Exercícios: Inequações com uma incógnita

Resolva a seguinte inequação de primeiro grau: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresse a solução em forma de intervalo.

Resolva a inequação com denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.

Encontre os valores de $x$ que satisfazem a inequação de segundo grau, que já se apresenta fatorada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Resolva a seguinte inequação incompleta de segundo grau e represente sua solução na reta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.

Determine o intervalo solução da inequação de segundo grau: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Resolva o seguinte sistema de inequações com uma incógnita e expresse a solução como um único intervalo:

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Resolva a inequação racional simples estudando o sinal do numerador e do denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

A soma do dobro de um número natural e $5$ é estritamente menor que $17$. Formule a inequação correspondente e encontre todos os números naturais que a satisfazem.

O Marcos está resolvendo a inequação racional $\frac{6}{x - 2} \leq 2$. Para eliminar o denominador, decide multiplicar ambos os membros por $(x - 2)$, obtendo $6 \leq 2(x - 2)$. Após operar, conclui que a solução é $x \geq 5$, ou seja, o intervalo $[5, +\infty)$. a) Identifique o erro conceitual que o Marcos comete no seu primeiro passo e explique por que não é lícito multiplicar ambos os membros de uma inequação por uma expressão algébrica sem conhecer o seu sinal. b) Encontre um contraexemplo numérico (um valor de $x$) que verifique a inequação original, mas não pertença à solução do Marcos. c) Resolva a inequação de forma correta, passando todos os termos para o primeiro membro, agrupando numa única fração e estudando os sinais resultantes.

Considere a inequação polinomial do segundo grau $x^2 - 2x - 8 < 0$. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, estime o sinal numérico do polinômio avaliando mentalmente em valores simples como $x = -3$, $x = 0$ e $x = 5$. Com essa estimativa, preveja de forma fundamentada se o conjunto solução será um intervalo limitado da forma $(a, b)$ ou a união de duas semirretas infinitas. b) Resolva a inequação passo a passo por meio da decomposição em fatores do polinômio e de uma tabela de sinais. c) Verifique se o intervalo encontrado coincide com a sua previsão inicial e justifique se os valores de fronteira $x = -2$ e $x = 4$ fazem parte ou não do conjunto solução.

Resolva a seguinte inequação prestando atenção aos sinais negativos à frente das frações: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.

Deseja-se construir um jardim retangular de modo que seu comprimento seja $4$ metros maior que sua largura $x$. Se há adubo suficiente para cobrir no máximo $45 \text{ m}^2$, formule uma inequação e determine os possíveis valores que a largura $x$ pode assumir.

Uma pequena empresa de artesanato tem custos fixos mensais de $300$ reais e produzir cada pulseira de couro custa $2$ reais. Se ela vende cada pulseira por $5$ reais, quantas pulseiras deve vender no mínimo por mês para começar a obter lucro? Formule e resolva a inequação.

Resolva a inequação racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Lembre-se de passar todos os termos para um lado da inequação e operar para obter um único quociente antes de estudar os sinais.

Resolva a inequação polinomial de grau superior colocando o fator comum em evidência previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

Resolva a inequação com valor absoluto e expresse sua solução como união de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.

Um furgão de entregas consome $8$ litros de combustível a cada $100 \text{ km}$ na estrada e $12$ litros a cada $100 \text{ km}$ na cidade. Se em um trajeto de $500 \text{ km}$ no total consumiu menos de $45$ litros, quantos quilômetros no máximo pode ter percorrido pela cidade?

Determine para quais valores do parâmetro $k$ a equação de segundo grau $x^2 - kx + 9 = 0$ não possui soluções reais. Formule a inequação correspondente utilizando o discriminante e resolva-a.

Uma estudante universitária de Salvador precisa se deslocar diariamente para a sua faculdade utilizando o metrô. Para a região que percorre, apresentam-se duas opções tarifárias: Opção A, comprar passagens simples a $2,80$ reais por cada trajeto; ou Opção B, assinar um passe mensal de viagens ilimitadas por $36$ reais por mês, ao qual deve somar um pagamento único de $4$ reais no primeiro mês pela emissão física do cartão personalizado. a) Formule uma inequação do primeiro grau com uma incógnita que determine a partir de quantos trajetos por mês a Opção B se torna estritamente mais barata do que a Opção A durante o primeiro mês de utilização. b) Resolva a inequação e interprete a solução, indicando o número inteiro mínimo de viagens necessárias para amortizar o passe. c) Se o mês letivo tiver 21 dias e ela fizer 2 viagens por dia (ida e volta), calcule quanto dinheiro ela economiza por mês com a opção mais favorável em relação à outra.

