Exercícios: Polinômios do segundo grau: Parábolas

Dada a função quadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determine as coordenadas exatas do seu vértice e a equação do seu eixo de simetria.

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (tanto com o eixo das abscissas quanto com o eixo das ordenadas) da parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Observe as três parábolas representadas na figura a seguir. Associe cada uma das expressões analíticas ao seu gráfico correspondente (A, B ou C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Sabendo que o gráfico da função quadrática $f(x) = ax^2 + c$ passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 11)$, monte um sistema de equações e calcule os valores dos parâmetros $a$ e $c$.

Indique para onde se abrem os ramos da parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando sua resposta, e verifique se o vértice desta função corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto. Calcule suas coordenadas.

A função $d(t) = 5t^2$ descreve a distância em centímetros que uma bolinha de gude percorre ao cair por um trilho inclinado em função do tempo $t$ em segundos. Qual distância ela terá percorrido aos $4$ segundos? Quanto tempo levará para percorrer exatamente $125$ cm?

Expresse a função $y = (x + 3)^2 - 2$ como o resultado da aplicação de uma translação à parábola elementar $y = x^2$. Indique claramente a direção e o número de unidades deslocadas tanto no eixo horizontal quanto no vertical.

Determine, substituindo na equação, se o ponto $(-1, 4)$ e o ponto $(2, 1)$ pertencem ao gráfico da parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

O Marcos precisa encontrar o eixo de simetria e a imagem da parábola $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Na sua prova ele escreve o seguinte:

«Como $a = -1$ e $b = 6$, a coordenada $x$ do vértice é $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Portanto, o eixo de simetria é a reta horizontal $y = 3$. Em seguida, calculo a ordenada do vértice: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, de modo que o vértice é $V(3, 4)$. Como $a < 0$, os ramos apontam para baixo e a parábola tem um máximo, de modo que a sua imagem é $[4, +\infty)$».

1. a) Identifique os dois erros conceituais que o Marcos cometeu na sua resposta.
2. b) Explique de maneira fundamentada por que são incorretos, recorrendo à relação entre o eixo de simetria e as retas verticais, e ao significado gráfico de imagem quando os ramos apontam para baixo.
3. c) Escreva a solução corrigida: a equação correta do eixo de simetria e o intervalo que define a imagem de $f(x)$.

O desenho do arco parabólico de uma fonte ornamental segue a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$. O jato de água parte do nível do solo no ponto $(0, 0)$ e volta a tocar o solo exatamente a $6\text{ metros}$ de distância horizontal, no ponto $(6, 0)$. Além disso, mede-se que a altura máxima atingida pelo jato é de $4,5\text{ metros}$.

1. a) Sem calcular previamente os coeficientes algébricos, deduza de forma fundamentada a equação da reta vertical que atua como eixo de simetria e as coordenadas exatas do seu vértice $V(h, k)$.
2. b) Utilize a forma canônica $f(x) = a(x-h)^2 + k$ ou a forma fatorada $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ para determinar o valor numérico do parâmetro $a$.
3. c) Escreva a equação desenvolvida $f(x) = ax^2 + bx + c$ e confirme que se verificam tanto os pontos de apoio no solo quanto a altura máxima atingida.

Durante um treino, uma jogadora de vôlei lança a bola para cima. A altura $h$ (em metros) atingida pela bola em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Qual é a altura máxima que a bola atinge e em que instante exato isso ocorre?

A associação de pais da escola vende rifas para financiar a viagem de formatura. Se cada rifa é vendida por $x$ reais, a receita estimada (em dezenas de reais) é dada pela função quadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. Por qual preço devem vender as rifas para maximizar a receita? A quanto chega essa receita máxima?

Determine analiticamente os pontos de interseção entre a parábola $y = x^2 - 4x + 3$ e a reta $y = -x + 3$.

Determine a expressão algébrica desenvolvida de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu vértice é o ponto $V(2, -1)$ e que ela passa pelo ponto $P(4, 3)$.

Observe o gráfico da parábola. Determine as coordenadas do seu vértice e utilize um ponto adicional do gráfico para deduzir a sua expressão algébrica na forma $y = a(x-h)^2 + k$. Por fim, desenvolva-a para a forma $y = ax^2 + bx + c$.

Dispomos de $40$ metros de corda para delimitar uma área retangular de jogos em um acampamento. Se chamarmos $x$ o comprimento da base do retângulo, escreva a função que determina a área do retângulo em função de $x$. Quais devem ser as dimensões do retângulo para que a área delimitada seja a máxima possível?

Um arco de uma ponte de pedra tem a forma de uma parábola. A base do arco (ao nível da água) mede $12$ metros de largura e a altura máxima no centro é de $6$ metros. Se colocarmos a origem dos eixos coordenados no centro da base do arco, encontre a equação da parábola que descreve o seu perfil.

Calcule os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função quadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabendo que o gráfico dela passa pelos pontos $(0, -5)$, $(1, -6)$ e $(-1, -2)$.

Para representar a parábola $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, dois colegas de turma debatem sobre qual é a estratégia mais rápida e segura para determinar o seu vértice e os seus pontos de interseção com os eixos:

• O Sérgio propõe colocar em evidência o coeficiente principal para escrever $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, fatorar o polinômio de dentro dos parênteses procurando dois números inteiros de produto $5$ e soma $-6$, e obter o vértice aproveitando o fato de o eixo de simetria ser equidistante de ambas as raízes reais.

