Exercícios: Tendência e periodicidade

Observe o gráfico da seguinte função, que descreve a altura de uma cabine de uma roda-gigante em relação à sua posição central ao longo do tempo. Determine o período $T$ da função e, sabendo que o padrão se repete indefinidamente, calcule o valor da função no instante $x = 22$.

Sabendo que uma função $f(x)$ é periódica com um período $T = 6$ e que, no primeiro ciclo, atinge um valor de $f(2) = 5$, qual será o valor de $f(20)$?

O gráfico a seguir mostra a evolução da temperatura de uma xícara de café recém-servida ao longo do tempo. Para qual valor a temperatura tende quando o tempo avança indefinidamente? Como se chama matematicamente a reta horizontal da qual a curva se aproxima?

Dada a seguinte tabela de valores de uma função $g(x)$ obtida por meio de uma planilha, qual você acha que é a sua tendência quando a variável independente $x$ tende a $+\infty$?

Tiramos uma lata de refrigerante da geladeira a $4^\circ\text{C}$ e a deixamos sobre a mesa da sala de jantar, onde a temperatura ambiente se mantém constante a $23^\circ\text{C}$. Para qual temperatura o refrigerante tenderá se o deixarmos lá durante vários dias sem abrir?

Classifique os seguintes fenômenos da vida real conforme correspondam a funções periódicas ou não periódicas:

• A altura de uma pessoa ao longo de toda a sua vida.

• O movimento do ponteiro dos minutos em um relógio de parede.

• O saldo disponível em uma conta corrente ao longo do ano.

• O ciclo das fases da Lua.

Uma função periódica tem período $T = 5$. Se conhecemos os valores dela no primeiro ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ e $f(5) = 1$, calcule, de forma fundamentada, o valor de $f(14)$.

O tempo $t$ (em horas) gasto para esvaziar o reservatório de irrigação de uma propriedade agrícola depende do número de bombas de água idênticas $n$ que são conectadas simultaneamente, segundo a função $t(n) = \frac{120}{n}$. Para qual valor tende o tempo de esvaziamento se o número de bombas utilizadas tende a infinito?

Uma boia oceanográfica situada em frente à costa de Salvador registra a altura da ondulação por meio de uma função periódica de período $T = 6\text{ segundos}$. No primeiro ciclo, entre $t = 0\text{ s}$ e $t = 6\text{ s}$, os registros de altura são os seguintes: $f(1) = 1{,}8\text{ m}$; $f(2) = 2{,}5\text{ m}$; $f(3) = 1{,}2\text{ m}$; $f(4) = 0{,}4\text{ m}$; $f(5) = 0{,}8\text{ m}$. O técnico estagiário, Lucas, precisa descobrir a altura da ondulação no instante $t = 81\text{ s}$. Para isso, divide $81$ por $6$ com a calculadora e obtém $13{,}5$. Lucas conclui em seu relatório: «Como o resultado é $13{,}5$, a boia se encontra em um valor intermediário, então calculo a média aritmética entre $f(13)$ e $f(5)$».\na) Identifique o erro conceitual que Lucas comete ao interpretar o quociente decimal da calculadora no contexto de uma função periódica.\nb) Corrija o raciocínio aplicando a divisão euclidiana inteira (quociente e resto) para determinar a qual instante concreto do ciclo fundamental $[0, 6)$ equivale exatamente o segundo $t = 81\text{ s}$.\nc) A partir da sua dedução, indique o valor exato da altura da água em $t = 81\text{ s}$.

Num laboratório de controle de qualidade em Goiânia, introduz-se uma peça metálica recém-temperada dentro de uma câmara de refrigeração. A temperatura da peça (em $^\circ\text{C}$) em função do tempo decorrido $t$ (em horas) responde a um modelo do tipo:\n$$T(t) = A \cdot (0{,}65)^t + C$$\nSabe-se que no instante de introduzir a peça ($t = 0\text{ h}$) a sua temperatura é de $320^\circ\text{C}$, e que, se fosse deixada dentro da câmara indefinidamente ($t \to \infty$), a sua temperatura tenderia a estabilizar na temperatura de repouso do refrigerador, que se mantém constante a $18^\circ\text{C}$.\na) Deduz fundamentadamente o valor das constantes $A$ e $C$ a partir dos dados fornecidos sobre a tendência e o valor inicial.\nb) Escreve a fórmula definitiva de $T(t)$ e determina a equação da assíntota horizontal da função, explicando que significado físico tem essa reta no processo industrial.

