes: ao desbloquear a bicicleta cobra-se uma tarifa base de $0,70$ reais, que cobre os primeiros 15 minutos de trajeto. A partir daí, por cada novo intervalo de 15 minutos (ou fração) que comece, adicionam-se $0,40$ reais ao custo total.

Definimos a sequência $C_n$ como o valor total em reais a pagar por um trajeto que dura $n$ intervalos de 15 minutos (em que $n = 1$ corresponde a uma viagem de até 15 minutos, $n = 2$ a uma viagem de entre 16 e 30 minutos, etc.).

1) Escreva os quatro primeiros termos da sequência: $C_1, C_2, C_3$ e $C_4$.

2) Deduza a expressão algébrica do termo geral $C_n$ em função do número de intervalos $n$.

3) Um usuário consulta o extrato bancário do aplicativo e vê que lhe cobraram exatamente $3,50$ reais por uma única viagem. Formule a equação correspondente com o termo geral, determine o valor de $n$ e interprete o resultado indicando entre que minutos esteve compreendida a duração do seu deslocamento.

Define-se uma sequência de números reais por meio da seguinte lei de recorrência: o primeiro termo é $a_1 = 3$ e cada termo seguinte é obtido multiplicando o anterior por 2 e subtraindo 1, ou seja, $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 1$ para todo $n \ge 2$.

1) Estime: Sem fazer cálculos longos no papel, estime de forma intuitiva se o décimo termo ($a_{10}$) ultrapassará o valor de $1\,000$. Justifique brevemente em que você se baseia para a sua previsão.

2) Calcule: Obtenha de forma ordenada os cinco primeiros termos da sequência ($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$), aplicando passo a passo a lei de recorrência.

3) Deduza e verifique: Compare os valores obtidos com as potências de dois ($2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \dots$). Deduza uma fórmula direta para o termo geral $a_n$ em função de $n$, calcule com ela o valor exato de $a_{10}$ e avalie se a sua estimativa inicial foi acertada.

Observe a seguinte construção de figuras geométricas formada por pequenos quadrados.

• A Figura 1 é um único quadrado central.

• A Figura 2 é formada adicionando um quadrado em cada lado livre da figura anterior (acima, abaixo, à esquerda, à direita).

• A Figura 3 segue o mesmo padrão, adicionando quadrados apenas nos lados externos livres da figura anterior.

Pede-se:

1. Desenhe em seu caderno a Figura 4.

2. Escreva a sequência formada pelo número total de quadrados das 5 primeiras figuras.

3. Raciocine e encontre uma expressão algébrica para o termo geral $a_n$ que permita calcular o número de quadrados da figura que ocupa a posição $n$.

4. Calcule quantos quadrados teria a Figura 20 sem precisar desenhá-la.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Estude as seguintes sequências de números reais. É preciso identificar o padrão lógico de construção e encontrar o termo geral $a_n$ em função de $n$ para cada uma delas.

• Sequência A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Sequência B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Sequência C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

Em informática e no desenho de algoritmos é comum deparar-se com a sequência de Collatz, também conhecida como a conjectura $3n+1$. Embora pareça simples, é um dos problemas em aberto mais famosos da matemática.

A regra de formação é recorrente. Dado um número natural inicial $a_1$, os termos seguintes são obtidos assim:

• Se o termo anterior $a_{n-1}$ é par, o seguinte é a metade: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Se o termo anterior $a_{n-1}$ é ímpar, o seguinte é obtido multiplicando por 3 e somando 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Escreva a sequência completa começando em $a_1 = 13$ até chegar ao número 1.

• Quantos termos tem a sequência gerada (comprimento da órbita) até alcançar o 1 pela primeira vez?

• Verifique o que acontece se você continuar aplicando a regra depois de ter chegado ao 1. Descreva o ciclo que se forma.

Temos um polígono regular de $n$ lados. Queremos estudar a sequência formada pelo número total de diagonais que esse polígono possui à medida que o seu número de lados aumenta.

• $a_3$ (triângulo, 3 lados): 0 diagonais.

