Exercícios: Progressões geométricas

Analise as seguintes sequências numéricas. Sua tarefa é identificar quais delas são progressões geométricas. Para as que forem, indique qual é a sua razão ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Observe a seguinte figura. Partimos de um quadrado grande de lado $8 \text{ cm}$. O quadrado seguinte é formado com um comprimento de lado que é metade do anterior, e assim sucessivamente.

Calcule o comprimento do lado dos primeiros 4 quadrados e escreva o termo geral $a_n$ da sequência que esses comprimentos formam.

Imagine que um vídeo viral em uma rede social é compartilhado muito rápido. Uma pessoa envia o vídeo (minuto 0). No minuto 1, 5 novas pessoas o assistem. No minuto 2, cada uma dessas 5 pessoas o compartilha com outras 5 novas pessoas, e assim sucessivamente.

1. Escreva os quatro primeiros termos da sequência de novos espectadores por minuto.

2. Qual é a razão $r$ de crescimento?

3. Escreva a fórmula do termo geral $a_n$.

Temos uma folha de papel com uma espessura inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Se dobrarmos a folha ao meio, a espessura duplica. Se a dobrarmos novamente, duplica de novo.

Considere $a_1$ como a espessura após a primeira dobra.

1. Calcule a espessura da folha após 1, 2, 3 e 4 dobras.

2. Qual espessura a pilha de papel terá depois de 10 dobras? Expresse o resultado em milímetros.

Uma bola de borracha é deixada cair de uma certa altura. Em cada quique, a bola atinge uma altura que é a metade da altura anterior.

Se no primeiro quique ($a_1$) atingir uma altura de $160 \text{ cm}$:

1. a) Escreva a sequência das alturas nos primeiros 5 quiques.
2. b) Qual é a razão $r$ desta progressão?
3. c) Qual altura atingirá no oitavo quique?

Dada uma progressão geométrica em que o primeiro termo é $a_1 = 3$ e a razão é $r = 2$:

1. a) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 7 ($a_7$).
2. b) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 10 ($a_{10}$).

Utilize a fórmula do termo geral: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Um avô decide economizar para o seu neto seguindo uma regra matemática curiosa. No primeiro mês guarda 2 reais em um cofre. No segundo mês guarda 6 reais. No terceiro mês guarda 18 reais.

Se continuar com essa lógica:

1. Verifique que é uma progressão geométrica e encontre a razão $r$.

2. Calcule quanto dinheiro terá que colocar no cofre no quinto mês.

Temos uma progressão geométrica formada por frações. Sabemos que os primeiros termos são:

1. a) Identifique o primeiro termo $a_1$ e a razão $r$.
2. b) Calcule o termo $a_6$ sem necessidade de multiplicar um a um, usando a fórmula geral.

O Davi está resolvendo um exercício da aula: «Determine o sexto termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_1 = 6$ e cuja razão é $r = 3$». No caderno dele, escreveu o seguinte:

1. a) Identifique e explique com clareza o erro conceitual e de prioridade das operações que o Davi cometeu.
2. b) Escreva a fórmula do termo geral de forma correta e calcule o valor real de $a_6$.
3. c) Se o Davi tivesse aplicado o procedimento errado dele para calcular apenas o segundo termo ($a_2$), que resultado teria obtido em comparação com o valor real? Explique por que o erro do Davi faz com que o desvio aumente de forma exorbitante à medida que o índice $n$ cresce.

Desenhe uma progressão geométrica que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Seus termos alternam de sinal: o primeiro é positivo, o segundo negativo, o terceiro positivo, etc.

2. O terceiro termo vale exatamente $a_3 = 12$.

3. O quinto termo vale exatamente $a_5 = 48$.

1. a) Apresente a relação matemática entre $a_3$ e $a_5$ por meio da razão $r$, deduza os dois possíveis valores numéricos de $r$ e justifique qual deles você deve escolher para que se cumpra a condição de alternância de sinais.
2. b) A partir do valor da razão, determine, com fundamentação, o primeiro termo $a_1$.
3. c) Escreva os quatro primeiros termos da sua progressão geométrica e fundamente por que motivo, numa progressão com razão negativa e primeiro termo positivo, é impossível que um termo de índice ímpar seja negativo.