A famosa roda-gigante "London Eye" tem um diâmetro aproximado de $120\text{ m}$. Os passageiros sobem nas cabines na parte mais baixa, que se encontra praticamente ao nível do solo ($0\text{ m}$). A roda-gigante gira a velocidade constante e leva exatamente $30\text{ minutos}$ para dar uma volta completa. Qual é o período da função que descreve a altura de uma cabine em relação ao tempo? A que altura um passageiro se encontrará $45\text{ minutos}$ após ter subido, se não tiver descido?

A concentração de um antibiótico no sangue de um paciente (medida em $\text{mg/L}$) após $t$ horas de sua administração é dada pela expressão matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcule a concentração às $2\text{ horas}$, às $10\text{ horas}$ e às $100\text{ horas}$. A partir destes resultados, qual é a tendência da concentração a longo prazo?

O gráfico a seguir mostra um eletrocardiograma (ECG) simplificado de um paciente em repouso. Determine o período da função em segundos e, a partir deste dado, calcule a frequência cardíaca do paciente expressa em batimentos por minuto (bpm).

A tábua de marés de um porto de pesca indica que a primeira preamar (maré alta) do dia ocorre às 04:00 da madrugada e a seguinte baixa-mar (maré baixa) ocorre às 10:15 da manhã. Supondo que o nível do mar se comporta como uma função periódica em que a subida e a descida duram o mesmo tempo, qual é o seu período em horas e minutos? A que horas exatas ocorrerá a próxima preamar?

Uma pequena fábrica de tênis tem custos fixos diários de $800\text{ \text{R\$}\ }$ (aluguel, luz, seguros) e fabricar cada par de tênis tem um custo de materiais de $5\text{ \text{R\$}\ }$. O custo médio por tênis ao fabricar $x$ pares por dia é dado pela função $C_m(x) = \frac{800 + 5x}{x}$. Calcule o custo médio se forem fabricados $10$, $100$ e $5000$ tênis em um dia. Para qual valor tende o custo médio se o volume de produção tende a infinito?

A população de uma espécie protegida em uma reserva natural foi modelada pela função $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, em que $t$ é o tempo decorrido em anos desde o início do estudo. Qual era a população inicial no ano $t=0$? Para qual valor tende a população a longo prazo quando $t \to +\infty$? Esse limite faz sentido do ponto de vista ecológico?

Um farol marítimo de sinalização emite um relâmpago de luz intensa que dura exatamente $2\text{ segundos}$, seguido por um período de escuridão total de $7\text{ segundos}$, repetindo esse ciclo de forma ininterrupta. Se o farol acende pela primeira vez à noite às 22:00:00, qual é o período dessa função luminosa? A luz estará acesa ou apagada às 22:01:15?

Observe o gráfico a seguir que representa o nível de água (em metros) em um reservatório industrial automatizado ao longo do tempo (em minutos). Determine o período da função e calcule qual será o nível exato de água no minuto $t = 86$.

O nível da água na baía de Guanabara oscila de forma periódica devido às marés, completando um ciclo a cada $12\text{ horas}$. Na preamar (maré alta), às $t = 0\text{ h}$ e às $t = 12\text{ h}$, a água atinge a sua cota máxima de $4{,}5\text{ m}$. Na baixa-mar (maré baixa), no meio do ciclo ($t = 6\text{ h}$), o nível desce até a sua cota mínima de $1{,}5\text{ m}$.\na) Sem aplicar fórmulas complexas, faça uma estimativa fundamentada de entre quais dois valores estará a altura da maré às $t = 27\text{ horas}$ do início e determine se nesse instante a água estará subindo ou descendo. Justifique a sua estimativa deduzindo quantos ciclos completos terão decorrido e em que ponto do ciclo se encontra esse instante.\nb) Sabendo que a altura é modelada pela função $h(t) = 3 + 1{,}5 \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6} t\right)$ (com o ângulo em radianos), calcule o valor exato de $h(27)$ e verifique se a sua estimativa inicial foi acertada e coerente com o resultado numérico.

