Exercícios: Amortização de empréstimos

Para comemorar o fim das provas, um grupo de amigos decide financiar a compra de um equipamento de som para o seu espaço avaliado em $\text{R\$}\ 1500$. O banco oferece um empréstimo a uma taxa de juros nominal anual de $6 \%$, que deverá ser devolvido em prestações mensais durante um ano. A figura resume a situação. Identifique os elementos do empréstimo para poder aplicar a fórmula da renda constante:

• Capital inicial ($C$)

• Número de pagamentos anuais ($k$)

• Número total de prestações ($n$)

• Taxa de juros mensal ($i$) expressa em valor unitário.

Um estudante do Ensino Médio quer comprar uma bicicleta elétrica de montanha que custa $\text{R\$}\ 2.400$. O estabelecimento lhe oferece um financiamento a $4,8 \%$ de juros nominais anuais, distribuído em parcelas mensais. Calcule qual será a taxa de juros mensal ($i$) aplicada em cada parcela e expresse-a tanto em porcentagem quanto em forma decimal (por um).

Marta pediu um empréstimo de $\text{R\$}\ 3.000$ para pagar a sua matrícula universitária e os materiais do curso. O banco aplica a ela o sistema de amortização francês (parcelas constantes) com juros mensais de $0,5 \%$. Se a parcela mensal for de $\text{R\$}\ 133,06$, calcule que valor da primeira parcela corresponde exclusivamente ao pagamento de juros.

Lucas financia seu novo console de última geração, que custa $\text{R\$}\ 600$, em 12 parcelas iguais. Ao finalizar o ano, percebe que pagou um total de $\text{R\$}\ 636$. Calcule:

1. a) O valor da parcela mensal.
2. b) O custo total dos juros pagos durante todo o empréstimo.

Uma academia de idiomas oferece financiamento para o curso intensivo de verão ($\text{R\$}\ 900$) mediante um empréstimo de 4 meses sem juros, cobrando no entanto uma comissão de abertura de $\text{R\$}\ 25$ no primeiro pagamento.

1. a) Qual será o valor das parcelas do segundo, terceiro e quarto mês?
2. b) Quanto pagará o aluno no primeiro mês no total?

Dada a seguinte tabela de amortização incompleta de um empréstimo para uma mesa digitalizadora, calcule os valores que faltam, assinalados com letras, sabendo que o juro mensal é de $1 \%$:

Para comprar uma motocicleta de baixa cilindrada de $\text{R\$}\ 2.000$, Beatriz dá uma entrada de $\text{R\$}\ 500$ e financia o restante mediante parcelas mensais constantes durante 2 anos. Se os juros nominais anuais forem de $3 \%$, aplique a fórmula da anuidade de amortização indicando claramente qual é o capital $C$ que realmente vai financiar.

Desenhe uma linha do tempo que represente o processo de amortização de um empréstimo de $\text{R\$}\ 1.200$ que é devolvido em 4 prestações trimestrais.

Marque na linha os instantes 0, 1, 2, 3 e 4 (em trimestres). No instante 0, assinale com uma seta para cima a entrada do empréstimo. Em cada marca de tempo (trimestre 1, 2, 3 e 4), desenhe uma seta para baixo e indique o nome que recebe a quantia fixa de dinheiro que se paga ao banco.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O David precisa comprar um computador para o seu novo trabalho como web designer e financia $\text{R\$}\ 1.800$ a devolver em 18 meses por meio de parcelas mensais constantes. A loja oferece a ele um financiamento com $6 \%$ de taxa de juros nominal anual ($\text{TIN}$). Para calcular quanto pagará por mês, o David faz no caderno o seguinte raciocínio:

Ao rever o valor, multiplica $166,24 \cdot 18 = \text{R\$}\ 2.992,32$ e se assusta porque pensa que pagará quase $\text{R\$}\ 1.200$ de juros por um empréstimo de apenas um ano e meio.

1. a) Identifique o erro conceitual cometido pelo David na aplicação da fórmula da parcela constante e explique por que o seu cálculo não é coerente com as unidades de tempo.
2. b) Corrija o cálculo: determine a taxa de juros mensal adequada $i$ e a parcela mensal real $a$ que ele terá de pagar (arredondada aos centavos).
3. c) Calcule o custo total real em juros do empréstimo e compare o resultado com o valor incorreto do David, para explicar a ele por que a sua intuição sobre a desproporção dos juros estava correta.

A Sofia vai adquirir uma moto elétrica para os seus deslocamentos urbanos por um valor de $\text{R\$}\ 4.800$. Ela pede um empréstimo bancário a ser quitado em 2 anos (24 meses) por meio do sistema de amortização francês, a uma taxa de juros nominal anual ($\text{TIN}$) de $6 \%$.