Um vídeo de uma famosa streamer viralizou. Na primeira hora teve 5 visualizações. Devido ao algoritmo da plataforma, a cada hora que passa, o número de novas visualizações é multiplicado por 3 em relação à hora anterior.

1. a) Escreva os cinco primeiros termos da sequência que representa as novas visualizações por hora.
2. b) Qual é a razão $r$ desta progressão geométrica?
3. c) Escreva o termo geral $a_n$ que permite calcular as visualizações na hora $n$.
4. d) Quantas novas visualizações o vídeo terá exatamente na hora 8?

Em um jogo de RPG, a experiência necessária para subir de nível segue uma progressão geométrica. Sabemos que para atingir o nível 2 você precisa de 150 pontos de experiência, e para atingir o nível 5 você precisa de 1200 pontos.

Calcule:

1. a) A razão $r$ da progressão.
2. b) A experiência necessária para o primeiro nível ($a_1$).
3. c) A experiência necessária para atingir o nível 10.

Observe a seguinte figura fractal. Começamos com um triângulo equilátero de área $64\text{ cm}^2$ (Etapa 1). Em cada passo seguinte, em cada um dos triângulos que ficam por pintar, pintamos o triângulo central formado pelos pontos médios dos seus lados (triângulo invertido), o qual tem uma área igual a $1/4$ do triângulo onde se encontra.

Considerando a sequência formada pela área total dos novos triângulos coloridos em cada etapa (a partir da Etapa 2):

1. a) Escreva os três primeiros termos da sequência.
2. b) Qual é a razão desta progressão?
3. c) Calcule a soma das áreas de todos os triângulos coloridos se repetíssemos o processo infinitas vezes.

Miguel quer comprar um patinete elétrico que custa 400 reais. Ele decide economizar seguindo um plano rigoroso: na primeira semana economiza 2 reais, na segunda semana 4 reais, na terceira 8 reais, e assim sucessivamente, dobrando a quantia a cada semana.

1. a) Quanto dinheiro ele terá que economizar na semana número 8?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total ao final da semana 8?
3. c) Ele terá conseguido dinheiro suficiente para comprar o patinete ao terminar a semana 8? Se não for o caso, de quantas semanas ele precisa no total?

Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura inicial de 20 metros. Em cada ressalto, a bola perde energia e só alcança 80% da altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcule a altura que a bola alcança depois do terceiro ressalto.
2. b) Calcule a distância total percorrida pela bola (para baixo e para cima) no momento em que toca o chão pela quarta vez.

Nota: Leve em conta que a primeira queda é de 20 m, mas depois ela sobe e desce.

Temos um quadrado de lado 10 cm. Unimos os pontos médios dos seus lados para formar um segundo quadrado inscrito. Repetimos o processo com o segundo quadrado para formar um terceiro, e assim sucessivamente.

1. a) Sabendo que a área de cada novo quadrado é a metade da anterior, escreva a sequência das áreas dos 5 primeiros quadrados.
2. b) É uma progressão aritmética ou geométrica? Identifique o primeiro termo e a razão.
3. c) Calcule a soma das áreas dos 10 primeiros quadrados gerados.

Um biólogo está estudando uma colônia de bactérias em uma placa de Petri. Inicialmente conta 500 bactérias. Observa que a população aumenta 20% a cada hora.

1. a) Explique por que esse crescimento corresponde a uma progressão geométrica e determine a razão $r$.
2. b) Escreva o termo geral $a_n$ que descreve o número de bactérias após $n$ horas. (Considere $a_0 = 500$ como o início, ou ajuste a fórmula para $a_1$ como a quantidade após 1 hora).
3. c) Quantas bactérias haverá, aproximadamente, depois de 12 horas?

Calcule o produto dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica sabendo que o primeiro termo é $a_1 = 3$ e que o quarto termo é $a_4 = 24$.

