Exercícios: Taxa de variação, taxa de variação média e taxa de crescimento

A seguinte tabela mostra a temperatura $T$ (em $^{\circ}C$) de uma reação química em função do tempo $t$ (em minutos).

• Para $t = 0$, $T = 15$

• Para $t = 1$, $T = 18$

• Para $t = 2$, $T = 24$

• Para $t = 3$, $T = 32$

• Para $t = 4$, $T = 45$

• Para $t = 5$, $T = 60$

Calcule a Taxa de Variação (TV) e a Taxa de Variação Média (TVM) no intervalo $[2, 5]$.

Dada a função afim $f(x) = 4x - 5$, calcule a sua taxa de variação média nos intervalos $[-2, 1]$ e $[3, 6]$. Que conclusão é possível tirar sobre a taxa de variação média das funções lineares?

Calcule a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no intervalo $[1, 4]$.

O gráfico mostra o crescimento de uma planta, onde $h(t)$ é a altura em centímetros e $t$ o tempo em semanas. A partir do gráfico, calcule a taxa de variação média da altura no intervalo $[1, 4]$.

Um ciclista percorre uma distância dada pela função $d(t) = 3t^2 + 2t$, onde $d$ é medido em metros e $t$ em segundos. Encontre a velocidade média do ciclista, que equivale à taxa de variação média da posição, entre os instantes $t = 2$ e $t = 5$.

Sabendo que a taxa de variação média de uma função $f(x)$ no intervalo $[2, 6]$ é igual a $5$, e que $f(2) = 7$, determine o valor de $f(6)$.

Calcule a taxa de variação média da função de proporcionalidade inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ no intervalo $[2, 8]$.

O saldo $S$ (em reais) de uma conta de poupança em função do tempo $t$ (em meses) é dado pela expressão $S(t) = 150 + 25t$. Determine a taxa de variação média no intervalo $[0, 6]$ e interprete o resultado numérico no contexto do problema.

O número de usuários ativos de um aplicativo para celular passou de $2000$ a $2500$ ao longo de um mês. Calcule a taxa de crescimento expressa em porcentagem.

O Mateo analisa a evolução dos habitantes registrados em um município da província de Minas Gerais entre os anos de 2015 ($t = 0$) e 2023 ($t = 8$). O número de habitantes registrados passou de $2\,400$ para $3\,000$. Para calcular o ritmo médio de variação anual, o Mateo escreve em sua prova:

E afirma em sua conclusão: «O município cresceu a um ritmo médio de $0,25$ habitantes por ano».

1. a) Identifique o erro conceitual que o Mateo cometeu e explique qual grandeza ele calculou realmente em vez da taxa de variação média.
2. b) Corrija a resolução dele calculando a verdadeira taxa de variação média (TVM) no intervalo $[0, 8]$, indicando e interpretando suas unidades.
3. c) Pegue o resultado errado do Mateo ($0,25$) e interprete que informação ele fornece se for expresso como taxa de crescimento percentual (TC).

A estação meteorológica em Goiânia registra durante um dia de verão as seguintes temperaturas: às $11:00$ ($t = 11$) o termômetro marca $30\,^{\circ}\text{C}$ e às $16:00$ ($t = 16$) atinge a temperatura máxima do dia com $42,5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo formal, faça uma estimativa intuitiva e fundamentada: você acha que a temperatura subiu mais ou menos de $2\,^{\circ}\text{C}$ por hora, em média? Justifique sua resposta em uma frase a partir dos dados brutos.
2. b) Calcule a taxa de variação (TV) e a taxa de variação média (TVM) da temperatura no intervalo $[11, 16]$, especificando as unidades de cada resultado.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta comparando-a com o valor exato da TVM e fundamente: será que este valor médio significa que a temperatura subiu exatamente essa quantidade em cada uma das cinco horas do intervalo?

As visualizações de um vídeo viral crescem seguindo o modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, onde $N$ é o número de visualizações em milhares e $t$ é medido em dias. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Compare os resultados e explique o que eles indicam sobre o ritmo de crescimento do vídeo.

Determine o valor do parâmetro $a$ para que a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ no intervalo $[1, 5]$ seja exatamente igual a $14$.

O gráfico a seguir mostra o número de espectadores $V(t)$, em milhares, das transmissões de um torneio de e-sports durante os primeiros $5$ meses da temporada. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. Interprete o significado dos sinais obtidos em cada caso.

De uma ponte alta, deixa-se cair uma pedra. A altura $h$ (em metros) em relação à superfície da água em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela equação $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[1; 2,5]$. Que grandeza física esse valor representa e por que tem sinal negativo?

Dada a função com radical $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, determine a taxa de variação média nos intervalos $[2, 6]$ e $[6, 14]$.

O volume $V$ (em litros) de água em um reservatório industrial que está sendo esvaziado é dado pela função $V(t) = 500 - 10t - t^2$, onde $t$ é medido em minutos. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[0, 5]$ e $[5, 10]$. Em qual intervalo de tempo o reservatório se esvazia mais rápido?

