Exercícios: Progressões geométricas

Um jovem criador de conteúdo em uma rede social observa que o número de reproduções dos seus vídeos aumenta de forma constante. No primeiro dia obteve $200$ visualizações, no segundo $600$, no terceiro $1800$, e assim sucessivamente seguindo uma progressão geométrica.

1. a) Determine a razão $r$ da progressão.
2. b) Calcule quantas visualizações receberá no sexto dia se essa tendência se mantiver.

Para comprar uma bicicleta elétrica, uma estudante decide fazer o "desafio da economia semanal": guarda dinheiro a cada semana de forma que cada depósito seja o dobro do anterior. Na primeira semana guarda $2$ reais, na segunda $4$ reais, na terceira $8$ reais, e assim por diante.

1. a) Escreva o termo geral $a_n$ desta progressão.
2. b) Utilize a fórmula da soma de uma progressão geométrica para descobrir quanto dinheiro ela terá acumulado no total ao fim de $8$ semanas.

Um avô abre uma conta poupança para o seu neto recém-nascido com um capital inicial de $2000$ reais. O banco oferece juros simples anuais de $2,5 \%$.

1. a) Calcule os juros que a conta gerará ao final de $10$ anos.
2. b) A quanto chegará o capital total acumulado após esse período?

Devido à inflação, o preço do aluguel de uma zona jovem da cidade tem subido $4 \%$ a cada ano de maneira acumulativa. Se o preço atual de um estúdio é de $650$ reais por mês:

1. a) Qual será o preço do aluguel dentro de $3$ anos?
2. b) Identifique os elementos da progressão geométrica que modela esta situação (capital inicial $C_0$ e razão $r$).

Um banco oferece uma aplicação a juros compostos com um rendimento anual de $3 \%$. Se depositarmos $5000$ reais e não fizermos nenhum outro aporte nem retirada:

1. a) Qual será o capital final ao fim de $4$ anos?
2. b) Quanto dinheiro teremos ganhado exclusivamente a título de juros?

O valor de mercado de um modelo de console de videogame se deprecia $12 \%$ a cada ano que passa. Se o preço de lançamento é de $499$ reais:

1. a) Escreva os três primeiros termos da sequência de preços anuais.
2. b) Calcule o valor do console após $5$ anos.

Calcule o capital final obtido ao investir $1500$ reais durante $2$ anos a juros compostos de $4 \%$ anuais, se o período de capitalização dos juros for mensal (ou seja, os juros são creditados a cada mês).

Uma empresa de entregas em Salvador compra uma van de distribuição elétrica por um valor inicial de $28\,000$ reais. A empresa sabe que este tipo de veículo sofre uma depreciação anual contínua de $12\,\%$ sobre o seu valor do ano anterior. O Marcos, o contador estagiário, calcula o valor do veículo ao fim de $4$ anos da seguinte forma:

«Como o veículo perde $12\,\%$ a cada ano, em $4$ anos terá perdido $4 \cdot 12\,\% = 48\,\%$ do seu valor original. Portanto, o valor contábil aos $4$ anos será $28\,000 \cdot (1 - 0{,}48) = 14\,560$ reais».

1. a) Explique com suas palavras o erro conceitual que o Marcos comete e por que razão o método dele confunde o modelo linear (juro simples) com o processo geométrico de depreciação.
2. b) Modele o valor do veículo como uma progressão geométrica: identifique o termo inicial $a_1$ (valor após o primeiro ano), a razão $r$ e escreva o termo geral $a_n$ que determina o valor do veículo ao terminar o ano $n$.
3. c) Calcule o valor contábil real da van aos $4$ anos e determine em quantos reais o Marcos superestimou ou subestimou o valor do ativo.

A Sofia deposita $5\,000$ reais em uma conta a prazo de uma instituição bancária, que lhe garante um juro de $4\,\%$ ao ano, composto, sem fazer novos depósitos nem saques.