No laboratório de Ciências de uma escola de Belo Horizonte, realiza-se um ensaio deixando cair uma bola a partir de uma altura de $3\text{ m}$. Após cada quique no chão, a bola atinge uma altura máxima equivalente a $60\,\%$ da altura alcançada no quique anterior.

1. a) Estime antes de calcular: Se a bola fizesse infinitos quiques ideais, você acha que a soma de todas as alturas atingidas nos quiques ($a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$) superará os $10\text{ metros}$ ou será inferior a $6\text{ metros}$? Justifique brevemente a sua intuição inicial sem usar fórmulas.
2. b) Modele a situação: determine a altura alcançada no primeiro quique ($a_1$) e escreva a expressão do termo geral $a_n$ da altura correspondente ao quique de número $n$.
3. c) Aplique a fórmula da soma dos infinitos termos ($S_\infty$) para obter a soma teórica total das alturas de todos os quiques.
4. d) Compare o valor exato obtido com a sua estimativa inicial. Como você explicaria a um colega, com suas próprias palavras, que a soma de infinitas quantidades positivas possa dar um número exato e finito?

Segundo os dados sobre o desafio demográfico do Instituto Nacional de Estadística (INE), um município da província de Zamora contava com $1.250$ habitantes recenseados em 1º de janeiro de 2018. Devido ao envelhecimento populacional e à emigração, observa-se que a sua população diminui a uma taxa constante de $5\,\%$ ao ano.

1. a) Modele a evolução da população por meio de uma progressão geométrica: calcule a razão $r$, indique o valor do termo inicial $a_1$ (população em 2018) e formule o termo geral $a_n$, em que $n=1$ corresponde ao ano 2018, $n=2$ a 2019, e assim por diante.
2. b) Calcule a população prevista para o ano 2023 ($n = 6$), arredondando para o número inteiro de pessoas mais próximo.
3. c) A administração regional estabelece que, se a população recenseada ficar abaixo de $900$ habitantes, o posto de saúde local perde o atendimento presencial diário. Verifique numericamente se, até o ano 2025 ($n = 8$), o município já terá ultrapassado esse limite crítico ou se conseguirá manter o serviço.

Um biólogo está estudando uma cepa de bactérias muito agressiva em uma placa de Petri. Inicialmente, conta 500 bactérias. Observa que a população aumenta 15% a cada hora.

Para que o experimento seja controlável, a população não deve ultrapassar 2.000.000 de bactérias. Utilizando a calculadora e seus conhecimentos sobre o termo geral de uma progressão geométrica:

1. Escreva a expressão do termo geral $a_n$ que descreve o número de bactérias em função das horas decorridas $n$.

2. Calcule quantas bactérias haverá exatamente ao final de 24 horas.

3. Determine quantas horas completas podem se passar no máximo antes que a cultura ultrapasse o limite de segurança de 2 milhões.

Uma bola de borracha especial é deixada cair de uma altura de 2 metros. Devido à perda de energia, cada vez que quica no solo, sobe apenas até 80% da altura de onde caiu anteriormente.

Esse comportamento gera uma sequência de alturas máximas atingidas após cada quique.

1. Calcule a altura que a bola atinge após o quinto quique.

2. Imagine que deixamos a bola quicar indefinidamente até parar. Calcule a distância total (para baixo e para cima) que a bola terá percorrido desde que foi solta até parar por completo. Tenha cuidado: a primeira queda é única, mas os quiques implicam subir e descer a mesma distância.

Um famoso youtuber lança uma campanha beneficente. No primeiro dia doa 10 reais. Compromete-se a doar, a cada dia seguinte, uma quantia tal que a soma do doado nesse dia e no dia anterior seja o triplo do que doou no dia anterior.

Nota: Leia bem o enunciado, é um enigma matemático sobre a razão $r$.

1. Calcule quanto ele doa no segundo e no terceiro dia.

2. Demonstre que as quantias doadas dia a dia formam uma progressão geométrica e encontre a sua razão $r$.

3. Quanto dinheiro ele terá doado no total ao final de uma semana (7 dias)?

Estamos projetando um logotipo artístico baseado em uma sequência de quadrados inscritos.