Considere a função quadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[2, 5]$ e utilize esse valor para escrever a equação da reta secante ao gráfico de $f(x)$ que passa pelos pontos de abscissa $x = 2$ e $x = 5$.

Dada a seguinte função definida por partes, calcule a taxa de variação média no intervalo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

O valor de um carro se deprecia segundo a função $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, onde $t$ são os anos decorridos desde a sua compra e $V(t)$ o preço em reais. Calcule a taxa de crescimento percentual no primeiro ano (intervalo $[0, 1]$) e explique o significado prático do seu sinal.

O nível de água de uma represa (em hectômetros cúbicos) durante os meses de verão segue a função $N(t) = \frac{120}{t+1}$, onde $t$ é o número de meses decorridos ($t=0$ é o início de junho, $t=1$ é o início de julho, etc.). Calcule a taxa de variação média entre o início de junho e o início de agosto ($t=2$) e a taxa de crescimento percentual nesse mesmo período.

O preço de um produto tecnológico era de $800$ reais no seu lançamento. Dois meses depois, o seu preço caiu para $640$ reais. Supondo um modelo de decrescimento linear, calcule a taxa de variação média mensal e a taxa de crescimento percentual total nesses dois primeiros meses.

O custo total de transporte (em reais) faturado por uma empresa de logística em função da distância do envio $x$ (medida em dezenas de quilômetros, com $x \ge 0$) é dado pela função $C(x) = 0,5x^2 + 2x + 10$.

1. a) Um transporte parte da central ($x = 0$) com destino a um ponto situado a uma distância desconhecida $b$ dezenas de quilômetros. Sabendo que a taxa de variação média do custo nesse trajeto foi de $5$ reais por dezena de quilômetro (ou seja, $\text{TVM}[0, b] = 5$), formule a equação correspondente e calcule o valor exato de $b$.
2. b) Outro cliente solicita um transporte entre dois armazéns situados nas posições $x = 3$ e $x = k$ (com $k > 3$). O cliente afirma que nesse trajeto a taxa de variação média foi de apenas $3$ reais por dezena de quilômetro ($\text{TVM}[3, k] = 3$). Demonstre algebricamente que é impossível encontrar um valor $k > 3$ que cumpra essa condição e explique geometricamente por que a forma da parábola impede um coeficiente angular tão baixo nessa zona.

A partir de dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), o preço médio do metro quadrado de habitação em duas comunidades autônomas evoluiu da seguinte forma entre os anos de 2014 ($t = 0$) e 2024 ($t = 10$):

• Na Extremadura passou de $800$ reais/m$^2$ para $1\,200$ reais/m$^2$.

• Na Comunidade de Madri passou de $2\,200$ reais/m$^2$ para $3\,000$ reais/m$^2$.

1. a) Modele a evolução calculando a taxa de variação média (TVM) do preço em cada comunidade no período $[0, 10]$. Em qual das duas o preço cresceu a um ritmo anual absoluto maior?
2. b) Calcule a taxa de crescimento (TC) percentual nessa mesma década para ambas as comunidades. Qual delas registrou um aumento relativo maior em relação ao seu nível inicial?
3. c) Dois veículos de comunicação dão a notícia com títulos diferentes: o jornal A publica «Madri duplica o ritmo anual de alta do preço da habitação em relação à Extremadura», enquanto o jornal B intitula «A habitação na Extremadura encarece na última década a um ritmo percentual muito superior ao de Madri». Explique qual indicador matemático (TVM ou TC) sustenta cada título e argumente por que nenhum dos dois jornais está mentindo.

Obtenha a expressão algébrica simplificada para a taxa de variação média da função $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ no intervalo genérico $[a, a+h]$, onde $h > 0$.

A distância de frenagem $d$ (em metros) de um veículo em função da sua velocidade $v$ (em km/h) é modelada pela função $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[40, 60]$ e $[100, 120]$. Explique por que o aumento médio da distância de frenagem é muito maior em altas velocidades.

O gráfico mostra a distância ao ponto de partida $d(t)$ em km de um ciclista ao longo de um treino de $5$ horas. Calcule a taxa de variação média no intervalo completo $[0, 5]$ e justifique, analisando o gráfico, em qual intervalo de uma hora o ciclista atingiu a maior velocidade instantânea.

Seja a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a taxa de variação média de $f(x)$ no intervalo $[1, 5]$ é igual a $4$.

O número de seguidores $S$ (em milhares) de um canal de vídeos em função do número de vídeos publicados $x$ segue o modelo $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[10, 20]$ e $[40, 50]$. Interprete, a partir dos resultados obtidos, o fenômeno de que cada novo vídeo traz cada vez menos novos seguidores.