Um relatório do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) analisa o despovoamento em um pequeno município rural do sertão da Bahia. A partir do ano 2020 ($t = 0$), o número de habitantes recenseados se ajusta à seguinte função com tendência:\n$$P(t) = 540 \cdot (0{,}8)^t + 360$$\nonde $t$ é o tempo decorrido em anos e $P(t)$ representa a população total.\na) Qual era a população do município no ano 2020 e quantos habitantes se preveem para o ano 2023?\nb) Analisa a tendência da população a muito longo prazo ($t \to \infty$). Justifica matematicamente para que valor estabiliza a população apoiando-te no comportamento da base $0{,}8$ ao ser elevada a expoentes cada vez maiores, e indica a equação da assíntota horizontal.\nc) Um título de imprensa local assegura: «Se a tendência demográfica não mudar, este município acabará por ficar completamente deserto com $0$ habitantes». Refute matematicamente essa afirmação com base no conceito de assíntota horizontal do modelo.

O gráfico a seguir mostra a altura de um praticante de bungee jumping ao longo do tempo, sujeita à oscilação da corda elástica. Analise o gráfico e responda: qual é o "período" temporal aproximado entre os dois primeiros rebotes? Pode-se considerar que é uma função estritamente periódica? Para qual valor tende a altura do saltador quando o tempo tende a infinito e o que esse valor representa fisicamente?

Os lucros mensais de uma startup (em milhares de reais) desde a sua criação são dados pela função racional $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, onde $x$ é o número de meses decorridos. Sabendo que no mês inicial ($x=0$) o lucro foi de $25\text{ mil \text{R\$}\ }$ e que, a longo prazo, os estudos de mercado indicam que os lucros tendem a se estabilizar em $120\text{ mil \text{R\$}\ }$ mensais, determine o valor exato do parâmetro $a$ e calcule o lucro esperado para o mês $8$.

Em uma fábrica automatizada, a máquina A requer uma parada de manutenção a cada $45\text{ minutos}$ e a máquina B requer uma parada a cada $60\text{ minutos}$. Se ambas as máquinas recebem manutenção simultânea às 08:00 da manhã, a que horas voltarão a coincidir exatamente na manutenção? Se definirmos uma função matemática que vale $1$ quando ambas as máquinas estão paradas ao mesmo tempo e $0$ no restante do tempo, qual é o período dessa função?

Um reservatório de $500\text{ L}$ inicialmente vazio é enchido por uma torneira que fornece $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exatamente nesse momento, a torneira é fechada e abre-se uma válvula de escoamento que esvazia o reservatório a uma taxa constante de $50\text{ L/min}$ até ficar completamente vazio, momento em que a válvula é fechada, a torneira é aberta e o ciclo recomeça. Desenhe mentalmente o gráfico do volume de água em função do tempo. Qual é o período completo desse processo? Que volume exato de água haverá no reservatório no minuto $100$?

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere uma função $f(x)$ definida no intervalo $[0, 4)$ por meio da expressão algébrica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos também que a função é periódica com período $T = 4$ para qualquer valor de $x \ge 0$, de modo que $f(x+4) = f(x)$. Com base nessas propriedades, calcule passo a passo o valor exato de $f(2019)$.

A temperatura interna de um motor industrial em funcionamento (medida em $^\circ\text{C}$) segue a lei matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde a partida. Qual é a temperatura no momento de ligar o motor? Para qual temperatura máxima ela tende se o motor funcionar de forma ininterrupta durante semanas? Quanto tempo exato deve decorrer para que a temperatura interna atinja $85^\circ\text{C}$?

