Exercícios: Potências de expoente inteiro

Aplique as propriedades das potências para simplificar a seguinte expressão e deixe o resultado na forma de uma única potência de base positiva:

Calcule o valor numérico das seguintes potências com expoente negativo, expressando o resultado final na forma de fração irredutível:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

É muito comum confundir o efeito dos parênteses quando a base é negativa. Calcule os seguintes valores e explique a diferença entre eles:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Simplifique a seguinte expressão utilizando as propriedades de potência de uma potência e produto de potências. Expresse o resultado como uma única potência:

Em informática, as unidades de medida crescem em potências de base $2$. Sabendo que $1 \text{ KB (Kilobyte)}$ são $2^{10} \text{ bytes}$ e que $1 \text{ MB (Megabyte)}$ são $2^{10} \text{ KB}$, expresse na forma de uma única potência de base $2$ quantos bytes há em um arquivo de imagem que ocupa $4 \text{ MB}$.

Reduza a uma única potência de base $x$ a seguinte expressão e, depois, escreva-a com expoente positivo:

Um biólogo observa uma população de bactérias que triplica a cada hora. Se inicialmente havia $3^2$ bactérias, expresse por meio de uma potência de base $3$:

1. a) Quantas bactérias haverá após $5$ horas?
2. b) Quantas bactérias haverá após $n$ horas?

Calcule o valor das seguintes expressões combinadas respeitando a ordem das operações e as regras dos expoentes:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

Em uma prova do 1º ano do Ensino Médio, a Ana tinha de simplificar a seguinte expressão numérica:

A Ana escreveu na sua folha de respostas:

«Como a base é negativa e o expoente também, os dois sinais menos se cancelam, de modo que $(-2)^{-4} = 2^4 = 16$. Por outro lado, como qualquer número elevado a 0 é 1, mas tem um sinal de menos na frente dentro dos parênteses, $(-3)^0 = -1$. Portanto:

1. a) Localize e explique detalhadamente os dois erros conceituais cometidos pela Ana, indicando qual propriedade das potências ou regra de sinais ela violou em cada um.
2. b) Corrija a resolução calculando passo a passo o valor exato da expressão na forma de fração irredutível ou número inteiro.

Considere a seguinte expressão numérica com potências de expoente inteiro:

1. a) Estime de forma fundamentada sem calcular o valor exato:

Observe os fatores do numerador e do denominador e interprete o efeito das potências com expoente negativo ao mudá-las de termo na fração. Justifique se o valor final de $E$ será:

1. Positivo ou negativo.

2. Maior que $1$ ou menor que $1$.

1. b) Calcule e verifique:

Decomponha todas as bases em seus fatores primos ($2$ e $5$), aplique as propriedades das potências para simplificar a expressão passo a passo até obter um único número inteiro ou fração irredutível, e verifique explicitamente se o resultado numérico confirma as previsões que você fez no item anterior.

Para calcular a capacidade de armazenamento de um novo servidor na nuvem, um engenheiro deve simplificar a seguinte expressão numérica. Utilize as propriedades das potências para reduzi-la a uma única potência de base prima ou a um produto delas com expoentes positivos:

Uma empresa de segurança cibernética utiliza chaves criptográficas cujo comprimento cresce de forma exponencial. Se uma chave de nível 1 tem uma complexidade de $(x^2 \cdot y^{-3})^2$ e é multiplicada por uma de nível 2 com complexidade $(x \cdot y^2)^{-4}$, simplifique a expressão resultante para encontrar a complexidade total do sistema em termos de $x$ e $y$:

Em um laboratório de biotecnologia, uma população de bactérias triplica a cada hora. Se inicialmente havia $3^4$ bactérias, a expressão que representa o número de bactérias ao final de $t$ horas é $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) Quantas bactérias haverá ao final de um dia ($t=24$)? Expresse o resultado como uma potência.

1. b) Se, devido a um antibiótico, a população for reduzida dividindo-se por $9^5$, simplifique a expressão resultante:

Efetue as operações e simplifique a seguinte expressão, deixando o resultado na forma de fração irredutível sem expoentes negativos:

Um satélite de comunicações envia pacotes de dados de um tamanho de $2^{15}$ bytes. Se o satélite deve enviar um arquivo total que ocupa $16^5$ bytes, calcule quantos pacotes deverá emitir. Expresse tanto os dados iniciais quanto o resultado final como potências de base 2.