Um retângulo é inscrito em um triângulo retângulo de base $10$ cm e altura $8$ cm, apoiando dois de seus lados sobre os catetos. A área do retângulo em função da sua base $x$ é dada pela expressão $A(x) = x(8 - 0,8x)$. Calcule a taxa de variação média da área nos intervalos $[2, 4]$ e $[6, 8]$. Interprete a mudança de sinal da taxa de variação média neste contexto geométrico.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcule e compare a taxa de variação média nos intervalos $[1, 2]$ e $[-2, -1]$. Justifique analiticamente por que se obtém o mesmo resultado utilizando a simetria ímpar da função.

Uma função $f(x)$ tem a propriedade de que a sua taxa de variação média em qualquer intervalo $[a, b]$ é sempre constante e igual a $-4$. Sabendo que o gráfico da função passa pelo ponto $(3, 10)$, determine a expressão algébrica de $f(x)$ e calcule o valor exato de $f(8)$.

A posição de um objeto em queda livre é dada por $e(t) = 5t^2$ (onde $e$ é medido em metros e $t$ em segundos). Encontre o instante exato de tempo $t > 1$ para o qual a velocidade média (que coincide com a taxa de variação média) no intervalo $[1, t]$ é exatamente de $25$ m/s.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a taxa de crescimento percentual da função $f(x) = \frac{k}{x+2}$ no intervalo $[2, 8]$ seja exatamente de $-60\%$. O resultado final depende do valor inicial de $k$? Justifique sua resposta algebricamente.

Dois amigos comparam o crescimento de seus canais de vídeo. O canal A ganha seguidores segundo o modelo linear $S_A(t) = 100t + 500$, e o canal B segundo o modelo exponencial $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (onde $t$ é medido em dias e $S$ em seguidores). Calcule a taxa de crescimento percentual de ambos os canais no intervalo $[2, 4]$ e determine qual deles tem o maior crescimento relativo nesse período.

Seja a função exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule a taxa de crescimento percentual nos intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ e $[3, 4]$. A partir dos resultados obtidos, demonstre algebricamente que, para qualquer intervalo da forma $[n, n+1]$ (com $n \in \mathbb{N}$), a taxa de crescimento percentual dessa função é sempre constante.

O volume de água restante (em metros cúbicos) em um reservatório de irrigação agrícola em Petrolina após a abertura de uma comporta de drenagem é modelado pela função $V(t) = 100 - 5t - t^2$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde a abertura ($0 \le t \le 7$). É necessário determinar a rapidez instantânea com que a água sai exatamente no instante $t = 2$ horas, para o que se propõem dois procedimentos:

• Método A (Aproximação numérica mediante TVM sucessivas): Calcular a TVM em intervalos de tempo cada vez menores a partir de $t = 2$, concretamente $[2; 2,5]$ e $[2; 2,1]$, e observar a tendência.

• Método B (Cálculo algébrico genérico): Formular a expressão $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ com um incremento genérico $h > 0$, simplificar algebricamente a fração e deduzir o valor quando $h$ tende a zero ($h \to 0$).

1. a) Aplique o Método A: calcule as duas TVM numéricas e formule uma conjectura sobre qual é a velocidade instantânea de esvaziamento às $2$ horas.
2. b) Aplique o Método B: desenvolva $V(2+h)$, simplifique a fração eliminando a indeterminação gerada pela variável $h$ e obtenha o valor exato quando $h \to 0$.
3. c) Compare ambos os métodos e justifique qual deles oferece uma demonstração matemática rigorosa diante de uma intuição e qual seria mais eficiente se um engenheiro tivesse de programar o cálculo da velocidade instantânea para muitos instantes diferentes.

A potência gerada (em megawatts, MW) durante as primeiras horas de um temporal por um parque eólico segue o modelo linear $P_1(t) = 2t + 4$, enquanto uma usina hidrelétrica modulável que entra em funcionamento durante o mesmo temporal segue o modelo quadrático $P_2(t) = t^2 - 2t + 4$, onde $t$ é medido em horas ($0 \le t \le 6$).

1. a) Verifique que no intervalo global $[0, 4]$ ambas as instalações apresentam exatamente a mesma taxa de variação média ($\text{TVM}[0, 4] = 2\text{ MW/h}$). Justifique se isso significa que ambas aumentaram a sua produção no mesmo ritmo em todos os instantes; para isso, analise o comportamento real de $P_2(t)$ entre $t = 0$ e $t = 1$ e compare-o com o da reta secante.
2. b) Determine algebricamente para qual instante $b > 2$ a taxa de crescimento da usina hidrelétrica no intervalo $[0, b]$ é exatamente de $200\,\%$ ($\text{TC}_2[0, b] = 2$). Calcule a TVM nesse trecho e explique como se relacionam a TVM, a TC e o valor inicial $P_2(0)$.
3. c) Deseja-se descobrir a partir de que momento o aumento horário da hidrelétrica supera com clareza o da eólica. Formule e resolva uma inequação com as taxas de variação média num intervalo genérico de uma hora $[a, a+1]$ para determinar a partir de que hora $a$ se verifica que $\text{TVM}_2[a, a+1] - \text{TVM}_1[a, a+1] > 3\text{ MW/h}$.