1. a) Estime, antes de fazer qualquer cálculo analítico com logaritmos, quantos anos aproximadamente ela demorará para acumular pelo menos $7\,000$ reais (um aumento de $40\,\%$ sobre o capital inicial). Para isso, faça um cálculo mental aproximado considerando apenas o juro simples do primeiro ano e explique se o tempo real com juro composto será um pouco maior ou menor do que a sua estimativa.
2. b) Apresente a equação do capital final $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$ e isole $n$ usando logaritmos para calcular o número exato de períodos necessários para atingir ou ultrapassar os $7\,000$ reais.
3. c) Compare o resultado analítico com a sua estimativa inicial e justifique quantos anos inteiros a Sofia deve esperar para poder sacar, no mínimo, essa quantia.

Uma jovem decide investir as suas economias de $\text{R\$}\ 2500$ em um produto financeiro que oferece juros compostos de $3,2 \%$ ao ano.

1. a) Qual será o capital final se os juros forem capitalizados anualmente durante 6 anos?
2. b) Qual seria a diferença se a capitalização fosse mensal em vez de anual para esse mesmo período de tempo?

Um investidor analisa duas contas de poupança diferentes:

• Conta A: Oferece juros de $4 \%$ anuais com capitalização trimestral.

• Conta B: Oferece juros de $4,05 \%$ anuais com capitalização anual.

Determine, de forma fundamentada, calculando a taxa efetiva anual da Conta A, qual das duas opções é mais vantajosa para o investidor.

Um pequeno empreendedor solicita um empréstimo de $\text{R\$}\ 15000$ para adquirir maquinário. O banco concede o empréstimo a juros de $5,5 \%$ anuais, que ele deve devolver em parcelas mensais iguais durante 4 anos.

1. a) Calcule o valor da parcela mensal que ele deverá pagar.
2. b) A quanto chegarão os juros totais pagos ao final do empréstimo?

Um estudante universitário compra um notebook de última geração por $\text{R\$}\ 1200$. Estima-se que o valor do equipamento se desvalorize $15\,\%$ a cada ano de forma acumulada.

1. a) Qual será o valor do computador após 3 anos de uso?

1. b) Quantos anos devem passar para que o valor do computador seja inferior à quarta parte do seu preço original? (Utilize logaritmos para o cálculo).

Uma jovem de 18 anos quer constituir um fundo de $\text{R\$}\ 150000$ daqui a 20 anos, quando completar 38, para a entrada de um imóvel e a criação do seu próprio negócio. Se a instituição financeira lhe garante uma taxa de juros média de $3,5 \%$ ao ano, capitalizada anualmente:

Que quantia fixa ela deveria depositar no início de cada ano para atingir o seu objetivo?

Dada a progressão geométrica definida pelos termos $a_2 = 12$ e $a_5 = 324$:

1. a) Encontre a razão $r$ e o primeiro termo $a_1$.
2. b) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão.
3. c) Seria possível calcular a soma dos infinitos termos dela? Justifique sua resposta.

Uma família quer dispor de um fundo de poupança para os estudos universitários do seu filho dentro de $4$ anos. Para isso, decidem realizar quatro depósitos constantes de $a$ reais no início de cada um dos próximos $4$ anos em um produto financeiro com um juro garantido de $3{,}5\,\%$ anual composto. No final do quarto ano, o saldo acumulado no fundo é exatamente de $10\,843{,}60$ reais.

1. a) Escreva a equação que modela este plano de poupança relacionando o capital final com a parcela anual $a$, baseando-se na soma dos termos de uma progressão geométrica de razão $r = 1 + i$.
2. b) A partir da equação apresentada, isole e calcule o valor do depósito anual $a$.
3. c) Considere a situação inversa: a família deposita exatamente $2\,000$ reais no início de cada ano durante $3$ anos e deseja acumular um capital final de $6\,500$ reais. Escreva a equação polinomial em função da razão $r = 1+i$ que permitiria calcular a taxa de rentabilidade anual $i$ necessária para atingir esse objetivo.

