Exercícios: Funções de proporcionalidade inversa: k/x

Identifique na tabela seguinte se as grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais e, em caso afirmativo, encontre a constante de proporcionalidade $k$ e escreva a função que as relaciona.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Dada a função de proporcionalidade inversa $y = \frac{18}{x}$, calcule o valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ e $x = 0,5$.

Determine o domínio, o conjunto imagem e as equações das assíntotas da função $y = \frac{-8}{x}$.

Associe cada uma das seguintes funções à descrição dos quadrantes em que se situam os seus ramos ao representá-las graficamente:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Descrições:

1. Ramos situados no primeiro e no terceiro quadrante.

2. Ramos situados no segundo e no quarto quadrante.

Um prêmio de loteria de $300$ reais vai ser repartido em partes iguais entre um grupo de $x$ amigos. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o dinheiro que cada um recebe com o número de amigos e calcule quanto cada um recebe se forem $6$ pessoas.

Para percorrer uma distância fixa de $120$ km, o tempo $t$ gasto (em horas) e a velocidade média $v$ (em km/h) são grandezas inversamente proporcionais. Escreva a função $v(t)$ e calcule a que velocidade constante um carro deve ir se quiser demorar exatamente $2,5$ horas para realizar o trajeto.

Indique quais são as equações das assíntotas vertical e horizontal da hipérbole cuja expressão algébrica é $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Encontre o domínio da função racional $y = \frac{7}{x+5}$.

A Ana está estudando a monotonia da função $f(x) = \frac{8}{x}$. Sabe que a constante é $k = 8 > 0$ e o seu professor explicou na aula que as funções com $k > 0$ são decrescentes. Para comprovar empiricamente, escolhe dois valores da variável: $x_1 = -2$ e $x_2 = 4$. Ao calcular as suas imagens, obtém $f(-2) = -4$ e $f(4) = 2$. Surpreendida, observa que $-2 < 4$ e, no entanto, $f(-2) < f(4)$, de modo que conclui que «a teoria falha, porque ao avançar para a direita a função subiu». Identifique e explique com precisão o erro conceitual da Ana, esclareça por que o exemplo dela não contradiz a teoria e redija como deve ser enunciado, de forma matematicamente rigorosa, o decrescimento de $f(x)$.

Determine a expressão algébrica de uma função de proporcionalidade inversa transladada, da forma $g(x) = \frac{k}{x-h} + v$, sabendo que ela cumpre simultaneamente estas duas condições: o seu centro de simetria é o ponto $(-2, 3)$ e o seu gráfico passa pelo ponto $(1, 2)$. A partir da função obtida:

1. a) Determine o valor numérico das constantes $k$, $h$ e $v$.
2. b) Escreva as equações das suas assíntotas vertical e horizontal, e indique o seu domínio e o seu conjunto imagem justificando qual valor fica excluído em cada caso.
3. c) Justifique, a partir do sinal da constante $k$, se os ramos do gráfico são crescentes ou decrescentes em cada intervalo do seu domínio.

Observe o gráfico a seguir de uma função de proporcionalidade inversa e determine a sua constante $k$ e a sua expressão algébrica $y = \frac{k}{x}$.

Para encher uma piscina, $4$ torneiras de igual vazão levam $9$ horas. Escreva a função que relaciona o tempo de enchimento $t$ (em horas) com o número de torneiras abertas $n$. Quanto tempo $6$ torneiras levariam para encher a mesma piscina?

Segundo a lei de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, a pressão $P$ de um gás e seu volume $V$ são grandezas inversamente proporcionais ($P \cdot V = k$). Se um determinado gás ocupa um volume de $20$ litros a uma pressão de $1,5$ atmosferas, escreva a função $V(P)$ e calcule que volume ele ocupará a $3$ atmosferas.

O gráfico da função $y = \frac{8}{x}$ é transladado no plano cartesiano $4$ unidades para a esquerda e $3$ unidades para baixo. Escreva a expressão algébrica da nova função, determine o seu domínio e encontre as coordenadas do ponto onde as suas assíntotas se interceptam.

Encontre analiticamente os pontos de interseção com os eixos coordenados da função racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Um grupo de pessoas aluga uma quadra de pádel por $24$ reais. Escreva a função $C(x)$ que expressa o custo por pessoa em função do número de jogadores $x$. Se o custo final foi de $6$ reais por pessoa, quantos jogadores alugaram a quadra? Qual é o domínio lógico desta função, levando em conta o contexto do problema?

Escreva a equação de uma hipérbole da forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabendo que suas assíntotas são as retas $x = -2$ e $y = 4$, e que seu gráfico passa pelo ponto $(0, 5)$.

A resistência elétrica $R$ (em ohms, $\Omega$) de um fio condutor de comprimento constante é inversamente proporcional à área de sua seção transversal $S$ (em mm$^2$). Se para uma seção de $2 \text{ mm}^2$ a resistência é de $0,02\ \Omega$, expresse $R$ em função de $S$. Qual deve ser a seção mínima do fio para que a resistência seja menor ou igual a $0,01\ \Omega$?

Um grupo de 20 estudantes do 4.º ano do ESO de Zaragoza organiza uma viagem de fim de curso e contrata um autocarro por um preço fixo de $1\,200\text{ \text{R\$}\ }$, a dividir em partes iguais entre os que viajarem. Antes de formalizar a reserva, a direção da escola permite abrir a inscrição a mais alunos.