1. a) Antes de aplicar a fórmula financeira, estime de forma fundamentada um limite inferior para a parcela mensal (calculando quanto ela pagaria se a taxa de juros fosse de $0 \%$) e um limite superior aproximado (calculando o juro simples total dos 2 anos sobre o capital inicial, somando-o a este e dividindo pelos 24 meses).
2. b) Utilize a fórmula da parcela constante de amortização para calcular o valor exato da mensalidade $a$ (com precisão de centavos).
3. c) Verifique se o resultado exato se encontra dentro do intervalo estimado no item a) e avalie se é um resultado razoável. Em seguida, calcule o montante total pago a título de juros durante os 2 anos.

Para montar um pequeno estúdio de gravação e começar o seu canal de YouTube, Marcos pediu um empréstimo de $4\,500$ reais a pagar em 2 anos mediante parcelas mensais constantes. O banco aplica juros nominais anuais de $6\%$. Calcule o valor da parcela mensal que Marcos deve pagar.

Uma jovem empreendedora solicita um crédito de $12\,000$ reais para comprar uma van usada para o seu negócio de entregas. O empréstimo será amortizado em 4 anos com pagamentos trimestrais e juros anuais de $8\%$. Determine a parte da primeira parcela que corresponde ao pagamento de juros e que quantia se destina realmente a amortizar a dívida.

Um grupo de amigos decide comprar uma mesa de som profissional que custa $1\,800$ reais. Pagam $300$ reais à vista e financiam o resto a uma taxa de juros de $10\%$ anual (nominal, com período de capitalização mensal, ou seja, uma taxa mensal $i=\frac{0{,}10}{12}$) para pagá-lo em 6 meses com parcelas mensais constantes.

Lembre-se de que a parcela constante $a$ que amortiza um capital $C$ em $n$ períodos com taxa $i$ por período é:

$a = C\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$

Elabore as duas primeiras linhas da tabela de amortização, indicando em cada uma: saldo devedor, juros do período, capital amortizado e parcela mensal. Arredonde para centavos.

Para financiar uma viagem de formatura, uma associação de alunos pede um empréstimo de $3\,000$ reais a $5\%$ de juros compostos anuais. O acordo consiste em pagá-lo em um único pagamento ao fim de 18 meses. A quanto chegarão os juros totais? Se tivessem optado por amortizá-lo mensalmente durante esse mesmo tempo, pagariam mais ou menos juros no total? Fundamente a sua resposta sem necessidade de calcular a tabela completa.

Calcule o saldo devedor de um empréstimo de $20\,000$ reais solicitado a $4\%$ anual após ter pago 12 parcelas mensais. O empréstimo foi concedido por um total de 5 anos. (Dica: o saldo devedor é o valor atual das parcelas que faltam pagar).

Um clube de vídeo quer renovar as suas telas e solicita um crédito de $6\,000$ reais a $9\%$ anual para devolver em 3 anos com mensalidades constantes. O contrato inclui uma comissão por cancelamento antecipado de $1\%$ sobre o capital pendente. Se ao finalizar o segundo ano decidirem liquidar a dívida restante, qual será o valor total que deverão pagar nesse momento (capital pendente mais comissão)?

Comparamos dois empréstimos para comprar uma moto de $3\,500$ reais:

• Opção A: Amortização mensal durante 2 anos a $6\%$ nominal anual.

• Opção B: Amortização trimestral durante 2 anos a $6,2\%$ nominal anual.

Calcule a parcela de cada opção e determine em qual das duas se acaba pagando mais juros ao final dos dois anos.

Dada a seguinte linha de uma tabela de amortização de um empréstimo a $12\,\%$ anual com pagamentos mensais (o juro mensal é calculado dividindo a taxa anual por $12$, ou seja, $1\,\%$ mensal):

• Mês: $10$

• Dívida inicial do mês: $14\,250,80$ reais

• Prestação mensal: $450$ reais

Calcule:

1. a) O juro do mês $10$ (arredonde para centavos).

1. b) O capital amortizado nesse mês.

1. c) A dívida restante no início do mês $11$.

No extrato bancário de um empréstimo pessoal sujeito ao sistema de amortização francês com parcelas mensais constantes, apagaram-se várias linhas devido a uma falha de impressão. No entanto, no histórico distinguem-se com clareza os dados de dois meses consecutivos:

• No mês 5, a parte da parcela destinada à amortização do capital foi $A_5 = \text{R\$}\ 245,60$.