• $a_4$ (quadrado, 4 lados): 2 diagonais.

• $a_5$ (pentágono, 5 lados): 5 diagonais.

• Desenhe um hexágono regular ($n=6$) e trace todas as suas diagonais. Qual é o valor de $a_6$?

• Observe que para passar de $a_3$ para $a_4$ somamos 2; de $a_4$ para $a_5$ somamos 3; de $a_5$ para $a_6$ somamos 4. Seguindo esse padrão de crescimento, calcule quantas diagonais terá um decágono ($n=10$).

• O termo geral dessa sequência é dado pela fórmula quadrática $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Utilize essa fórmula para verificar o seu resultado do item anterior.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere a sequência definida pela seguinte lei de recorrência:

Esta é a famosa Sequência de Fibonacci.

1. Calcule os 10 primeiros termos da sequência.

2. Vamos estudar o comportamento do quociente (divisão) entre dois termos consecutivos. Calcule os seguintes valores com 4 casas decimais:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. Você observa que os resultados se aproximam de um número específico? Investigue a qual número irracional famoso se aproxima a divisão de termos consecutivos dessa sequência quando $n$ é muito grande.

Imagine um jogo de plataforma em 2D. O personagem está no pé de uma escada de $n$ degraus.

O personagem tem duas formas de subir:

• Subir 1 degrau em um salto.

• Subir 2 degraus em um supersalto.

Queremos saber de quantas formas diferentes ($F_n$) ele pode chegar ao topo da escada.

• Se houver 1 degrau ($n=1$): Só há 1 forma (salto de 1). $F_1 = 1$.

• Se houver 2 degraus ($n=2$): Pode fazer (1+1) ou (2). Há 2 formas. $F_2 = 2$.

• Se houver 3 degraus ($n=3$): Pode fazer (1+1+1), (1+2) ou (2+1). Há 3 formas. $F_3 = 3$.

• Calcule de quantas formas diferentes se pode subir uma escada de 4 degraus ($F_4$) e de 5 degraus ($F_5$). Descreva-as (por exemplo: 1+2+1+1).

• Encontre a relação existente entre $F_n$, $F_{n-1}$ e $F_{n-2}$.

• Se a escada tivesse 10 degraus, de quantas formas diferentes seria possível subi-la?

Define-se o Triângulo de Sierpinski por meio de um processo iterativo (que se repete) de eliminação de áreas.

Partimos de um triângulo equilátero preto de área $A = 64 \text{ cm}^2$ (Iteração 0).

• Iteração 1: Unimos os pontos médios dos lados e recortamos o triângulo central invertido (esse triângulo branco é eliminado). Restam 3 triângulos pretos menores.

• Iteração 2: Repetimos o processo com cada um dos 3 triângulos pretos restantes.

Pede-se:

1. Escreva a sequência $T_n$ que representa o número de triângulos pretos em cada passo (passo 0, passo 1, passo 2, passo 3). Que tipo de sequência é essa?

2. Escreva a sequência $S_n$ que representa a área preta total que resta na figura em cada passo.

3. Calcule qual área preta restará na figura após realizar a iteração número 5.

Observe a seguinte sequência de números periódicos:

Embora pareça que simplesmente "se adicionam uns", vamos analisar o seu valor fracionário.

1. Escreva os três primeiros termos da sequência sob a forma de fração irredutível.

2. Encontre o termo geral $a_n$ expresso como fração.

3. Calcule a soma dos dois primeiros termos $a_1 + a_2$ e expresse o resultado como fração.

4. Investigue e raciocine: O termo $a_n$ varia quando $n$ é um número muito grande (por exemplo, com 100 uns) ou se mantém constante? Justifique a sua resposta.

Para calcular o termo que ocupa a posição número 80 ($a_{80}$) na sucessão que começa por $5, 11, 17, 23, 29, \dots$, dois estudantes do 3.º ano do ESO propõem caminhos diferentes:

• Método A (Hugo): Define a sucessão mediante uma lei de recorrência: $a_1 = 5$ e $a_n = a_{n-1} + 6$, e propõe usar uma folha de cálculo ou calcular à mão sucessivamente cada termo até chegar à posição 80.