Partimos de um quadrado exterior de lado $L_1 = 20 \text{ cm}$.

O segundo quadrado é formado unindo os pontos médios dos lados do primeiro. O terceiro quadrado une os pontos médios do segundo, e assim sucessivamente.

1. Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar o lado do segundo quadrado ($L_2$) e do terceiro ($L_3$).

2. Determine a razão da progressão geométrica que formam as áreas destes quadrados.

3. Se pudéssemos desenhar infinitos quadrados para dentro seguindo este padrão, quanto valeria a soma das áreas de todos os quadrados (a área total colorida)?

Uma empresa de tecnologia oferece dois tipos de contrato salarial para um cargo de programador durante 5 anos:

• Contrato A: Salário inicial de 24.000 reais anuais, com um aumento fixo de 2.000 reais a cada ano (Progressão Aritmética).

• Contrato B: Salário inicial de 22.000 reais anuais, com um aumento de 8% a cada ano em relação ao ano anterior (Progressão Geométrica).

• Escreva o termo geral $a_n$ para o Contrato A e $b_n$ para o Contrato B.

• Calcule o salário anual no quinto ano para ambos os contratos. Qual paga mais nesse ano em específico?

• Calcule a soma total de dinheiro ganho nos 5 anos com cada contrato ($S_5$). Qual contrato é mais vantajoso a longo prazo (no total acumulado)?

Temos uma progressão geométrica da qual desconhecemos a razão $r$ e o primeiro termo $a_1$. No entanto, sabemos que o terceiro termo vale 12 ($a_3 = 12$) e o sexto termo vale 96 ($a_6 = 96$).

1. Monte um sistema de equações ou utilize a fórmula do termo geral para encontrar a razão $r$.

2. Assim que tiver a razão, calcule o primeiro termo $a_1$.

3. Calcule o produto dos 6 primeiros termos da sequência ($P_6$).

O Triângulo de Sierpinski é um fractal famoso que é construído a partir de um triângulo equilátero.

O processo é o seguinte (na figura, os triângulos «pretos» são desenhados em verde):

• Passo 0: Temos um triângulo equilátero preto de área $80 \text{ cm}^2$.

• Passo 1: Recortamos (retiramos) o triângulo central invertido, cuja área é $1/4$ do triângulo anterior. Ficam 3 triângulos pretos menores.

• Passo 2: De cada um dos 3 triângulos pretos restantes, recortamos novamente o triângulo central (que é $1/4$ da área do seu triângulo contentor).

1. Escreva a sequência que representa a área preta total que permanece na figura em cada passo ($A_0, A_1, A_2, ...$).

2. Qual é a razão $r$ desta progressão geométrica decrescente?

3. Calcule que área preta restará depois de aplicar o processo 5 vezes (Passo 5).

Queremos interpolar (intercalar) 4 números entre o 3 e o 96 para formar uma progressão geométrica de 6 termos no total. Ou seja, buscamos construir a sequência:

1. Identifique qual posição o 3 e o 96 ocupam na progressão ($a_1$ e $a_n$).

2. Utilize a fórmula do termo geral para isolar e calcular a razão $r$.

3. Escreva os quatro números que interpolamos.

4. Se quiséssemos somar todos esses 6 números, qual seria o resultado?

O departamento de matemática propõe o seguinte desafio: «Em uma progressão geométrica sabe-se que o quarto termo é $a_4 = 24$ e o sétimo termo é $a_7 = 192$. Calcule a soma dos primeiros 7 termos ($S_7$)».

Dois alunos da turma propõem estratégias distintas:

• A Marta propõe usar a relação direta $a_7 = a_4 \cdot r^{7-4}$ para determinar a razão $r$, recuar a partir de $a_4$ dividindo por $r^3$ para encontrar $a_1$, e finalmente calcular a soma com a fórmula fechada $S_7 = \frac{a_1(r^7 - 1)}{r - 1}$.