• No mês 6, a parte da parcela destinada à amortização do capital foi $A_6 = \text{R\$}\ 246,828$.

• O valor da parcela fixa mensal paga pelo cliente é de $\text{R\$}\ 320,00$.

1. a) Sabendo que as amortizações do capital seguem a relação $A_{k+1} = A_k \cdot (1+i)$, deduza a taxa de juros mensal $i$ e a taxa de juros nominal anual ($\text{TIN}$) do empréstimo.
2. b) A partir da parcela fixa mensal e de $A_5$, determine o montante destinado ao pagamento de juros no mês 5 ($I_5$) e calcule o saldo devedor no final do mês 4 ($C_4$).
3. c) Determine o valor da amortização do capital do primeiro mês ($A_1$) e deduza o capital total emprestado no início ($C_0$).

Segundo os dados da Estatística de Hipotecas do Instituto Nacional de Estatística (INE), o montante médio dos empréstimos hipotecários para a compra de moradia na Espanha fica em torno de $\text{R\$}\ 144.000$, com um prazo médio de amortização de 24 anos a uma taxa de juros nominal anual ($\text{TIN}$) fixa de $3,6 \%$ mediante parcelas mensais constantes.

1. a) Modele o financiamento imobiliário médio descrito: calcule a taxa de juros mensal $i$, o número total de pagamentos $n$ e a parcela mensal constante $a$ que o comprador paga.
2. b) Discrimine o primeiro pagamento mensal ($k=1$): calcule quanto se destina ao pagamento de juros ($I_1$) e quanto à amortização do capital emprestado ($A_1$). Determine que porcentagem da primeira parcela corresponde a juros e que porcentagem amortiza diretamente a dívida.
3. c) O Banco da Espanha recomenda que a parcela mensal do financiamento imobiliário não ultrapasse $35 \%$ da renda líquida familiar. Determine qual deve ser a renda líquida mensal mínima de uma família para poder contratar esse financiamento imobiliário médio cumprindo o referido critério de prudência financeira.

Uma jovem empreendedora de 24 anos decide abrir um estúdio de design gráfico. Para adquirir o equipamento necessário (computadores de última geração, licenças de software e mobiliário), solicita um empréstimo a uma instituição financeira que deve devolver em 5 anos mediante parcelas mensais constantes de $\text{R\$}\ 425,50$. A instituição aplica-lhe uma taxa de juros nominal anual de $5,4 \%$.

Calcule o capital inicial que o banco concedeu a ela para iniciar o seu negócio. Arredonde o resultado para os centavos de reais.

Um estudante universitário quer comprar um carro usado que custa $\text{R\$}\ 9.500$. Ele tem algumas economias, mas precisa financiar os $\text{R\$}\ 7.000$ restantes. O banco oferece um empréstimo pessoal com $6,75 \%$ de juros anuais. O estudante analisa o seu orçamento e conclui que só pode destinar no máximo $\text{R\$}\ 180$ por mês para o pagamento da parcela.

Utilizando logaritmos, determine quantos meses serão necessários, no mínimo, para pagar o empréstimo de modo que a parcela não ultrapasse o limite de $\text{R\$}\ 180$.

Uma família contrata um empréstimo hipotecário de $\text{R\$}\ 160.000$ com prazo de 20 anos, taxa de juros fixa de $3,25 \%$ anual e pagamentos mensais. Após exatamente 10 anos pagando as parcelas religiosamente, recebem uma herança e pensam em quitar a dívida pendente.

Calcule a composição da parcela número 121, indicando que parte corresponde ao pagamento de juros e que parte à amortização do capital.

Uma empresa de tecnologia logística solicita um empréstimo de $\text{R\$}\ 250.000$ para renovar a sua frota de veículos elétricos. O empréstimo é acordado com juros de $4,5 \%$ anuais e pagamentos trimestrais durante 6 anos. A instituição financeira concede um período de carência total de 6 meses (durante os dois primeiros trimestres não se realiza nenhum pagamento, mas os juros se acumulam ao capital inicial).

Calcule o valor das parcelas trimestrais que deverão ser pagas a partir do terceiro trimestre até o final do empréstimo.

Comparamos duas modalidades de empréstimo para financiar uma reforma de $\text{R\$}\ 30.000$ a ser paga em 4 anos com pagamentos mensais:

• Opção A: Juros nominais anuais de $5 \%$ sem tarifas iniciais.

• Opção B: Juros nominais anuais de $4,2 \%$, mas com uma tarifa de abertura de $1,5 \%$ sobre o capital solicitado, paga à vista no momento da assinatura.

Calcule o custo total de cada opção (soma de todas as parcelas mais tarifas) e determine qual é a mais vantajosa para o cliente.