Indique se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com base nas propriedades das potências e na regra dos sinais:

1. a) $(-2)^4 = -2^4$

1. b) $\frac{a^{-3}}{b^{-3}} = \left( \frac{b}{a} \right)^3$

1. c) $(x+y)^2 = x^2 + y^2$

1. d) $(-5)^{-2} = \frac{1}{25}$

O raio de um átomo de hidrogênio é de aproximadamente $5 \cdot 10^{-11}$ metros. Se quiséssemos representar o volume de um espaço cúbico que contivesse exatamente esse raio como aresta, teríamos que elevar tal medida ao cubo ($V = l^3$).

Calcule o volume resultante em notação científica e simplifique a expressão:

Ordene do menor para o maior os seguintes valores, transformando-os previamente para que tenham a mesma base:

Queremos construir uma fração formada exclusivamente por potências de base não prima da forma:

onde $a$, $b$ e $c$ são números inteiros (positivos, negativos ou zero). O objetivo é que, após aplicar as propriedades das potências e simplificar ao máximo, o resultado exato seja a fração irredutível $\frac{20}{27}$.

1. a) Decomponha as bases compostas ($6$, $10$, $15$) e os números da fração objetivo ($20$, $27$) em fatores primos.
2. b) Formule o sistema de equações lineares que os expoentes $a$, $b$ e $c$ devem satisfazer ao igualar as potências de cada base prima em ambos os membros.
3. c) Resolva o sistema para determinar os valores inteiros de $a$, $b$ e $c$. Identifique qual deles resulta ser estritamente negativo e explique que significado prático tem esse expoente negativo em relação à posição real desse fator na fração.

Uma empresa de telecomunicações monitora o consumo mensal de dados em uma região de Minas Gerais. Tomando o ano 2024 como referência temporal ($k = 0$), o aumento do trabalho remoto faz com que o tráfego médio mensal dobre exatamente a cada 3 anos (ou seja, em cada triênio é multiplicado por um fator de $2$). Em 2024, o tráfego registrado foi de $128\text{ TB}$ ($128 = 2^7\text{ TB}$).

1. a) Se $k \in \mathbb{Z}$ representa o número de triênios decorridos desde 2024 (onde $k>0$ indica triênios no futuro e $k<0$ triênios no passado), escreva a fórmula do tráfego mensal $T(k)$ em terabytes como uma única potência de base $2$.
2. b) A que ano civil do passado corresponde o valor $k = -3$? Calcule o tráfego de dados desse ano aplicando as propriedades do expoente negativo e justifique por que o sinal de menos modela um recuo temporal (dividir sucessivamente por $2$ em vez de multiplicar).
3. c) Para o ano 2036 prevê-se instalar um nó central com capacidade de $2^{15}\text{ TB}$. Utilize o quociente de potências de mesma base para calcular quantas vezes essa capacidade será maior em relação ao tráfego registrado no ano correspondente a $k = -3$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica até obter uma única potência ou um produto de potências de base prima, eliminando todos os expoentes negativos e evitando o uso da calculadora:

Para resolver, decomponha primeiro todas as bases em seus fatores primos ($2$ e $3$) e aplique cuidadosamente as propriedades das potências de expoente inteiro.

No estudo de modelos econômicos, às vezes aparecem expressões que exigem colocar em evidência potências com expoentes variáveis. Simplifique ao máximo a seguinte fração para que seja mais fácil de programar em uma planilha:

Uma empresa de cibersegurança analisa a propagação de um vírus de computador. Observou-se que o número de arquivos infectados triplica a cada hora. No entanto, a cada $4$ horas, um antivírus consegue eliminar $80 \%$ das infecções existentes nesse instante.

Se inicialmente há apenas $1$ arquivo infectado, expresse por meio de uma operação com potências o número de arquivos afetados ao fim de $12$ horas, logo após a terceira atuação do antivírus. Você poderia escrever o resultado final em notação científica?