• O Hugo propõe definir um sistema de duas equações com duas incógnitas: $\begin{cases} 24 = a_1 \cdot r^3 \\ 192 = a_1 \cdot r^6 \end{cases}$, resolvê-lo isolando $a_1$ na primeira e substituindo na segunda, e em seguida calcular à mão, um a um, os 7 termos ($a_1, a_2, \ldots, a_7$) para somá-los diretamente, evitando usar a fórmula da soma.

1. a) Resolva o problema aplicando minuciosamente os dois métodos e verifique se ambos levam ao mesmo resultado numérico.
2. b) Compare os dois caminhos: quais são os pontos fracos do procedimento do Hugo em relação à estratégia da Marta em termos de eficácia e risco de erro?
3. c) Imagine que os dados fossem $a_{10} = 50$, $a_{30} = 51.200$ e se pedisse a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$). Justifique de forma fundamentada por que razão o método do Hugo se torna inviável na prática e qual das duas abordagens evidencia uma compreensão algébrica madura.

Uma empreendedora de Salvador procura financiamento para começar o seu projeto durante os primeiros 6 meses. Duas incubadoras de empresas oferecem duas propostas de apoio mensal a fundo perdido:

• Plano A (Programa Acelera): Recebe $\text{R\$}\ 600$ no primeiro mês e, em cada mês seguinte, a quantia aumenta em um valor fixo de $\text{R\$}\ 100$ em relação ao anterior ($\text{R\$}\ 600, \text{R\$}\ 700, \text{R\$}\ 800, \dots$).

• Plano B (Fundo Impulso): Recebe $\text{R\$}\ 300$ no primeiro mês e, em cada mês seguinte, a quantia aumenta $30\,\%$ em relação à do mês anterior ($r = 1,30$).

1. a) Identifique que tipo de progressão (aritmética ou geométrica) descreve cada uma das modalidades e escreva a expressão matemática do termo geral da mensalidade recebida no mês $n$ para ambos os planos.
2. b) Calcule a quantia que ela receberia mês a mês em cada plano durante os 6 meses de duração do programa. Em que mês específico a mensalidade individual do Plano B supera pela primeira vez a do Plano A?
3. c) Utilize as fórmulas de soma correspondentes para calcular a quantia financeira total acumulada após os 6 meses completos com cada um dos dois planos. Tendo em conta o resultado, qual dos dois planos lhe proporciona mais dinheiro no total e por que razão o crescimento geométrico nem sempre é a opção mais vantajosa em prazos curtos, ainda que a longo prazo seja exponencialmente superior?

Desafio do tema. Poupança constante ou multiplicadora? Desenhe um plano de poupança de um ano para financiar um projeto pessoal.

1. Fase 1: Dados reais. Entra no site do INE (ou do Banco de Espanha) e consulta o último dado publicado da inflação homóloga (IPC, ex. $2,8\,\%$). Fixa uma quantia inicial de poupança para o primeiro mês ($a_1 = 20$ reais).

2. Fase 2: Modelação. Coloca duas opções para $12$ meses:

3. Plano A (Progressão aritmética): Aumentas a tua contribuição mensal numa diferença fixa de $d = 3$ reais. Determina o termo geral $a_n$ e o capital acumulado através da soma $S_{12}$.

4. Plano B (Progressão geométrica): Aumentas a tua contribuição $10\,\%$ mensalmente em relação ao mês anterior ($r = 1,10$). Deduz a fórmula de $b_n$ e calcula a soma total $S_{12}$.

5. Fase 3: Simulação e decisão. Cria numa folha de cálculo (Excel, Calc ou Google Sheets) uma tabela comparativa mês a mês e um gráfico que represente ambas as evoluções. Redige um relatório breve justificando que opção consideras mais viável e se o dinheiro acumulado compensa o aumento dos preços de acordo com o IPC registado.

Será valorizado:

• Dedução e cálculo algébrico rigoroso dos termos gerais e das somas ($S_{12}$).

• Construção correta da planilha, com fórmulas automáticas e gráfico comparativo.

• Argumentação crítica e realista da decisão final, articulada com o IPCA real.