Um financiamento imobiliário de $\text{R\$}\ 200.000$ é formalizado para um prazo de 25 anos com parcelas mensais. Durante os dois primeiros anos, a taxa de juros é fixa em $2,5 \%$ anual. A partir do início do terceiro ano, a taxa de juros passa a ser variável, tornando-se $4,75 \%$ anual.

Calcule quanto aumentará a parcela mensal da família a partir do terceiro ano devido a este aumento da taxa de juros.

Um trabalhador autônomo solicita um microcrédito de $\text{R\$}\ 12.000$ a $8 \%$ anuais para ser pago em 3 anos mediante parcelas semestrais. Após o primeiro ano (depois de pagar a segunda parcela), decide fazer uma amortização antecipada de $\text{R\$}\ 3.000$ para reduzir a dívida. O banco permite que ele escolha entre reduzir o tempo do empréstimo ou reduzir o valor das parcelas restantes.

Se optar por reduzir o valor da parcela mantendo o prazo original de 3 anos, calcule qual será o novo valor da parcela semestral.

Seja um empréstimo de capital $D$ a amortizar em $n$ períodos com juros por período $i$. Demonstre de forma fundamentada, utilizando a progressão geométrica dos saldos devedores, que se os juros fossem de $0 \%$ ($i=0$), a fórmula da prestação constante $a$ se simplifica para a divisão aritmética simples: $a = \frac{D}{n}$.

Nota: Para a demonstração, utilize o limite da fórmula da série de pagamentos constantes quando $i$ tende a zero ou analise a soma dos termos da amortização.

A Elena contratou há 4 anos um empréstimo de $\text{R\$}\ 50.000$ a uma $\text{TIN}$ anual de $4,8 \%$ a amortizar em 10 anos (120 prestações mensais constantes de $\text{R\$}\ 525,45$). Logo após pagar a parcela 48, o saldo devedor pendente de pagamento é de $\text{R\$}\ 32.808,16$. A Elena recebe um valor extra e amortiza antecipadamente $\text{R\$}\ 10.000$, reduzindo o seu saldo devedor para $\text{R\$}\ 22.808,16$. O banco propõe a ela duas opções para os 6 anos restantes (72 períodos):

• Opção A: Manter o prazo previsto (72 meses restantes) e reduzir o valor da parcela mensal.

• Opção B: Manter a parcela original de $\text{R\$}\ 525,45$ e reduzir o prazo de amortização restante.

1. a) Calcule o valor da nova parcela mensal na Opção A.
2. b) Na Opção B, formule a equação da parcela e isole, por meio de logaritmos, o número de meses necessários para quitar a dívida restante mantendo a parcela de $\text{R\$}\ 525,45$. Arredonde para cima, para o número inteiro de meses.
3. c) Calcule o custo total em juros que a Elena pagará no período que resta do empréstimo em cada uma das duas opções. Justifique qual dos dois métodos é financeiramente mais vantajoso em termos de economia de juros e explique em que circunstâncias pessoais poderia ser conveniente escolher a outra opção.

No sistema de amortização francês com prestação constante $a$, no início a maior parte de cada prestação destina-se a cobrir juros e uma fração muito pequena a amortizar capital, mas essa relação se inverte progressivamente à medida que a dívida diminui.

O Carlos e a Lucía solicitam um empréstimo hipotecário de $\text{R\$}\ 120.000$ a uma $\text{TIN}$ de $4,8 \%$ anual com prestações mensais durante 20 anos ($n = 240$ meses).

1. a) Demonstre analiticamente que a primeira parcela de amortização de capital pode ser expressa como $A_1 = a \cdot (1+i)^{-n}$, partindo da relação $I_1 = C_0 \cdot i$ e da fórmula da prestação constante $a$.
2. b) Para que a amortização de capital supere pela primeira vez os juros em um determinado mês $k$, deve-se verificar que $A_k > \frac{a}{2}$. Utilizando a expressão $A_k = A_1 \cdot (1+i)^{k-1}$ e o resultado do item a), formule a inequação correspondente e isole analiticamente com logaritmos a condição sobre $k$. Determine em que ano e mês do empréstimo ocorre exatamente esse cruzamento.
3. c) Analise a expressão obtida para $k$ no item b): o mês de cruzamento depende do capital inicial emprestado $C_0$? Se tivessem contratado o empréstimo a 30 anos ($n = 360$ meses) com a mesma taxa de juros, calcule em que mês ocorreria o cruzamento e explique que consequência financeira o prolongamento do prazo tem sobre o tempo durante o qual se pagam majoritariamente juros.