• A Elena defende que é mais direto transformar a função na sua forma canônica $g(x) = a(x-h)^2 + k$ completando o quadrado a partir de $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Desenvolva por completo ambos os procedimentos passo a passo até encontrar as coordenadas do vértice $V(h, k)$ e confirme que ambos conduzem à mesma solução.
2. b) Compare ambos os métodos e justifique qual se revela mais vantajoso neste caso concreto. Em que situação o método proposto pelo Sérgio resultaria inviável ou extremamente trabalhoso em comparação com o método da Elena ou com a fórmula geral $x_v = \frac{-b}{2a}$? Apoie o seu raciocínio no papel do discriminante $\Delta$.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) modela a temperatura ambiente $T(t)$, em graus Celsius ($^\circ\text{C}$), durante as horas centrais de um dia de verão em Salvador em função da hora do dia $t$ (com $t \in [8, 24]$, onde $t=8$ corresponde às 8:00 h e $t=24$ às 24:00 h) por meio da função quadrática:

1. a) Determine de forma fundamentada a que hora do dia ocorre a temperatura máxima e qual é esse valor extremo.
2. b) Formule e resolva a inequação necessária para calcular em que intervalo de horário a temperatura foi igual ou superior a $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Justifique analiticamente, por meio do cálculo do discriminante $\Delta$ da equação $T(t) = 48$, se o modelo prevê que se atinjam ou ultrapassem os $48\ ^\circ\text{C}$ em algum momento do dia.

Um agricultor quer construir um cercado retangular para as suas galinhas aproveitando um longo muro de pedra já existente, de modo que só precisa cercar três dos quatro lados do retângulo. Ele dispõe de $100$ metros de cerca de metal. Determine as dimensões do cercado para que a área dele seja a maior possível e calcule essa área máxima.

Desenhe um esboço do gráfico da função $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para isso, encontre primeiro o vértice e os pontos de interseção com os eixos da parábola interior sem o valor absoluto, e explique analiticamente como o valor absoluto afeta a representação final.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dadas as parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, encontre analiticamente os pontos exatos onde elas se intersectam. Calcule depois a distância em linha reta entre os vértices das duas parábolas.

Considere a família de parábolas dadas pela equação $y = x^2 - kx + 9$. Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais a parábola é tangente ao eixo das abscissas (ou seja, tem um único ponto de interseção com o eixo x).

O clube de robótica da escola vende kits de sensores para financiar seus materiais. Tem custos fixos mensais de $2000$ reais e montar cada kit custa $15$ reais adicionais. A receita mensal obtida pela venda de $x$ kits é dada pela função $I(x) = -0,1x^2 + 65x$. Escreva a função que representa o lucro mensal $B(x)$. Quantos kits devem montar e vender para obter o lucro máximo?

Um jogador de basquete arremessa à cesta a partir de uma altura de $2$ metros. A bola segue uma trajetória parabólica, atingindo sua altura máxima de $4$ metros a uma distância horizontal de $2$ metros do ponto de arremesso. Sabendo que a cesta está a $3$ metros de altura e a uma distância horizontal de $4,5$ metros, deduza a equação da trajetória e demonstre analiticamente se a bola entrará ou não na cesta.

Encontre a expressão analítica da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que intersecta o eixo das abscissas nos pontos $x = -1$ e $x = 5$, e que o valor máximo que a função atinge é $18$.

Dada a seguinte função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que a função seja contínua no ponto de transição $x = 3$ e, além disso, a semirreta passe pelo ponto $(5, -1)$.

A empresa municipal de transportes de uma cidade brasileira analisa suas tarifas com base em dados de mobilidade urbana. Com o preço atual da passagem a $\text{R\$}\ 1,20$, viajam em média $6000$ pessoas por dia. Um estudo técnico estima que, para cada aumento de $\text{R\$}\ 0,10$ na tarifa, serão perdidos $250$ passageiros por dia (e vice-versa se diminuir). A função da receita diária é expressa como $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$, onde $x$ é o número de aumentos de $\text{R\$}\ 0,10$.

1. a) Estime antes de calcular: Se for decidido dobrar o preço da passagem (passando a custar $\text{R\$}\ 2,40$, o que corresponde a $x = 12$), você espera que a receita diária seja maior, menor ou igual aos $\text{R\$}\ 7200$ iniciais? Justifique qualitativamente sua previsão ponderando o aumento de preço em relação à perda de usuários.
2. b) Calcule: Desenvolva a expressão algébrica de $I(x)$ na forma padrão $I(x) = ax^2 + bx + c$, determine as coordenadas do vértice e deduza o número de aumentos $x$ que maximiza a receita, o preço ótimo resultante da passagem e a receita diária máxima.
3. c) Verifique e reflita: Calcule o valor exato de $I(12)$ para verificar quantitativamente sua estimativa do item a) e interprete o resultado a partir do eixo de simetria da parábola. Por último, reflita criticamente: da perspectiva do serviço público e da sustentabilidade urbana, por que nem sempre é aconselhável fixar a tarifa no vértice ótimo da parábola se isso implicar um aumento de preço?

Considera-se a família de funções quadráticas dada por $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, em que $m$ é um parâmetro real com $m \neq 1$.

1. a) Determine, justificando, para quais valores de $m$ o gráfico de $f_m(x)$ tem concavidade voltada para cima (atingindo um mínimo absoluto) e, ao mesmo tempo, não intersecta o eixo horizontal $X$ em nenhum ponto. Expresse o conjunto solução por meio de um intervalo.
2. b) Sabendo que uma das parábolas desta família tem como eixo de simetria a reta vertical $x = 2$, determine o valor concreto de $m$, escreva a equação desenvolvida dessa parábola e deduza o seu conjunto imagem exato, justificando se a função é limitada superiormente ou inferiormente.
3. c) Demonstre algebricamente se existe algum valor de $m$ para o qual o vértice da parábola esteja situado exatamente sobre o eixo $X$. Em caso afirmativo, calcule as coordenadas completas desse vértice; em caso negativo, justifique por que motivo é impossível.