1. a) Antes de efetuares qualquer cálculo exato: se o número de participantes aumentar de 20 para 30 alunos (um aumento de $50\text{ \%}$), o custo individual reduzir-se-á para metade, para mais de metade ou para menos de metade do preço original? Faz uma estimativa qualitativa e justifica a tua resposta com base na relação entre as grandezas.
2. b) Modela a função $P(x) = \frac{k}{x}$ que expressa o preço por estudante em função do número total de participantes $x$. Calcula o valor individual para $x = 20$ e para $x = 30$, calcula a percentagem de desconto real que cada bilhete sofre e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.
3. c) Se o autocarro tiver uma lotação máxima de 55 lugares, qual é o preço mínimo possível por pessoa? Poderia chegar a ser de $0\text{ \text{R\$}\ }$ se viajassem infinitos alunos? Interpreta este limite através da assíntota horizontal da função.

Num trecho em obras de $30\text{ km}$ numa rodovia do estado de Minas Gerais, a concessionária estabelece restrições temporárias. O tempo $t$ (em horas) necessário para percorrer esse trecho depende da velocidade média $v$ (em $\text{km/h}$) com que um veículo circula, segundo a relação $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Justifique por que $t$ e $v$ são grandezas inversamente proporcionais e indique as unidades e o significado físico da constante $k = 30$.
2. b) Analise as assíntotas da função no contexto deste trajeto: que significado físico teria aproximar-se da assíntota vertical $v = 0$? E da assíntota horizontal $t = 0$? Justifique se é fisicamente possível atingir alguma das duas.
3. c) Um motorista argumenta: «Se eu baixar a minha velocidade de $120\text{ km/h}$ para $60\text{ km/h}$, o tempo que perco é exatamente o mesmo que se baixar de $60\text{ km/h}$ para $30\text{ km/h}$, porque em ambos os casos reduzi a velocidade para a metade». Demonstre quantitativamente se a afirmação dele é verdadeira ou falsa, calculando os minutos de atraso em cada caso, e explique que propriedade da hipérbole faz com que as perdas de tempo não sejam iguais.

A partir do gráfico desta hipérbole transladada, determine as equações de suas assíntotas, as coordenadas de seu centro de simetria e deduza sua expressão algébrica na forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Expresse a função racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ na forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando a divisão de polinômios. Em seguida, indique as equações das suas assíntotas e as coordenadas do seu centro de simetria.

Encontre analiticamente os pontos de interseção entre a hipérbole $y = \frac{-4}{x-1}$ e a reta $y = -x + 4$.

Uma fábrica de componentes eletrônicos tem custos fixos diários de $500$ reais para ligar o maquinário, e produzir cada unidade custa $2$ reais. Escreva a função do custo médio por unidade $C_m(x)$ em função do número de unidades $x$ fabricadas por dia. Encontre as suas assíntotas e interprete o significado da assíntota horizontal no contexto do problema.

Encontre o valor da constante $k$ para que a hipérbole $y = \frac{k}{x}$ seja tangente à reta $y = -x + 6$ (ou seja, para que se intersectem em um único ponto).

Uma hipérbole da forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tem o seu centro de simetria no ponto $(-1, 3)$ e intersecta o eixo das abscissas em $x = 1$. Encontre a sua expressão algébrica e calcule o ponto de interseção com o eixo das ordenadas.

A distância focal de uma lente delgada convergente é de $20$ cm. A relação entre a distância do objeto à lente $s_o$ e a distância da imagem $s_i$ é dada pela equação $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expresse $s_i$ em função de $s_o$. O que acontece com a distância da imagem quando o objeto se aproxima até $20$ cm da lente pela direita?

Determine o domínio, a imagem, as assíntotas e os pontos de interseção com os eixos da função $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indique também seus intervalos de crescimento e decrescimento.

Pediram a você para representar e analisar detalhadamente a função homográfica $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ identificando as suas assíntotas, o seu centro de simetria e a sua monotonia. Dois colegas propõem métodos distintos:

• Método 1 (Marcos): Construir uma tabela com 10 valores de $x$ muito grandes (positivos e negativos) e vários muito próximos de $x = 2$, para intuir graficamente por onde passam as retas das quais a curva se aproxima.

• Método 2 (Sara): Efetuar a divisão polinomial entre o numerador e o denominador para expressar a função na forma canônica $f(x) = \frac{k}{x-h} + v$, e deduzir diretamente as suas propriedades a partir das transformações geométricas.

1. a) Desenvolva o Método 2: efetue a divisão algébrica de $(3x - 1)$ por $(x - 2)$ e escreva $f(x)$ na forma $\frac{k}{x-h} + v$.
2. b) A partir da expressão canônica que você obteve, indique, justificando, as equações das duas assíntotas, as coordenadas exatas do centro de simetria e deduza se a função é crescente ou decrescente em cada um dos seus dois ramos.
3. c) Avalie criticamente ambos os métodos: explique por que razão o método algébrico da Sara é superior ao método numérico do Marcos para evitar erros de aproximação e deduzir com certeza analítica o comportamento assintótico.

Deseja-se reconstruir analiticamente uma hipérbole transladada $g(x) = \frac{k}{x - h} + v$ a partir de uma série de condições geométricas e analíticas:

1. O seu gráfico corta o eixo das abscissas no ponto $(6, 0)$.

2. O centro de simetria da curva é o ponto $(4, -2)$.

3. O seu gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -3)$.

1. a) Determine, de forma fundamentada, os valores numéricos dos parâmetros $h$, $v$ e da constante $k$.
2. b) Verifique de forma algébrica a condição 1: formule a equação $g(x) = 0$ com os valores obtidos e resolva-a para verificar que a sua solução é $x = 6$.
3. c) Dado que o centro de simetria é $(h, v)$, calcule as coordenadas do ponto da curva que é simétrico, em relação a esse centro, do ponto de interseção com o eixo $Y$, $(0, -3)$, e verifique analiticamente que esse ponto simétrico satisfaz a equação de $g(x)$.