Segundo dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), um município da comarca da Serranía de Cuenca contava com $3\,200$ habitantes recenseados em $1$ de janeiro de $2020$. Devido ao envelhecimento populacional e à falta de renovação geracional, sua população diminui a cada ano a um ritmo regular de $4\,\%$ em relação à do ano anterior.

1. a) Modele a evolução da população como uma progressão geométrica: determine a razão $r$, escreva o termo geral $P_n$ que estima a população após $n$ anos desde $2020$, e calcule a população prevista para $1$ de janeiro de $2025$.
2. b) Se essa tendência continuar de forma constante, em que ano a população do município descerá abaixo de $2\,000$ habitantes pela primeira vez? Formule a inequação correspondente, resolva-a aplicando logaritmos (prestando especial atenção às propriedades das desigualdades ao dividir por números negativos) e fundamente a resposta temporal.
3. c) Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, calcule quantos habitantes o município terá perdido no total desde $1$ de janeiro de $2020$ até $1$ de janeiro de $2030$.

Uma jovem empreendedora decide abrir uma conta de poupança para financiar o seu projeto de uma marca de roupas sustentáveis dentro de 5 anos. Para isso, ela se compromete a depositar $150$ reais no início de cada mês. O banco lhe oferece uma taxa de juros nominal anual de $4,5\%$, com capitalização mensal dos juros.

Calcule o capital total acumulado ao final dos 5 anos. Para resolver isso, obtenha primeiro a taxa de juros mensal equivalente e aplique a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica (anuidade de capitalização).

Uma família solicita um empréstimo imobiliário de $180.000$ reais para pagar em 20 anos por meio de parcelas mensais constantes (sistema francês). O banco aplica uma taxa de juros de $3,25\%$ ao ano. No entanto, o contrato inclui uma cláusula de "carência parcial" durante os dois primeiros anos, em que a família pagará apenas os juros gerados, sem amortizar nada do capital.

1. a) Calcule a parcela mensal que a família pagará durante os dois primeiros anos (período de carência).
2. b) Calcule a parcela mensal que a família deverá pagar a partir do terceiro ano até o final do empréstimo. Considere que, nesse momento, o saldo devedor continua sendo o inicial, mas o prazo restante diminuiu.

Comparamos dois produtos de investimento para um capital de $10.000$ reais durante 4 anos:

• Produto A: Juros compostos anuais de $5\%$.

• Produto B: Taxa de juros nominal de $4,8\%$ ao ano, com capitalização mensal dos juros.

Determine qual dos dois produtos é mais rentável calculando a Taxa Anual Equivalente (TAE) de cada um. Explique por que, embora o Produto B tenha uma taxa de juros nominal mais baixa, a frequência de capitalização influencia o resultado final.

Um colecionador de arte compra uma escultura por $12.000$ reais. Estima-se que o valor dela aumentará $8\%$ a cada ano de forma constante. Ao mesmo tempo, a inflação média prevista para a próxima década é de $2,5\%$ ao ano.

1. a) Qual será o valor nominal da escultura ao fim de 10 anos?
2. b) Qual será o valor real da escultura depois desses 10 anos, expresso em "reais de hoje"? Para isso, deflacione o valor nominal usando o índice de preços derivado da inflação (que também segue uma progressão geométrica).

Uma prefeitura quer renovar os sistemas de iluminação das suas ruas para economizar energia. O custo da obra é de $1.500.000$ reais. Para pagá-lo, solicita um empréstimo a $2,8\%$ de juros anuais que amortizará mediante 10 parcelas anuais iguais.

Após pagar a quinta parcela, a prefeitura recebe uma subvenção europeia e decide quitar a dívida pendente em um único pagamento. Calcule quanto dinheiro a prefeitura deverá desembolsar nesse momento para liquidar o empréstimo totalmente.

Solta-se uma bola de uma altura inicial de $10$ metros. Em cada quique, a bola atinge uma altura igual a $2/3$ da altura do quique anterior.