Efetue as operações e simplifique a seguinte expressão com variáveis, deixando o resultado final sem expoentes negativos:

Um investidor analisa dois produtos financeiros. No primeiro, seu capital é multiplicado por $1,02$ a cada mês (juros compostos). No segundo, devido à alta volatilidade, o capital é multiplicado por $1,05$ em um mês, mas diminui sendo multiplicado por $0,98$ no mês seguinte, repetindo-se esse ciclo de dois meses indefinidamente.

Se o investidor depositar uma quantia $C$ durante $2$ anos ($24$ meses), expresse por meio de potências de expoente inteiro o capital final obtido em cada opção. Qual das duas opções é mais rentável após esses $24$ meses? Justifique sua resposta comparando as bases das potências resultantes, depois de expressá-las com o mesmo expoente.

Calcule o valor da seguinte expressão numérica decompondo as bases em fatores primos e simplificando ao máximo. O resultado deve ser um número inteiro ou uma fração irredutível:

No mundo da computação, as capacidades de armazenamento crescem de forma exponencial. Suponha que um servidor duplique sua capacidade de armazenamento a cada $18$ meses. Se no ano $2020$ ele tinha uma capacidade de $2^{10}$ Terabytes (TB):

1. a) Expresse por meio de uma potência de base $2$ qual será sua capacidade no ano $2035$.
2. b) Se cada TB equivale a $2^{40}$ bytes, expresse a capacidade total do ano $2035$ em bytes utilizando uma única potência de base $2$.

Demonstre, aplicando as propriedades das potências, que a seguinte igualdade é verdadeira para qualquer valor de $x$ e $y$ (desde que as bases não sejam nulas):

Indique passo a passo qual propriedade você está aplicando em cada etapa da simplificação.

Para simplificar a seguinte expressão algébrica (com $a, b \ne 0$):

dois estudantes da 1ª série do Ensino Médio propõem caminhos diferentes:

• Método da Alba: Primeiro inverte a fração completa para converter o expoente exterior $-2$ em $+2$; depois muda para o membro oposto (numerador ou denominador) cada fator com expoente negativo para que todos os expoentes fiquem positivos; por fim, fatora $18$ e $12$ em primos e simplifica.

• Método do Bruno: Mantém a fração original e opera primeiro no interior dos colchetes: fatora $18$ e $12$ em primos, distribui a potência do produto no denominador, agrupa as potências de mesma base subtraindo expoentes ($a^m / a^n = a^{m-n}$ operando com inteiros negativos) e, apenas no final, aplica a potência de potência com o expoente exterior $-2$.

1. a) Desenvolva a simplificação passo a passo seguindo ambos os métodos e verifique que com os dois se chega à mesma expressão irredutível com expoentes positivos.
2. b) Compare com senso crítico ambas as estratégias: qual delas minimiza o risco de cometer erros com a subtração de números negativos? Aponte com precisão em qual passo algébrico concreto é mais fácil cometer um erro em cada um dos métodos.

Determine todos os pares de números inteiros $(m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ que satisfazem a seguinte equação:

Para resolver o problema sem recorrer a tentativas, desenvolva de forma justificada as seguintes alíneas:

1. a) Sinal e paridade: Observe que o segundo membro é negativo. Sabendo que $6^{n-m} > 0$ e $9^{-n} > 0$ para quaisquer inteiros $m$ e $n$, deduza o sinal que a potência $(-2)^m$ deve ter e demonstre que condição de paridade (par ou ímpar) o inteiro $m$ deve necessariamente cumprir.
2. b) Decomposição em bases primas: Reescreva ambos os membros da equação decompondo todas as bases nos seus fatores primos ($2$ e $3$) e aplique as propriedades das operações com potências para reduzir o primeiro membro à forma $- (2^P \cdot 3^Q)$, onde $P$ e $Q$ são expressões algébricas em função de $m$ e $n$.
3. c) Resolução e unicidade: A partir da unicidade da fatoração em números primos, formule e resolva o sistema de equações com incógnitas $m$ e $n$. Verifique que a solução obtida cumpre a condição de paridade obtida em (a) e justifique por que não pode haver nenhuma outra solução inteira.