Um satélite meteorológico orbita a Terra de modo a passar exatamente sobre uma estação de rastreamento terrestre a cada $4\text{ horas e } 15\text{ minutos}$. Se a primeira passagem da semana sobre a estação for registrada em uma segunda-feira às 02:30 da madrugada, quantas vezes ele passará no total sobre a estação ao longo de toda a semana (até domingo às 23:59)? Em que dia e a que hora exata será a última passagem registrada nessa semana?

As vendas diárias estimadas de dois produtos concorrentes, A e B, seguem as seguintes funções de tendência com o passar dos dias $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ e $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. Para quais valores limite tendem as vendas de cada produto a longo prazo? A partir de qual dia $t$ as vendas do produto B superam definitivamente as do produto A?

Um sensor instalado em um aerogerador de um parque eólico em Caetité (BA) registra as vibrações de uma pá por meio de uma função periódica de período $T = 1{,}25\text{ segundos}$. A equipe de manutenção dispõe unicamente da tabela de dados do primeiro ciclo, correspondente ao intervalo $[0; 1{,}25)\text{ segundos}$, e precisa avaliar o estado da pá exatamente no instante $t = 253{,}5\text{ segundos}$. Dois analistas propõem métodos diferentes:\n- Método A (Quociente decimal direto): Dividir $253{,}5$ por $1{,}25$ na calculadora ($253{,}5 : 1{,}25 = 202{,}8$), tomar a parte decimal $0{,}8$ e multiplicá-la pelo período ($0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1{,}0\text{ s}$) para localizar o ponto dentro do primeiro ciclo.\n- Método B (Agrupamento de ciclos em inteiros exatos): Observar que o período é fracionário ($T = \dfrac{5}{4}\text{ s}$), de modo que a cada $4$ períodos completos decorrem exatamente $4 \cdot 1{,}25 = 5\text{ segundos}$. Decompor $253{,}5\text{ s}$ separando o maior múltiplo inteiro de $5\text{ s}$ para reduzir drasticamente o valor antes de fazer a divisão final.\na) Desenvolva ambos os métodos passo a passo. Obtém-se em ambos os casos o mesmo instante equivalente dentro de $[0; 1{,}25)$? Qual é?\nb) Imagine agora que o sensor é substituído por outro cujo período exato é $T = \dfrac{4}{3}\text{ segundos}$ ($1{,}3333\dots\text{ s}$). Fundamente qual dos dois métodos se tornaria perigoso devido ao arredondamento de decimais na calculadora e justifique qual você deveria escolher para garantir a máxima precisão matemática.

No departamento de design de uma montadora de automóveis em Betim (Minas Gerais), testa-se o amortecimento de um veículo ao passar por uma lombada. O deslocamento vertical da carroceria em relação ao chassi, $y(t)$ (em centímetros), oscila para cima e para baixo atingindo cristas sucessivas a cada $0{,}5\text{ segundos}$, mas a altura dessas cristas diminui rapidamente até que o carro volta à sua posição de repouso ($y = 0$).\na) Um engenheiro estagiário afirma: «Dado que o carro sobe e desce regularmente a cada $0{,}5\text{ segundos}$, a função que descreve o movimento é periódica com período $T = 0{,}5\text{ s}$». Utilize a definição matemática rigorosa de função periódica, $f(t+T) = f(t)$ para todo $t$ do seu domínio, para rebater a afirmação dele e demonstrar que uma oscilação amortecida nunca pode ser estritamente periódica.\nb) Construa uma função $y(t)$ que modele matematicamente esse comportamento, reunindo as seguintes três condições simultâneas:\n 1. No instante do impacto ($t = 0$), o deslocamento inicial seja $y(0) = 8\text{ cm}$.\n 2. Contenha um fator oscilatório da forma $\cos(k \cdot t)$ cujo período seja de $0{,}5\text{ segundos}$ (lembre-se de que o período de $\cos(kt)$ é $\dfrac{2\pi}{k}$).\n 3. A sua amplitude decaia para a posição de equilíbrio por meio de um fator da forma $b^t$ com $0 < b < 1$, de modo que a função tenda a $0$ quando $t \to \infty$.\nVerifique algebricamente que a fórmula que você elaborou cumpre $y(0) = 8$ e que o seu limite quando $t \to \infty$ é de fato $0$.