Para resolver a inequação com valor absoluto $|2x - 6| \leq 10$, apresentam-se duas estratégias diferentes: Via 1 (Método algébrico), transformar a expressão na dupla desigualdade simultânea $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ e isolar $x$; e Via 2 (Interpretação geométrica), colocar em evidência o fator comum para escrever $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, simplificar para $|x - 3| \leq 5$ e interpretar a distância ao valor central $3$ sobre a reta real. a) Desenvolva de forma explícita ambos os procedimentos e verifique que se obtém exatamente o mesmo intervalo solução. b) Justifique de forma fundamentada qual dos dois métodos você considera mais eficiente e qual minimiza a probabilidade de cometer erros com os sinais. c) Explique como se adaptaria a abordagem de cada via se a inequação fosse estrita e de sentido oposto: $|2x - 6| > 10$.

Resolva a inequação racional na qual o numerador e o denominador são polinômios de segundo grau: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Resolva o seguinte sistema de inequações e explique qual particularidade o conjunto solução dele tem:

$x^2 - 4x + 4 \leq 0$

$2x - 1 > 0$

Um foguete de água é lançado verticalmente para cima em um experimento escolar. A altura dele $h$ em metros em função do tempo $t$ em segundos é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine algebricamente durante qual intervalo de tempo o foguete estará acima dos $17 \text{ m}$ de altura.

Resolva a inequação com valor absoluto que inclui expressões fracionárias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

Os lucros mensais de uma fábrica de patinetes elétricos, expressos em milhares de reais, são dados pela função $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, onde $x$ representa o número de centenas de patinetes fabricados. Quantos patinetes devem ser fabricados para que a empresa não tenha prejuízos (ou seja, para que $B(x) \geq 0$)?

Em um triângulo isósceles, os lados iguais medem $x \text{ cm}$ e o lado desigual mede $10 \text{ cm}$. Para que o triângulo possa ser construído, a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer deve ser estritamente maior que o comprimento do terceiro lado. Além disso, deseja-se que o seu perímetro não ultrapasse $36 \text{ cm}$. Formule um sistema de inequações e encontre os possíveis valores de $x$.

Estude e resolva o seguinte sistema formado por uma inequação de primeiro grau e outra de segundo grau:

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Resolva a seguinte inequação racional, realizando as somas algébricas necessárias para expressá-la como um único quociente antes de estudar os sinais: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.

Pretende-se conceber uma inequação racional com uma incógnita cujo conjunto exato de soluções seja $(-3, 2] \cup (5, +\infty)$. a) Construa uma inequação da forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, em que tanto o numerador $P(x)$ quanto o denominador $Q(x)$ sejam polinômios fatorados em binômios mônicos do primeiro grau. Justifique passo a passo, apoiando-se no estudo de sinais por trechos, a posição de cada fator no numerador ou no denominador. b) Explique detalhadamente por que razão os números $-3$ e $5$ devem aparecer com intervalo aberto (parênteses) na solução, enquanto o $2$ fica fechado (com colchetes). c) Sem refazer toda a tabela de sinais, fundamente que transformação elementar você deveria aplicar à sua inequação para que a solução passe a ser $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Um fabricante de componentes automotivos em Minas Gerais concebe um sensor térmico cuja resistência elétrica de funcionamento $R$ (em ohms) depende da temperatura exterior $t$ (em graus Celsius) segundo a expressão $R(t) = t^2 - 2(k - 1)t + (k + 5)$, onde $k$ é um parâmetro real de calibração. Por normas estritas de segurança, o dispositivo só funciona corretamente se a resistência for estritamente positiva ($R(t) > 0$) para qualquer temperatura $t \in \mathbb{R}$. a) Interprete o gráfico de $y = R(t)$ como uma parábola e deduza que condição geométrica em relação ao eixo das abscissas e que condição algébrica sobre o seu discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ devem ser cumpridas para garantir a referida operacionalidade. b) Formule e resolva a inequação do segundo grau na incógnita $k$ resultante da condição anterior, indicando o intervalo de valores válidos para a calibração do sensor. c) Se na fábrica for cometido um erro e o parâmetro for ajustado para $k = 4$, justifique que anomalia ocorrerá e determine a que temperatura exata $t$ o sensor deixará de funcionar por sua resistência se anular.