• Método B (Lucía): Procura uma expressão algébrica direta para o termo geral $a_n$ em função da posição $n$, e calcula $a_{80}$ substituindo diretamente $n = 80$.

1) Aplica o método da Lucía: deduz fundamentadamente a fórmula do termo geral $a_n$ a partir da regularidade dos termos dados e calcula o valor exato de $a_{80}$.

2) Compara criticamente ambos os métodos: em que situação prática seria preferível ou mais intuitivo utilizar o método do Hugo, e por que razão para responder à pergunta colocada o método da Lucía é significativamente mais vantajoso?

3) Analisa a sucessão de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$). Explica por que razão no 3.º ano do ESO não é viável utilizar o método da Lucía com esta sucessão e é indispensável recorrer à lei de recorrência.

Um laboratório biomédico em Salvador analisa a proliferação de uma cultura celular disposta numa placa com uma estrutura geométrica concêntrica:

• Na etapa inicial ($n = 1$) há uma única célula central ($c_1 = 1$).

• Na etapa $n = 2$, ao redor da célula central forma-se um primeiro anel com 8 células novas ($c_2 = 8$).

• Na etapa $n = 3$, o anel exterior seguinte requer 16 células novas ($c_3 = 16$).

• Na etapa $n = 4$, o anel exterior seguinte necessita de 24 células novas ($c_4 = 24$).

Seja $c_n$ a sequência que indica o número de células novas adicionadas exclusivamente no anel exterior da etapa $n$ (para $n \ge 2$).

1) Escreva a lei de recorrência que relaciona $c_n$ com $c_{n-1}$ para $n \ge 3$, e encontre a expressão algébrica direta do termo geral $c_n$ em função de $n$ válida para todo $n \ge 2$.

2) Problema inverso: O microscópio do laboratório só permite observar com nitidez um anel exterior se este tiver no máximo 200 células. Formule a inequação correspondente e calcule qual é a etapa $n$ mais avançada que pode ser observada de forma completa e quantas células exatas terá esse anel exterior.

3) Demonstração algébrica: Um pesquisador conjectura que a soma de células novas de dois anéis exteriores consecutivos quaisquer, $c_n + c_{n+1}$ (com $n \ge 2$), é sempre um múltiplo de 8 mas nunca pode ser um múltiplo de 16. Demonstre algebricamente se a afirmação do pesquisador é verdadeira ou falsa analisando a expressão resultante dessa soma.

Desafio do tema. Até onde vai um quique? Modele a física da sua bola favorita aplicando sequências de números reais.

1. Coleta de dados: Deixe cair uma bola de $100\text{ cm}$ de altura junto a uma parede marcada com uma fita métrica. Grave em câmera lenta com o seu celular e anote a altura máxima alcançada nos primeiros 4 quiques ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

2. Modelagem: Em uma planilha ou no GeoGebra, registre os seus dados e calcule os quocientes entre termos consecutivos ($a_{n}/a_{n-1}$) para obter a razão média $r$ (use decimais com vírgula, como $0,75$). Escreva o termo geral da sua progressão: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

3. Análise e previsão: Preveja a altura do oitavo quique e calcule a soma infinita das alturas $S = \frac{a_1}{1-r}$ e, a partir dela, a distância vertical teórica total percorrida nos quiques, $2S$ (cada quique é uma subida e uma descida).

4. Relatório final: Elabore um documento breve com a sua tabela, o gráfico da sequência e uma conclusão fundamentada: por que razão a bola para, na prática, mais cedo do que o previsto pelo modelo matemático?

Será valorizado:

• Rigor na obtenção da razão $r$, na fórmula do termo geral e na soma.

• Uso correto da planilha ou do GeoGebra para tabular e representar graficamente a sequência.

• Justificativa crítica das diferenças entre o modelo teórico e a realidade física.