1. a) Que altura atingirá após o sexto quique?
2. b) Calcule a distância total percorrida pela bola (subidas e descidas) até que, teoricamente, ela pare. Utilize a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica decrescente, levando em consideração que, exceto a queda inicial, todos os trajetos são realizados duas vezes (subida e descida).

Os avós de Marta querem constituir um fundo para custear os estudos universitários dela. O objetivo deles é que ela possa receber uma renda mensal de $500$ reais durante $4$ anos enquanto estuda fora de casa. Supondo que o banco lhes garanta um juro de $3\%$ anual composto durante todo esse tempo (período de recebimento da renda):

1. a) Qual capital deveriam ter acumulado no momento em que Marta começar a universidade para poder pagar essa renda? (Sugestão: trate este problema como o cálculo do capital inicial de um empréstimo em que a parcela mensal é a renda que ela recebe).
2. b) Se ainda faltam $10$ anos para Marta começar a universidade e atualmente eles não têm nada economizado, que quantia mensal fixa deveriam depositar em uma conta poupança que lhes oferece $4\%$ de juros anuais para conseguir reunir o capital calculado no item anterior?

Para constituir um capital de $25\,000$ reais destinado à entrada de um imóvel em Salvador, duas pessoas avaliam dois métodos de poupança distintos em uma instituição que oferece uma rentabilidade de $4\,\%$ anual composto:

• Estratégia A (Capital único): Depositar hoje uma quantia fixa de $16\,000$ reais e deixar que gere juros sem fazer novos depósitos.

• Estratégia B (Anuidades de poupança): Começar sem capital inicial e depositar uma parcela fixa de $2\,500$ reais no início de cada ano.

1. a) Para a Estratégia A, apresente a equação $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$, descreva o método algébrico para isolar diretamente $n$ por meio de logaritmos e calcule o número de anos inteiros necessários para superar o objetivo.
2. b) Para a Estratégia B, formule a equação a partir da soma de uma progressão geométrica para depósitos antecipados: $\text{Capital final} = a \cdot (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$. Explique detalhadamente por que, neste caso, não se podem aplicar logaritmos de forma imediata, descreva que transformações algébricas prévias são obrigatórias para isolar a potência $(1+i)^n$ e calcule quantos anos inteiros são necessários para atingir o objetivo.
3. c) Compare ambos os métodos e justifique qual das duas estratégias é mais rápida no tempo e qual exige um menor desembolso total de dinheiro saído do bolso do poupador.

Uma cooperativa agrícola no Mato Grosso instala uma usina fotovoltaica de autoconsumo por um valor total de $120\,000$ reais. A degradação dos painéis solares reduz gradualmente a energia produzida: no primeiro ano gera uma economia líquida de $15\,000$ reais, e nos anos seguintes a economia gerada em cada ano diminui $5\,\%$ em relação ao ano imediatamente anterior. A cooperativa deposita integralmente essa economia em uma conta de amortização sem rendimento financeiro adicional para recuperar o custo do projeto.

1. a) Modele as economias anuais $A_n$ correspondentes ao ano $n$ como uma progressão geométrica, indicando o primeiro termo $A_1$ e a razão $r$.
2. b) Escreva a expressão da soma acumulada $S_n$ após $n$ anos de funcionamento. A partir dela, analise de forma fundamentada se a cooperativa chegará a amortizar completamente a instalação ($120\,000$ reais) caso a usina opere indefinidamente, estudando o comportamento da soma quando o número de anos $n$ cresce indefinidamente ($n \to \infty$).
3. c) Suponha que a empresa instaladora ofereça uma garantia de recondicionamento que reduz a degradação anual para $2\,\%$ (ou seja, a cada ano rende menos $2\,\%$ do que no anterior, em vez de $5\,\%$), mantendo a economia inicial de $15\,000$ reais no primeiro ano. Modele a nova situação e determine, isolando por meio de logaritmos na equação da soma geométrica, quantos anos a cooperativa demorará para amortizar o investimento de $120\,000$ reais.